湖南省株洲市醴陵市四中2023年数学高二上期末联考模拟试题含解析

湖南省株洲市醴陵市四中2023年数学高二上期末联考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，，且，则等于（）A. B.C. D.2．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）A.1 B.2C. D.33．已知，若与的展开式中的常数项相等，则（）A.1 B.3C.6 D.94．函数在点处的切线方程的斜率是（）A. B.C. D.5．直线在轴上的截距为（）A.3 B.C. D.6．在四面体OABC中，，，，则与AC所成角的大小为（）A.30° B.60°C.120° D.150°7．已知等差数列的前n项和为，公差，若（，），则（）A.2023 B.2022C.2021 D.20208．圆与圆的位置关系是（）A.相交 B.相离C.内切 D.外切9．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（）A.99 B.131C.139 D.14110．已知直线与垂直，则为（）A.2 B.C.-2 D.11．等比数列的第4项与第6项分别为12和48，则公比的值为（）A. B.2C.或2 D.或12．已知且，则的值为（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．美好人生路车站早上有6：40，6：50两班开往A校的公交车，若李华同学在早上6：35至6：50之间随机到达该车站，乘开往A校的公交车，公交车准时发车，则他等车时间不超过5分钟的概率为______14．“”是“”的________条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.）15．已知，为双曲线的左、右焦点，过作的垂线分别交双曲线的左、右两支于B，C两点（如图）．若，则双曲线的渐近线方程为______16．函数的单调递减区间是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足（1）求A的大小；（2）若，的面积为，求的周长18．（12分）已知数列的前项和为，且．数列是等比数列，，（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和19．（12分）2021年7月25日，在东京奥运会自行车公路赛中，奥地利数学女博士安娜·基秣崔天以3小时52分45秒的成绩获得冠军，震惊了世界！广大网友惊呼“学好数理化，走遍天下都不怕”．某市对中学生的体能测试成绩与数学测试成绩进行分析，并从中随机抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：体能一般体能优秀合计数学一般5050100数学优秀4060100合计90110200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关？（结果精确到小数点后两位）（2）①现从抽取的数学优秀的人中，按“体能优秀”与“体能一般”这两类进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人，求其中至少有2人是“体能优秀”的概率；②将频率视为概率，以样本估计总体，从该市中学生中随机抽取10人参加座谈会，记其中“体能优秀”的人数为X，求X的数学期望和方差参考公式：，其中参考数据：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63520．（12分）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.①求的方程，并说明是什么图形；②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.21．（12分）已知直线恒过抛物线的焦点F（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，B两点，且，求直线的方程22．（10分）已知在公差不为0的等差数列中，，且构成等比数列的前三项（1）求数列，的通项公式；（2）设数列___________，求数列的前项和请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.【详解】由已知可得，解得.故选：A.2、D【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D3、B【解析】根据二项展开式的通项公式即可求出【详解】的展开式中的常数项为，而的展开式中的常数项为，所以，又，所以故选：B4、D【解析】求解导函数，再由导数的几何意义得切线的斜率.【详解】求导得，由导数的几何意义得，所以函数在处切线的斜率为.故选：D5、A【解析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.【详解】由，可得，则直线在轴上的截距为3.故选：A6、B【解析】以为空间的一个基底，求出空间向量求的夹角即可判断作答.【详解】在四面体OABC中，不共面，则，令，依题意，，设与AC所成角的大小为，则，而，解得，所以与AC所成角的大小为.故选：B7、C【解析】根据题意令可得，结合等差数列前n项和公式写出，进而得到关于的方程，解方程即可.【详解】因为，令，得，又，，所以，有，解得.故选：C8、A【解析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论.【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆圆心为，半径为，则两圆圆心距，因为，所以两圆相交.故选：A.9、D【解析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.【详解】设该高阶等差数列的第8项为，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得，则.故选：D10、A【解析】利用一般式中直线垂直的系数关系列式求解.【详解】因为直线与垂直，故选：A.11、C【解析】根据等比数列的通项公式计算可得；详解】解：依题意、，所以，即，所以；故选：C12、C【解析】由空间向量数量积的坐标运算求解【详解】由已知，解得故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意，李华等车不超过5分钟，则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.【详解】由题意，李华等车不超过5分钟，则他必须在6:35-6:40或者6:45-6:50到达，则所求概率.故答案为：.14、充分不必要【解析】由不等式的性质可知，由得，反之代入进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案【详解】解：由不等式的性质可知，由得，故“”成立可推出“”，而，当，则，所以“”不能保证“”，故“”是“”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型15、【解析】根据双曲线的定义先计算出，，注意到图中渐近线，于是利用两种不同的表示法列方程求解.【详解】，则，由双曲线的定义及在右支上，，又在左支上，则，则，在中，由余弦定理，，而图中渐近线，于是，得，于是，不妨令，化简得，解得，渐近线就为：.故答案为：.16、【解析】求导，根据可得答案.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）通过正弦定理将边化为角的关系，可得，进而可得结果；（2）由面积公式得，结合余弦定理得，进而得结果.【小问1详解】∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故【小问2详解】由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周长为18、（1），（2）【解析】（1）利用求出通项公式，根据已知求出公比即可得出的通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【小问1详解】因为数列的前项和为，且，当时，，当时，，满足，所以，设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以；【小问2详解】因为，，则，两式相减得，所以.19、（1）不能，理由见解析；（2）①，②，【解析】（1）运用公式求出，比较得出结论.（2）①先用分层抽样得到“体能优秀”与“体能一般”的人数，再利用公式计算至少有2人是“体能优秀”的概率.②根据已知条件知此分布列为二项分布，故利用数学期望和方差的公式即可求出答案【小问1详解】由表格的数据可得，，故不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“体能优秀”还是“体能一般”与数学成绩有关.【小问2详解】①在数学优秀的人群中，“体能优秀”与“体能一般”的比例为“体能一般”的人数为，“体能优秀”的人数为故再从这10人中随机选出4人，其中至少有2人是“体能优秀”的概率为.②由题意可得，随机抽取一人“体能优秀”的概率为，且故，20、（1）；（2）①，圆；②存在，.【解析】（1）设圆心，根据题意，得到半径，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；（2）①设，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到，代入圆的方程，即可得出结果；②假设存在一点满足（其中为常数），设，根据题意，得到，再由①，得到，两式联立化简整理，得到，推出，求解得出，即可得出结果.【详解】（1）设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径.∵圆心到直线的距离，由，解得.故圆心为或，半径等于.∵圆与轴正半轴相切圆心只能为故圆的方程为；（2）①设，则：，，∵点A在圆上运动即：所以点的轨迹方程为，它是一个以为圆心，以为半径的圆；②假设存在一点满足（其中为常数）设，则：整理化简得：，∵在轨迹上，化简得：，所以整理得，解得：；存在满足题目条件.【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.21、（1）（2）或【解析】（1）把直线化为，得到抛物线的焦点为，求得，即可求得抛物线的方程；（2）联立方程组，得到，，结合，列出方程求得的值，即可求得直线的方程【小问1详解】解：将直线化为，可得直线恒过点，即抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线的方程为【小问2详解】