高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第19讲 3.3幂函数（学生版）

第05讲3.3幂函数课程标准学习目标①了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；②掌握常见幂函数的图像；③利用幂函数的单调性比较指数式大小。④利用幂函数的性质解不等式及待定参数的求解通过本节课的学习，要求掌握幂函数的概念，能根据幂函数的要求求出幂函数的解析式，并能根据幂函数的性质求待定参数.知识点01一：幂函数的概念1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.2、幂函数的特征①中前的系数为“1”②中的底数是单个的自变量“”③中是常数【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B知识点02：幂函数的图象与性质1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）当时，我们得到五个幂函数：；；；；2、五个幂函数的性质定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在上单调递增在上单调递减在单调递增在上单调递增在单调递增在上单调递减在上单调递减定点3、拓展：①，当时，在单调递增；②，当时，在单调递减.【即学即练2】（江西省赣州市2022-2023学年高一上学期11月期中考试数学试题）幂函数在上为减函数，则的值为______.【答案】【详解】由函数是幂函数，则，解得或；当时，，在上为减函数，满足题意；当时，，在上为增函数，不合题意.故答案为：.题型01判断函数是否为幂函数【典例1】（2023·高一课时练习）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【典例2】（2023秋·云南德宏·高一统考期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·高一课时练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个题型02求幂函数的值【典例1】（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为___________．【变式1】（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）若是幂函数，且，则__________题型03求幂函数的解析式【典例1】（2023·浙江·统考模拟预测）已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数___________.【典例2】（2023·高一课时练习）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为_________．【变式1】（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知幂函数在第一象限单调递减，则______.题型04根据函数是幂函数求参数【典例1】（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或【典例2】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数______．【变式1】（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知幂函数满足，则______.【变式2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.题型05求幂函数的定义域【典例1】（2023秋·浙江·高一校联考期末）已知幂函数，则此函数的定义域为________．【典例2】（2023·高一课时练习）函数的定义域为_______．【变式1】（2023·高一课时练习）若幂函数的图象经过点，求的定义域.题型06求幂函数的值域【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若幂函数的图象过点，则的值域为____________．【典例3】（2023·高一课时练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数的图像过点，则的值域是（

）A． B．C． D．题型07幂函数的图象的判断及应用【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知幂函数（且与互质）的图像如图所示，则（

）

A．、均为奇数且 B．为奇数，为偶数且C．为奇数，为偶数且 D．为偶数，为奇数且【典例2】（2023·全国·高三对口高考）给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【变式1】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．题型08幂函数过定点问题【典例1】（2023·高一课时练习）函数恒过定点______．【典例2】（2023·高一课时练习）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点__________．【变式1】（2023·高一课时练习）幂函数的图像一定经过第______象限题型09幂函数的单调性【典例1】（多选）（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高一课时练习）已知函数：①，②，③，④，既是偶函数，又在上为增函数的是_________．【变式1】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（

）A． B．是减函数C．是奇函数 D．是偶函数【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.题型10幂函数的奇偶性【典例1】（2023·高一课时练习）已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【典例2】（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）已知幂函数的图像关于轴对称.(1)求的值;(2)若函数，求的单调递增区间.【变式1】（2023春·河北保定·高二校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于轴成轴对称，则的值可以为（

）A．1 B．4 C．7 D．10【变式2】（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减函数．则________．题型11根据幂函数的单调性求参数【典例1】（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知幂函数在上是减函数，则的值为（

）A． B．1 C．3 D．1或【典例2】（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增．(1)求的值及函数的解析式；(2)若函数在上的最大值为3，求实数的值．【变式1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数的值为______．【变式2】（2023·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．题型12根据幂函数的单调性解不等式【典例1】（2023·高三课时练习）已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是______．【典例2】（2023·高一课时练习）求不等式的解.【变式1】（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.【变式2】（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．题型13根据幂函数的单调性比较大小【典例1】（2023·高一课时练习）已知，若，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高一课时练习）比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，；(3)，，．【变式1】（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（

）．A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减2．（2023春·四川宜宾·高一校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北宜昌·高一校联考期中）已知点在幂函数的图象上，则（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高一专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③6．（2023秋·安徽·高一校联考期末）若幂函数在区间上单调递减，则（

）A．3 B．1 C．或3 D．1或7．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，8．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（

）A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且D．是奇数，且二、多选题9．（2023秋·宁夏银川·高一银川二中校考期末）幂函数，，则下列结论正确的是（

）A． B．函数是偶函数C． D．函数的值域为10．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上为减函数 D．在上为减函数三、填空题11．（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知幂函数的图象过点和，则实数m＝______.12．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.四、解答题13．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求的解析式；(2)在（1）问的条件下，当时，求的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）14．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知幂函数的图