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文档简介
概率论
与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意,概率破玄机;无序隐有序,统计解迷离.第三章多维随机变量及其分布第五节多维随机变量函数的分布二、多维连续随机变量函数的分布一、多维离散随机变量函数的分布三、小结一、多维离散随机变量函数的分布设(X,Y)是二维离散随机变量,其联合分布律为定理1:则Z=g(X,Y)也是离散随机变量,且Z的分布律为其中
g(x,y)是二元初等函数.注:以上定理的结论可以推广至多维随机变量的情形,同学们可尝试给出相应的形式.设X和Y是两个相互独立的、取值为非负整数值的离散随机变量,其中X的概率分布律为由题意,Z=X+Y也是取值非负的离散随机变量,利用独立性可得例1:Y的概率分布律为求Z=X+Y
的概率分布律.解:设有二项随机变量,且X与Y
相互独立,则称此公式为“离散卷积公式”.其中
n=0,1,2,...即练习:二项随机变量的“再生性”---由相互独立的二项随机变量求和可得新的二项随机变量.若Z1,Z2,…,Zm是相互独立的0-1随机变量,即Zi
~B(1,p),i=1,2,…,n,则有注:若Xi
~B(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,X2,…,Xm相互独立,则有特别地,二、多维连续随机变量函数的分布设(X,Y)是二维连续随机变量,其联合概率密定理2:分布函数为其中
g(x,y)是二元初等函数.注:当Z=g(X,Y)为连续随机变量时,Z的密度函数为度函数为f(x,y),则Z=g(X,Y)也是随机变量,且Z的利用分布函数法,可以计算两个连续随机变量之和、差、积、商的密度函数.设(X,Y)是二维连续随机变量,其联合概率密定理3:度函数为f(x,y),则Z=X+Y
的概率密度函数fZ(z)为U=X-Y
的概率密度函数fU(u)为V=XY
的概率密度函数fV(v)为当X与Y相互独立时,其联合概率密度函数为f(x,y)=
fX(x)fY(y).此时,Z=X+Y的密度函数为W=X/Y
的概率密度函数fW(w)为称此公式为“连续卷积公式”,记为注:由题意,X与Y的概率密度函数分别为例2:证明:设
且X与Y相互独立,证明:令Z=X+Y,则当X与Y相互独立时,由卷积公式得经计算,上式中被积函数的指数部分可化为其中,则有,再令u=Ax-B,并利用,则上式可化为即注:由上例可见,两个相互独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量,其参数是有关的参数相加.这说明正态分布也具有“再生性”,此结论可推广至多个正态随机变量的情形.接下来,不作证明,给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质:说明:(1)若X1,X2,…,Xn都是正态随机变量,且相互独立,则(X1,X2,…,Xn)是n维正态随机变量;反之,n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)的每一个分量Xi
(i=1,2,…,n)都是正态随机变量.(2)n维随机变量(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合服从一维正态分布.接下来,不作证明,给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质:说明:(3)若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布,设Y1,Y2,…,Ym都是Xi
(i=1,2,…,n)的线性组合,则(Y1,Y2,…,Ym)服从m维正态分布(正态分布的线性变换不变性).(4)
设(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布,则“X1,X2,…,Xn相互独立”与“X1,X2,…,Xn两两不相关”是等价的.在概率统计中,也经常需要求多个随机变量的最大值和最小值的分布.设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,其分定理4:则Xmax与Xmin也是随机变量,它们的分布函数分别为布函数分别为.令由分布函数定义及独立性,先求Xmax分布函数证明:再求Xmin的分布函数,
(1)如果X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量,记它们的分布函数为F
(x)
,则有(2)如果X1,X2,…,Xn是独立同分布的连续随机变量,记它们的概率密度函数为f
(x)
,则有注:设X1,X2,…,Xn相互独立,且均服从指数分布,参数分别为
,证明:仍服从指数分布.例3:证明:由定理4,Xmin的分布函数为设X1,X2,…,Xn相互独立,且均服从指数分布,参数分别为
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