内蒙古呼和浩特市2023-2024学年高二上数学期末质量检测试题含解析

内蒙古呼和浩特市2023-2024学年高二上数学期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为A. B.C. D.2．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）A B.C. D.3．若直线与直线垂直，则（）A6 B.4C. D.4．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是（）A. B.C. D.5．是等差数列，且，，则的值（）A. B.C. D.6．已知平面的一个法向量为=（2，－2，4），=（－1，1，－2），则AB所在直线l与平面的位置关系为（）A.l⊥ B.C.l与相交但不垂直 D.l∥7．在递增等比数列中，为其前n项和．已知，，且，则数列的公比为（）A.3 B.4C.5 D.68．已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）A. B.C. D.10．函数的图象大致为（）A B.C D.11．2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8212．两圆x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直线的方程为（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶概率是0.6，乙射击一次中靶概率是0.3，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为_____________14．曲线在点处的切线方程为______15．已知正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为______.16．若，均为正数，且，（1）的最大值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为；（4）的最小值为，则结论正确的是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某项目的建设过程中，发现其补贴额x（单位：百万元）与该项目的经济回报y（单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：补贴额x（单位：百万元）23456经济回报y（单位：千万元）2.5344.56（1）请根据上表所给的数据，求出y关于x的线性回归直线方程；（2）为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X的分布列与期望.参考公式：18．（12分）已知椭圆的焦距为4，点在G上.（1）求椭圆G方程；（2）过椭圆G右焦点的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程.19．（12分）已知曲线：.（1）若曲线是双曲线，求的取值范围；（2）设，已知过曲线的右焦点，倾斜角为的直线交曲线于A，B两点，求.20．（12分）如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2（1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由21．（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上有唯一的零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：.22．（10分）已知抛物线上的点到焦点的距离为6（1）求抛物线的方程；（2）设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.详解：观察函数图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D的图象正确.故选D.点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键.2、B【解析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.【详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，，求导，令，得当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数的取值范围是故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即故选：A.4、B【解析】根据侧视图，没有实对角线，正视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案.【详解】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应从左上角画到右下角，故C排除.故选：B.5、B【解析】根据等差数列的性质计算【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，所以故选：B6、A【解析】由向量与平面法向量的关系判断直线与平面的位置关系【详解】因为，所以，所以故选：A7、B【解析】由已知结合等比数列的性质可求出、，然后结合等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：由题意得：是递增等比数列又，，故故选：B8、A【解析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、充分性、必要性的定义进行求解判断即可.详解】当时，有，显然由，但是由不一定能推出，故选：A9、C【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为所以球的体积为,表面积为.圆柱的体积为：,所以其体积之比为：圆柱的侧面积为：,圆柱的表面积为：所以其表面积之比为：故选：C10、A【解析】利用导数求得的单调区间，结合函数值确定正确选项.【详解】由，可得函数的减区间为，增区间为，当时，，可得选项为A故选：A11、C【解析】由题意可知，求出的值，从而可求出椭圆的离心率【详解】解：由题意得，解得，所以离心率，故选：C12、C【解析】两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程.【详解】两圆方程相减得，即x﹣2y+6＝0则公共弦所在直线的方程为x﹣2y+6＝0故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、72【解析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，若甲、乙两个各射击1次，至少有一人命中目标的概率为.故答案为：14、【解析】求导后令求出切线斜率，即可写出切线方程.【详解】由题意知：，当时，，故切线方程为，即.故答案为：.15、【解析】取BC中点G，证明平面平面确定点P的轨迹，再计算作答.【详解】在正方体中，取BC中点G，连接，如图，因E、F分别是棱、的中点，则，而平面，平面，则有平面，因，则，而，则有四边形为平行四边形，有，又平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即线段AG是点P在底面ABCD内的轨迹，，所以点P的轨迹长度为.故答案为：16、（1）（2）（4）.【解析】利用基本不等式求的最大值可判断（1）；利用“”的妙用以及基本不等式可判断（2）；将所求代数式转化为关于的二次函数结合由二次函数的性质可得最值判断C、D，进而可得正确答案.【详解】对于（1）：因为，均为正数，且，则有，当且仅当时等号成立，即的最大值为，故（1）正确；对于（2）：因为，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（2）正确；对于（3）：因为，所以，在上单调递减，无最小值，故（3）不正确；对于（4）：，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）分布列答案见解析，数学期望：【解析】（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望【小问1详解】.，...【小问2详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.，，分布列为0123.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据已知求出即得椭圆的方程；（2）设l的方程为，，，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，根据得到，即得直线l的方程.【小问1详解】解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，.因为点在G上，所以，所以，.所以椭圆G的方程是.【小问2详解】解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，.因为，所以，则，即，由，得，.所以，解得，即，所以直线l的方程为.19、（1）（2）【解析】（1）利用双曲线的标准方程直接列不等式组，即可求解；（2）先求出直线l的方程为:，利用“设而不求法”和弦长公式求弦长.【小问1详解】要使曲线：为双曲线，只需，解得：，即的取值范围.【小问2详解】当m=0时,曲线C的方程为,可得，所以右焦点，由题意可得直线l的方程为:.设,联立整理可得：,可得：所以弦长，所以20、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.小问1详解】解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为；【小问2详解】解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.21、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，当时，等价转化，且构造函数，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；（ⅱ）根据（ⅰ）中所求得到与的等量关系，求得并构造函数，利用导数研究其单调性和最值，则问题得证.【小问1详解】当时，，则，故，，则曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】（ⅰ）因为，故可得，因为，则当时，，则，无零点，不满足题意；当时，若在有一个零点，即在有一个零点，也即在有一个零点，又，则单调递增，则只需，解得.综上所述，若在区间上有唯一的零点，则