99a自动化车算法模型知识点2正态分布

2023/11/41期中考试时间：11月5日(星期二)下午1:00地点：1229教室2023/11/42第四章正态分布4.1正态分布及其密度函数和分布函数第一部分2023/11/431.一般正态分布一般正态分布的概率密度：定义:其中，(>0)为常数，称服从参数为，2

的正态分布，简记为

~N(

，2).2023/11/44~N(

，2)的密度函数的几何图形：

2023/11/45

~N(，2)的分布函数：

几何图形：2023/11/46标准正态分布:

=0，=1的特别情形。简记为

~N(0，1)

(x)概率密度：分布函数：

(x)2023/11/47标准正态分布的常用结果•若~N(0，1)，则2023/11/482.标准化

(将一般正态分布化为标准正态分布）设~N(

，2)，则将F(x)化成

(•):

从而，2023/11/49定理4.1，则

2023/11/4103.例子例1：设~N(0，1)，求解：(1)由表一知

(1.96)=0.975.所以(3)2023/11/411例2：设

~N(3，22)

，求解：2023/11/412于是由得查表得（3）2023/11/413例3：设某项竞赛成绩

~N(65，100)

，若按参赛人数的10％发奖，问获奖分数线应定为多少？解：设获奖分数线为，即故分数线可定为78分.2023/11/414§4.2正态分布的数字特征定理5.2:

的期望与方差分别为：证：设，则有2023/11/415续2023/11/416

因为从而可见，正态分布中两个参数的统计意义。2023/11/417正态分布的线性性质定理4.3：当时有，2023/11/418正态分布的可加性定理4.4：且2023/11/419推广

定理4.5：设随机变量相互独立，且

即：独立的正态分布线性组合仍然服从正态分布．2023/11/420独立同分布情形的一般结论随机变量相互独立且则事实上2023/11/421例:设某地区成年女子的身高在这一地区随机选100名成年女子，求100名女子平均身高超过1.60的概率.2023/11/422解：设100名女子的身高为，则它们独立同分布于，平均身高由正态分布可加性，有只须计算P（Z>1.6）=?=02023/11/423§4.3二维正态分布

定义4.3:

设二维随机变量（X，Y）有如下页的密度函数表达式,记为2023/11/424二维正态分布的概率密度为:-2r2023/11/425二维正态的五个参数的意义定理4.6:

若则可见，二维正态分布前4个参数分别表示随机变量X，Y的期望和方差。下面说明参数r的统计意义:相关系数。

2023/11/426r表示X与Y的相关系数详见Page1042023/11/427二维正态分布独立与不相关等价在第3章中讲到，独立→不相关,但是不相关→独立定理4.7:

若则X与Y相互独立的充要条件是r=0.对二维正态分布来说，独立与不相关等价。2023/11/428例4.8求解:由定理4.6,相关系数于是2023/11/429例4.8现计算2023/11/430补充习题2023/11/431练习一

:设~解:（1）当b>0时，2023/11/432（2）当b<0时，综合起来，对于有2023/11/433

练习二：1、设随机变量X

N(0,1)，Y

U(0,1)，Z

B(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=(2X+3Y)(4Z-1)的数学期望.2、设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从N(μ,σ2)分布，求随机变量的数学期望.答:答:2023/11/434习题三:X,Y独立同分布N(,2).2023/11/4352023/11/436习题四:X,Y独立同分布N(

,

2).U=max(X,Y),V=min(X,Y),求U,V的期望.解:直接按照确定积分区域的方法计算比较烦琐.令:Z=X-Y.X,Y互相独立,故Z服从正态分布.即Z~N(0,2

2).2023/11/437第4章附加内容极限定理切比雪夫不等式大数定律中心极限定理第二部分2023/11/438用频率近似代替概率问题：独立随机变量之和以正态分布为极限分布问题，即:用正态分布作近似计算问题。大数定律从理论上解决：中心极限定理阐述：用样本均值近似代替理论均值问题：2023/11/439§4.1.1切比雪夫(Chebyshev)不等式定理4.1

设随机变量X的数学期望与方差都存在，则对任意的有或者等价地2023/11/440注：可见，当E(X)，D(X)已知时，可对事件发生的概率进行估计.证：我们就连续型的情形给出证明.1.≥1≤2023/11/441可以看出，当E(X)，D(X)已知时，可对发生的概率进行估计.注：从切比雪夫不等式事件2023/11/442例1:

有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。解:

设表示同时开着的灯的数量，则~2023/11/443例2:

设

~e(

),用切比雪夫不等式估计2023/11/444§4.1.2大数(定)律

概率统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验才会呈现出来.

大数定律就是描述大量现象平均结果的稳定性的定理.

大数定律告诉我们：大量的随机因素的总和作用在一起导致的结果是不依赖于个别随机事件的必然结果.偶然性中蕴含必然性规律2023/11/445首先介绍:随机变量序列的收敛性

定义4.1（依概率收敛）:设则称依概率收敛于a.记为：是随机变量序列，a是一个常数；若对任意ε>0,有:2023/11/446意思是：当a而意思是：时，Xn落在内的概率越来越大。即：,当与的区别。时，毫无例外地有2023/11/447定理4.2：随机变量序列切比雪夫不等式的应用若存在，且满足证：由切比雪夫不等式两边取极限即可.2023/11/448定理4.3:（切比雪夫大数定律）对于相互独立的随机变量序列,切比雪夫大数定律（1）都存在；若满足（2）方差有限，即存在常数，使得则有前n个随机变量的算术平均2023/11/449证:由定理6.2,0考虑随机变量序列2023/11/450切比雪夫大数定律的两个推论切比雪夫大数定律独立同分布大数定律伯努利大数定律(特殊情形)(特殊情形)辛钦Khinchine大数定律(推广)2023/11/451推论1（独立同分布大数定律）设则注:是相互独立的随机变量序列，且独立同分布大数定律2023/11/452推论2（伯努利大数定律）设为n重伯努利试验中A发生的次数，则对任给常数有(这是用频率近似代替概率的理论依据)证:

设则伯努利大数定律利用推论1即得.2023/11/453§4.2中心极限定理定理4.4（林德伯格-列维Lindberg-Levy）

设随机变量序列

独立同分布，且记则对任意，有2023/11/454定理含义（渐近正态性）独立同分布的随机变量之和将标准化：得到新的随机变量.的分布函数的极限函数是标准正态分布.也就是说，可近似地认为：2023/11/455注：从定理的条件看出,不必知道的确切分布，只要求独立、同分布.

另外,定理的条件还暗示了每个对总和的影响不大。2023/11/456例:

设一袋味精的重量是随机变量，平均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过10.05公斤的概率。解:

设表示第袋味精的量，可以认为是独立同分布的，又设

表示100袋味精的重量，所求概率为：分布未知近似看作正态分布2023/11/457棣莫弗－拉普拉斯定理（DeMoivre-Laplace）

定理4.5

设随机变量(上述定理说明，二项分布具有渐近正态性)推论充分大时，有p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，有服从参数n，2023/11/458~连续型离散型n愈大，上式近似程度愈高，一般认为n≥50.

下页展示了n=5,10,20,80四种情形下，二项分布与正态分布的图形拟合情况.2023/11/4592023/11/460例:

在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率有99%，赔偿金至多可设为多少？2023/11/461解:

设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p)，其中n=10000，p=0.6%，np=60，npq=59.64设Y表示保险公司一年的利润，则

Y=1000012-1000X于是由中心极限定理(1)P(Y

0)=P(1000012-1000X

0)=1

P(X

120)

1

(7.769)=0;2023/11/462(2)设赔偿金为a元，则

P(Y≥60000)=P(1000012-aX≥60000)=P(X≤60000/a)≥0.99由中心极限定理，上式等价于2023/11/463例1：

设某地成年男子身高X~N(170，102)(单位：cm)，随机抽取100名该地男子测量身高.问其中至少有70人身高在160cm~180cm之间的概率是多少？补充例题：2023/11/464解:

设身