期末押题模拟卷03（测试范围选择性必修第一册选择性必修第二册）（解析版）

期末押题模拟卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：选择性必修第一册、选择性必修第二册5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】直线与直线平行，∴，解得，故直线为直线，化简得，∴它们之间的距离为．故选：B．2．若双曲线的对称轴为坐标轴，渐近线被圆：截得弦长为，则双曲线的离心率为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】设渐近线方程，则圆：圆心到的距离，即，解得.又双曲线基本量关系可得，结合渐近线方程可得当双曲线焦点在轴时，离心率为；当双曲线焦点在轴时，离心率为；故选：C3．已知等比数列的前项和为，且，则的公比为（

）A．2 B． C．2或 D．1或【答案】C【解析】因为，若，则，不符合题意.则，可得，因为，则有，则或者.故选：C4．设，，为空间单位向量，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故选：C.5．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点且，则点到准线的距离为（

）A．6 B．5 C．3 D．【答案】D【解析】如图，过点作轴的垂线，垂足为，由题意可得，即，因为，则所以，则点到准线的距离为故选:D6．函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点 B．为函数的极大值点C．函数在上单调递减 D．是函数的最小值【答案】C【解析】由的图象可得，当时，，当时，，当时，，当时，所以在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B选项错误，C选项正确；是的零点，但不一定是的零点，所以A错误；是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误.故选：C7．设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（

）A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为C．的外接圆半径为 D．的面积为9【答案】B【解析】由题意，到准线的距离，又，∴，如图过向作垂线，垂足为，由，为中点，则为△的中位线，所以，即是的中点，因为，，，，，因此到直线的距离为，故A错误；在中，，又，得到，解得，，，所以双曲线的离心率，故B正确；，设△的外接圆半径，因此，所以，故C错误；△的面积．故D错误.故选：B．8．已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（

）A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对【答案】C【解析】因为函数有两个零点，所以有两个根，即，设，，当时，解得，函数单调递增；当时，解得，函数单调递减，，当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷，所以当时，与有两个交点，故①正确；由此可知，因为，若，即.即证，当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知直线：和圆：，下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点B．圆被x轴截得的弦长为4C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4【答案】ABD【解析】变形为，故，解得：，故直线恒过定点，A正确；的圆心为，半径为，圆心到x轴的距离为1，由垂径定理得：，B正确；直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为直径，故最大值为，C错误；当直线与直线垂直时，被圆截得的弦长最小，其中，由垂径定理得：，故最小值为4，D正确.故选：ABD10．设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（

）A． B．为等比数列C． D．【答案】ABD【解析】∵，则，即，∴数列是以首项，公比的等比数列，则，故A、B正确；又∵，显然不符合上式，则，故C错误，D正确；故选：ABD.11．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（

）A．与共线且同向的单位向量是B．C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是【答案】ABC【解析】由已知得，，，.与共线且同向的单位向量是，A项正确；，所以，B项正确；与夹角的余弦值是，C项正确；设平面的一个法向量是，则，即，取，则是平面的一个法向量.设，显然与不共线，所以D项错误.故选：ABC.12．已知椭圆，、分别为它的左、右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（

）A．的最小值为B．的最小值为C．若，则的面积为D．直线与直线斜率乘积为定值【答案】ABC【解析】对于A选项，设点，则，且，、，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，A对；对于B选项，设，，其中，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，B对；对于C选项，由B选项可知，可得，所以，，C对；对于D选项，由题意可知，则，D错.故选：ABC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项和等于330，那么这个数列的首项等于__________.【答案】【解析】设该等比数列的首项为，公比为，则，所以，即，所以，则，即，所以，将代入得，，解得，所以这个数列的首项等于.故答案为：.14．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．【答案】【解析】因为，所以，所以，又，所以在处的切线方程为：，又切线方程过原点，把代入得，解得：．故答案为：.15．在长方体中，，E、F分别是、中点，则点到直线的距离为____________．【答案】【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以所以点到直线的距离为：，即点到直线的距离为．故答案为：．16．设为抛物线的焦点，、、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则___________.【答案】3【解析】如图，连接设、、三点的坐标分别为,，,，,，则抛物线的焦点的坐标为，，，，，，点是的重心．．．故答案为：3．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）已知，两圆交于两点，两圆的一条公切线段．(1)求的值；(2)求点到直线距离的最大值．【解析】（1）如图，两圆交于两点，设为两圆的一条公切线，作于点H，连接,则,则四边形为矩形，则，则，根据勾股定理得，又，，故,则，同理，故直线过O点，故．（2）点到直线距离设为d，则，点满足，即，因为，故，即，当且仅当时，取得等号，则，则，则，当且仅当时，d取最大值．18．（12分）从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列的前n项和为，，；设数列的前项和为，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和．注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）设等差数列的公差为，选择①，所以，即，解得，所以，选择②，所以，解得，所以，选择③，所以，即，解得，所以，因为，当时，，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由(1)可知，所以，，两式相减得所以.19．（12分）在三棱台中，平面，，．(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：在梯形中，，因为，所以，设点到平面距离为h，，解得，故平面，而平面，则，又，易得，又，则，又，平面，则平面．（2）由（1）知，两两互相垂直，以为原点，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则，设平面的法向量为，则即取得，，设平面的法向量为，则即取，则，，故二面角的余弦值为．20．（12分）已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为．(1)若点的坐标为，求直线的方程；(2)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）若点P的坐标为，当切线的斜率不存在时，切线方程为，满足题意．当切线斜率存在时,设为，则切线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以，求得，此时切线方程为．（2）∵点为直线上一动点，设且，∵为圆的切线，∴，所以在以为直径的圆上，设为圆，故是圆与圆的公共弦所在的直线方程，设以为直径的圆上的点，由直径所对的圆周角为直角得即，即圆：，则圆与圆联立做差得：，即的方程为：又因为，即代入直线得化简得，因为，只有当且时恒成立，即，所以直线恒过定点.21．（12分）已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，，C的离心率为2.(1)求C的方程；(2)直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点.【解析】（1）设双曲线C的焦距为，则.所以，又C的离心率，所以，所以C的方程是.（2）证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立得.由得所以，.因为以为直径的圆经过点，所以，即整理得，所以或.当时，直线l的方程为，所以直线l过左顶点，不符合题意；当时，直线l的方程为，所以直线l恒过定点.当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，代入，得，所以.因为，整理得，解得（舍去），此时直线l的方程为，直线l也过点.综上所述，直线l恒过定点.22．（12分）已知函数．(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；(2)根据的取值，讨论函数的单调性；(3)讨论函数在区间上的零点个数．【解析】（1），因为函数在点处的切线方程为，