小学奥数教程-换元法

换元法

对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握.这既与基础课程进度结合，

更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”.考察近年来的

小升初计算部分，分数计算成为热点.可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，

要么是通项归纳.如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算.”

三'换元思想

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换

元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简.

【例1】计算：(1+：+：)吗+；+/-(l+；+：+>xg+f

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】令1+』+'+,=。，-+-+-=/?,则：

246246

原式=(〃_2)x〃-qxS-

66

,1,1

=ab——bf-ab-\--a

66

1,.11

=—(za—b)=—xl=—

666

【答案】-

6

s国“111、/111、“1111、/11、

【巩固Y](l+_+_+_)x(_+_+_+_)_(l+_+_+_+_)x(_+_+_)

23423452345234

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】设4=』+2+1,则原式化简为：(1+a)(a+-)-a(l+a+-)=-

234555

【答案】-

5

回+变+驾^至+/+%]-隹1739458378Y/739458]

【巩固】计算:d-----1-----------F207jXl358+947j

126358947J(358947207；1126358947

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

，科」小人621739458739458,

【解析】令——+——+——=a;——+——=b,

126358947358947

…,378378生(〃叫X垩=也、%=9

原式==czxbH----Q+---

I207207'7207126207

【答案】9

【巩固】计算：(0.1+0.21+0.321+0.4321”(0.21+0.321+0.4321+054321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.5432l)x(0.21+0.321+0.4321)

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【解析】设x=0.21+0.321+04321,y=0.21+0.321+0.4321+0.54321,

原式=(0.1+x)xy-(0.1+y)xx=0.1x(y-x)=0.054321

【答案】0.054321

【巩固】计算下面的算式

(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，2试

【解析】换元的思想即“打包”，令4=7.88+6.77+5.66,6=9.31+10.98,则原式

=ax(6+10)-(a+10)xb=(a£>+10a)-(a£>+10£>)=ab+10ci-a£>-10i>=10x(a-b)

=10x(7.88+6.77+5.66-9.31-10.98)=10x0.02=0.2

【答案】0.2

【巩固】(1+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】希望杯，六年级，二试

【解析】亍殳0.12+0.23=4,0.12+0.23+0.34=&

原式=(l+a)xb-(l+b)xa=Z>-a=0.34

【答案】0.34

【巩固】计算：⑴(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)-(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

,„<621739458、r739458378、<621739458378、<739458、

(126358947J(358947207)(126358947207)(358947)

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】迎春杯

【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设“=0.45+0.56,6=0.45+0.56+0.67,

有原式=(l+a)x/>—(l+/?)xa=/?+q/?-a-a/?=b-a=0.67

621739458、(739458)

⑵设a=+------F947J,b=l358+947j

126358

店.(378、(378xb=(j)x垩=%>我=9

原式=47xbtH------a+---

I207；I207207126207

【答案】⑴0.67(2)9

(』+工+』34573

【巩固】计算:—十———+——+——+

1232171713123217

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】走美杯，初赛，六年级

57373

【解析】设a——+——+——b=——+——则有

1232173217

a.[±4

原式=b+xb

【1313

444,

=——a-——b=—(a-b)

131313

455

=——x——=—

131239

5

【答案】

39

11111111

【例2】计算:1+—+,・・+一+-+・・・+1+-+...+x—+-+•­•+

2200723200822008232007

【考点】换元法【难度】3星【题型】计算

111»+4+1

【解析】令Cl=-d----F•—I----------•••H-----

232007232008

1

2008

【答案】

2008

11111111

【巩固】一+—+一+一4--4--十一+一+一+——F---1----1---

11213121314151213141213141

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

设"+—=

【解析】

11213141213141

原式二。x

=ab+-a-ab-—h

5151

1/,、111

=—(a-b)=—x——=-----

515111561

1

【答案】

561

【巩固】4+H+^-(rrl

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】清华附中

【解析】设2+，+1+，=/4,-+-+—=B,

579117911

原式=Ax(BH---

A+—|xB

I1313j

AxB+—A-AxB--B

1313

=-(A—B)=-x—=—

13'713565

【答案】—

65

1111

【巩固】计算lll-LlVfilll-LlX

23452+3+4+5+6八+2+3+4+5+62345

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

设1+工+111.1111n

【解析】-+—+-=A,-+-+-+-=B

23452345

原式=Ax（3++

xB=AxB+-xA-AxB--xB=—xA--xB=-x(/A-B)=-

666666

]_

【答案】

6

【例3】计算:

123912391+W.239

—I—H—+-------十—I—-------1-***d-------.•+2X—F—F,••H-------

234102341023103410

【考点】换元法【难度】2星【题型】计算

【关键词】迎春杯

,则有产+/x；-(l+/)[219I£JI

【解析】2+Tt+t——

234102222

【答案】

计算----------11

【例4】+——丁

2+------------------1+

1

3+-—11+

1

4+3+

1

•••H—4+

I

2009...4------------

2009

【考点】换元法【难度】4星【题型】计算

]1111_N।N+17

【解析】设N=3+.原式二---------+

4+-^-2N+\2N+T一•

2+—一口

…+-----NN+1

2009

【答案】

11

【例5】计算:1+

~8

【考点】换元法【难度】3星【题型】计算

1

Q—X——

【解析】（法一）设x=t，则原式==88.

1Xx-2+"J

xx88

,吐811282ll2c的一82ll22r

(＞去'—)1又X=----1—,刃卜4X=——H----r-4-2,所以——4----——X—2.

118ll282II282