《运用一元二次方程解决图形面积问题》教学设计(河北省县级优课)-九年级数学教案

几何图形中方程的应用教学设计定兴县第二中学肖村分校胡亮课题几何图形中方程的应用课型复习课教学目标（1）知识与技能：在较为简单的几何图形中，会根据已知条件建立方程求解进而解答图形中的求值问题。（2）数学思考：经历借助图形中的等量关系建立方程求解的过程，体会模型思想的运用，进一步发展学生的符号意识。（3）问题解决：综合运用几何与方程的有关知识，解决图形中的求值问题，增强应用意识，提高实践能力。（4）情感态度与价值观：通过学习，进一步培养学生积极的学习态度与独立思考、合作交流等良好学习习惯。重点、难点教学重点：运用方程思想，解决几何图形中的求值问题。（2）教学难点：根据图形中的条件，发现建立方程的等量关系。教学方法自主探究式教学方法学习方法学生采用自主探索与相互协作相结合的学习方式课前准备教师：多媒体课件；学生：学案教学内容及师生活动设计意图引入课题：方程及方程的应用是初中数学的重点内容，也是我省中考的重要考点。应用方程可以解决很多的实际问题与数学问题。在几何图形中方程有着广泛的应用，今天我们就来研究这一课题。（一）做一做--研究从这里开始1、如图：在ΔABC中，AB=AC，D是AC上一点，且AD=BD=BC。求∠A的度数。操作：（1）学生独立阅读思考，完成解题过程；（2）学生代表口述解题思路与解题过程；（3）教师多媒体呈现解题过程；解：∵AB=AC，AD=BD=BC∴∠A=∠ABD，∠C=∠ABC=∠CDB设∠A=x°，则∠ABD=∠A=x°∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°∵在ΔABC中∠A+∠C+∠ABC=180°∴x+2x+2x=180∴x=36∴∠A=36°。（4）教师引导学生归纳解题思路：图形中角度计算问题利用三角形内角和建立方程求解。已知：如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=4，EF垂直平分对角线AC，求AE的长。操作：（1）学生独立阅读思考，完成解题过程；（2）由2-3名学生代表口述解题思路与解题过程；（3）教师从中选择一种较为简单的思路，多媒体呈现解题过程；解：连接CE，∵EF垂直平分对角线AC∴AE=CE设AE=x，则CE=x，DE=8-x，在RtΔCDE中，CD=AB=4，根据勾股定理可得：即AE=5。（4）教师引导学生归纳解题思路：图形中线段长的计算问题建立方程求解直角三角形中，勾股定理建方程；相似三角形中，对应边成比例建方程。3、如图，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？操作：（1）学生独立阅读思考，完成解题过程；（2）学生代表口述问题（1）的解题思路与解题过程，教师多媒体呈现；解：（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t．当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6－t＝2t，解得：t＝2（秒），所以，当t＝2秒时，△QAP为等腰直角三角形．学生代表口述问题（2）的解题思路与解题过程，教师多媒体呈现；（略，见课件）学生回顾解题思路与方法，学生代表发言，教师必要补充。（二）思考与总结1、前面解答的三个问题中，在问题设置及解题思路方面具有哪些共性？操作：学生回顾上述各题后，由2至3名学生代表发言总结，教师进而多媒体呈现：几何图形中求值问题建立方程模型求解2、（通过前面几个小题的解答）我们在几何图形中运用方程模型求解，我们有那些经验的积累？还需注意哪些事项？操作：（1）学生分小组展开交流、讨论，由3至4名小组代表发言总结，（2）教师进而多媒体呈现：图形是解决问题的载体与前提条件，必要时要画出特定时刻的图形；图形中的等量关系是建立方程模型的依据，我们常用到的思路有：三角形内角和定理建方程，勾股定理建方程，相似比例建方程等。解方程是此类问题中的重要步骤，要保证方程解的正确性，方程的解要符合题意，必要时要对方程的解进行检验。教师板书并适当解释与说明。图形等量关系建立方程解方程检验回答问题（3）学生进一步阅读、理解、感悟。应用训练、解决问题已知：如图，在四边形ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，AB=6，CD=3，AD=4．动点M、N分别从A、B两点同时出发，点M以每秒1个单位长的速度沿AB向点B运动；点N以每秒1个单位长的速度沿B—C—D运动；当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．设两个点的运动时间为t(秒)．(1)当t为何值时，MN∥AD？(2)在M、N运动过程中，是否存在某一时刻使MN⊥BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。备用备用操作：学生独立阅读、思考、书写解题过程，教师前面黑板画图后，教师教室内巡视学生解题情况，给予必要的指导；（2）学生代表分别就解决问题的思路与解题过程发言，教师配合学生在黑板上画图，书写必要的解题过程。、若MN∥AD，则有△BCE∽△BNM，进而由对应边成比例可得方程求解；假设存在MN⊥BD，则有△MNH∽△DBA，进而由对应边成比例可建立方程求解，要对方程的解进行检验，符合题意即存在；不符合题意则不存在。（四）、布置作业、巩固提升1、在上面的问题中，连接DM，DN，设△DMN的面积为S，NNMDCBA当t为何值时，S=。2、（选做题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。（1）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。（五）、回顾与反思1、本节课我们研究了哪些知识？2、研究过程中你收获了哪些思路与方法？3、通过本节课的学习，你认为自己在哪些方面需努力提高？操作：学生回顾后，有学生代表举手发言；教师根据本节课教学内容及学生课堂表现简要总结。初三复习课，直接引入课题，使学生明确了本节课的研究对象，也为后面的研究节省了一定的时间。此题是借助于图形中的三角形内角和定理建立方程，使学生体会方程模型的应用。题目，学生较为熟悉、简单，有利于培养学生的信心，学生可独立解答。问题2的设置是让学生从边的角度来体会方程的应用。此题在解答时用到了两大常用等量关系，即勾股定理建方程和相似比例得方程。这是本节课的重点内容，教学过程中，给学生思考、解答、表述、总结的时间要更充分一些。问题3是在几何图形中增加了运动元素，在学生利用图形中的数量关系建立方程求解的过程中，进一步发展学生的符号意识，提升学生的思维能力。学生进一步感悟方程在解决几何图形中求值问题时的价值与作用，同时体会分类讨论的方法。通过前面几个问题的解答，学生充分体会了方程在此类问题解决过程中的价值和建立方程的常用到的思路与方法。学生在回顾中思考、总结，有利于提升学生解题经验的积累和提高学生解决问题的能力。学生通过对前面问题的解答及总结，对求值类问题积累了一些解题的经验与方法，此题属于进一步的综合应用。由于本题需要学生自己在理解题意的基础之上画出特定时刻的图形，再去寻找等量关系建立方程，所以难度较大。教师既要要给学生充分的时间思考，又要给予必要的提示。解决问题时要尽量关注优生的答题情况。问题，采用了“存在性问题”的常用问法，就是要丰富学生的思维与解题思路。此题是上面问题的延续，较为复杂，由于课堂时间有限，所以设置