河南省南阳六校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题【含答案解析】

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河南省南阳六校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则下列选项中，使成立的一个充分不必要条件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且3．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（

）A． B． C． D．5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．6．设，则（

）A． B． C． D．7．已知函数，则（

）A．是偶函数，且在区间和上单调递减B．是偶函数，且在区间上单调递减C．是奇函数，且在区间上单调递减D．是奇函数，且在区间和上单调递减8．已知函数，则使得成立的的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知，则（

）A． B． C． D．10．下列各组中两个函数是同一函数的是（

）A．和 B．和C．和 D．和11．若函数的图象上存在不同的两点到直线的距离均为1，则的解析式可以是（

）A． B． C． D．12．已知，则（

）A． B． C． D．三、填空题13．已知集合，则中元素的个数为．14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则．15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是．16．已知函数，则满足的的取值范围是．四、计算题17．计算：(1)；(2)．18．已知集合．(1)若，求；(2)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围．五、问答题19．已知函数且的图象经过点．(1)求的值；(2)比较与的大小；(3)求函数的值域．20．（1）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．六、应用题21．近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足，在乙城市的收益（单位：万元）与投入（单位：万元）满足．(1)当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？七、证明题22．已知定义域为的函数是奇函数．(1)求的值；(2)判断的单调性并用定义证明；(3)若当时，恒成立，求实数的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【分析】根据集合交集及补集定义计算即可.【详解】由题意可得，所以．故选：C.2．B【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合特例法与不等式的性质求解即可【详解】因为且不能推出，所以且不是的充分条件，A错；因为且不能推出，所以且不是的充分条件，C错；因为且不能推出，所以且不是的充分条件，D错；对于B，由且可得，充分性成立，若不能推出且，例如时，满足，而且，必要性不成立，所以且是成立的一个充分不必要条件，B符合题意．故选：B.3．D【分析】由已知可得且，将化为求解即可.【详解】由于关于的不等式的解集是，所以则有且，所以等价于，解得，即不等式的解集为．故选：D.4．A【分析】由是幂函数且在上单调递增，求出的值，代入中，结合指数函数图象所过的定点，求图象过的定点.【详解】因为是幂函数，所以，解得或．当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故，此时，当时，，即的图象过定点．故选：A5．C【分析】先由函数的定义域为求出的定义域，再结合可得答案【详解】要使函数有意义，则故或，所以的定义域为．故选：C.6．A【分析】化简可得，进而可得答案.【详解】因为，所以．故选：A.7．D【分析】利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，画出图象判断函数的单调性，从而可得答案.【详解】对于BC，，而，所以在区间上不单调，BC错误；因为的定义域为R，关于原点对称，又，所以函数为奇函数，A错误；由题意得，画出函数的大致图象，如图，观察图象可知，单调递减区间是，D正确.故选：D.8．C【分析】先判断奇偶性，再根据单调性求解不等式.【详解】易知函数的定义域为，且为偶函数．当时，，易知此时单调递增，所以，所以，解得或，故选：C9．ABD【分析】根据不等式性质逐个判断即可.【详解】对于A：由，得，则，A正确；对于B：由两边同时乘以，不等号反向，得，B正确；对于C：由两边同时除以，得，C不正确；对于D：由可得，同除以，可得，D正确，故选：ABD10．BC【分析】根据两个函数的定义域与对应法则是否都相同，分别判断即可.【详解】和定义域不相同，不是同一函数，A不符合题意；和定义域相同，对应法则相同，是同一函数，B符合题意；和定义域都是R，对应法则相同，是同一函数，C符合题意；和定义域不相同，不是同一函数，D不符合题意；故选：BC.11．AD【分析】分别作出指数函数，以及选项中的函数图象，逐项分析，即可求解.【详解】分别作出指数函数和，，和相应的图象，如图所示：对于A中，函数的图象上存在两点与到直线的距离均为1，所以A正确；对于B中，函数的图象在直线上方的部分仅存在一点到直线的距离为1，在直线下方的部分满足，到直线的距离均小于1，故不存在符合条件的两点，所以B错误；对于C中，因为，故其图象上所有点到直线的距离均大于1，所以C错误；对于D中，由点作直线的垂线，垂足为，在等腰直角中，可得点直线的距离为，由指数函数的图象知，在点的两边各存在一点到直线的距离为1，所以D正确．故选：AD.12．ABD【分析】对于AC：根据指数幂运算求解；对于B：利用基本不等式运算求解；对于D：根据对数运算结合选项B中结论分析求解.【详解】由题意可知：，对于选项A：因为，则，即，可得，即，所以，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，又因为，则，解得，所以，故B正确；对于选项C：因为，所以，故C错误；对于选项D：设，则，所以，故D正确．故选：ABD.13．4【分析】由两个集合中元素的特征可知，是满足的自然数对，列举即可.【详解】因为，所以满足的自然数对有，即中的元素有4个．故答案为：414．【分析】构造新函数，先求新函数的最大值与最小值之和，再求的最大值与最小值之和.【详解】设函数，则的最大值为，最小值为，易知是奇函数，所以，所以，故答案为：15．【分析】先分离常数，再根据分式函数单调性求参数.【详解】函数，由时，单调递减，得，解得，故答案为：16．【分析】分、、三种情况解不等式，综合可得出所求出满足条件的的取值范围.【详解】由题意知，当时，，则恒成立；当时，则，则恒成立；当时，则，则，解得，所以．综上，的取值范围是．故答案为：.17．(1)100(2)12【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求解；（2）根据对数的运算性质即可求解.【详解】（1）原式；（2）原式．18．(1)(2)【分析】（1）求出和集合，进而求出；（2）根据真子集，即可列不等式求解.【详解】（1）由得，故，由得，因为，故，若，则，所以；（2）若是成立的充分不必要条件，则，则有解得，此时满足，所以的取值范围是．19．(1)(2)(3)【分析】（1）直接代入即可求出值；（2）根据指数函数单调性即可比较大小；（3）求出，再根据指数函数值域即可得到答案.【详解】（1）因为的图象经过点，所以，又且，所以．（2）因为，所以在上单调递增．又因为，所以，所以．（3）当时，，则，所以，即，所以的值域为．20．（1）；（2）．【分析】（1）讨论三种情况，，，，结合判别式的符号，可求实数的取值范围；（2）等价于，结合二次函数的性质可求实数的取值范围．【详解】（1）当时，显然，满足题意；若，因为，所以恒成立，满足题意；若，则需，解得．综上，实数的取值范围是．（2）由题可知，当时，恒成立．因为，所以等价于．在区间上的最大值为，所以，在区间上的最小值为，所以只需即可，所以实数的取值范围是．21．(1)（万元）(2)当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大【分析】（1）把已知数据代入收益的算式中，计算即可；（2）设在甲城市投资万元，表示出总收益，通过换元，利用二次函数的性质求最大值成立的条件.【详解】（1）当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，所以总收益为（万元）．（2）设在甲城市投资万元，则在乙城市投资万元，总收益为，依题意得解得．故．令，则，所以，因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴，所以当，即时，取得最大值65，所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元．22．(1)(2)函数在上是增函数，证明见解析(3)【分析】（1）根据题意，结合和，求得的值；（2）化简函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；（3）根据题意，把不等式转化为任意，成立，设，利用换元法和二次函数