内蒙古平煤高级中学、元宝山一中2023-2024学年数学高二上期末达标检测模拟试题含解析

内蒙古平煤高级中学、元宝山一中2023-2024学年数学高二上期末达标检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）A. B.13C.45 D.1172．若，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.3．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（）A.0个 B.1个C.2个 D.3个4．已知为等差数列，为公差，若成等比数列，且，则数列的前项和为（）A. B.C. D.5．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是A. B.C. D.6．在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）7．若圆与圆相切，则的值为（）A. B.C.或 D.或8．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）A. B.C. D.9．下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.410．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.512．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为B.当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24C.当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线D.在C上存在点M，使得二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用．某市投入亿元进行基础建设，年后产生亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，则再过______年．该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍14．写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程：__________①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切15．设，分别是椭圆C：左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________16．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知E，F分别是正方体的棱BC和CD的中点（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的余弦值18．（12分）已知（1）若函数在上有极值，求实数a的取值范围；（2）已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）19．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（异于左右顶点）（1）求△的周长；（2）求椭圆E上的点到直线距离的最大值20．（12分）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.重量范围（单位：）个数为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.21．（12分）已知向量，，且.（1）求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程；（2）设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0,1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围.22．（10分）已知数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和为

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以.故选：C2、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误.【详解】，，，，A选项正确；，B选项错误；由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，，则等号不成立，所以，C选项正确；，，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.3、B【解析】先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.【详解】“若a=0，则ab=0”，命题为真，则其逆否命题也为真；逆命题为：“若ab=0，则a=0”，显然a=1，b=0时满足ab=0，但a≠0，即逆命题为假，则否命题也为假.故选：B.4、C【解析】先利用已知条件得到，解出公差，得到通项公式，再代入数列，利用裂项相消法求和即可.【详解】因为成等比数列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前项和为：.故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.5、D【解析】由题，为可导函数，，即曲线在点处的切线的斜率是，选D【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式6、C【解析】利用点的坐标表示向量坐标，即可求解.【详解】设，，，所以，，，解得：，，，即.故选：C7、C【解析】分类讨论:当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.①当两圆外切时，有，此时.②当两圆内切时，有，此时.综上，当时两圆外切；当时两圆内切.故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题.8、B【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.【详解】解：由题得,,故选：B9、A【解析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.10、A【解析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示从而因此在椭圆中长轴长，短轴长，，故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解，属于基础题.11、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.12、C【解析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假【详解】对A，由可得，化简得，即，A错误；对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；对C，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】由4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，代入已知函数式求得参数，再求得社会经济效益是投资额的8倍时的时间，即为所求结论【详解】由条件得，∴，即．设投资年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有，解得，所以再过年，该项投资产生社会经济效益是投资额的8倍故答案为：814、(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)【解析】首先设圆的圆心和半径，根据条件得到关于的方程组，即可求解.【详解】设圆心坐标为，由①可知，半径为，由②③可知，整理可得，当时，，，所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是.故答案为：(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)15、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：16、①.6；②..【解析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论【详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，即所以故答案为：6；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）60°；（2）.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；【小问1详解】以AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，所以，，设与EF所成角的大小为，则，因为异面直线成角的范围是，所以与所成角的大小为60°【小问2详解】设平面的法向量为，与平面所成角为，因为，，所以，，所以，令，得为平面的一个法向量，又因为，所以，所以18、（1）（2）证明见解析.【解析】（1）利用导数判断出在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值，列不等式组，即可求出实数a的取值范围；（2）记函数，把证明，转化为只需证明，用分析法证明即可.【小问1详解】，定义域为，.令，解得：；令，解得：所以在上单增，在上单减，在处取得唯一的极值.要使函数在上有极值，只需，解得：，即实数a的取值范围为.【小问2详解】记函数.则函数有两个不等实根.因为，，两式相减得，，两式相加得，.因为，所以要证，只需证明，只需证明，只需证明，.证.设，只需证明.记，则，所以在上2单增，所以，所以，即，所以.即证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；(4)利用导数证明不等式19、（1）；（2）.【解析】（1）利用椭圆的定义求△的周长；（2）设直线与椭圆相切，联立方程求参数m，与之间的距离的最大值，即为椭圆E上的点到直线l距离的最大值.【小问1详解】已知椭圆E方程为，所以，△的周长为，其中，所以△的周长为.【小问2详解】设直线与直线l平行且与椭圆相切，则，得，即，令，解得，所以，与之间的距离，即椭圆E上的点到直线l距离的最大值为20、（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望为.【解析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【小问1详解】解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，，；，所以，随机变量的分布列为：所以21、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）应用向量垂直的坐标表示得x2+3y2=3，即可写出M的轨迹C的方程；（2）由直线与曲线C交于不同的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线y=kx+m(k≠0)，联立方程整理所得方程有，且由根与系数关系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N为PQ的中点结合|AP|=|AQ|知PQ⊥