高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第27讲 4.5.1函数的零点与方程的解（教师版）

第05讲4.5.1函数的零点与方程的解课程标准学习目标①了解函数的零点与方程的解的关系，并能结合函数的图象判定函数的零点。②能根据函数零点存在性定理对函数零点存在进行判定，同时能处理与函数零点问题相结合的求参数及综合类的问题。通过本节课的学习，要求能判定函数零点的存在，同时能解决与函数零点相结合的综合问题知识点01：函数零点的概念1、函数零点的概念对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.

这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点2、已学基本初等函数的零点①一次函数只有一个零点；②反比例函数没有零点；③指数函数（且）没有零点；④对数函数（且）只有一个零点1；⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。知识点02：函数零点存在定理及其应用1、函数零点存在定理如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.2、函数零点的求法①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解【即学即练1】（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）函数的零点为．【答案】2【详解】令，则，得.故答案为：3、函数零点个数的判断①利用代数法，求出所有零点；②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.知识点03：二次函数的零点问题一元二次方程的实数根也称为函数的零点.当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：的实数根（其中）方程无实数根的图象的零点函数无零点【即学即练2】（2023·高一课时练习）若函数的一个零点是1，则它的另一个零点是．【答案】3【详解】由，所以令或，故另一个零点为3故答案为：3题型01求函数的零点【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的零点为．【答案】4【详解】依题意有，所以.故答案为：4.【典例2】（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）已知函数，则函数的零点为.【答案】和【详解】当时，令，解得；当时，则在上单调递增，且，故在内有且仅有一个零点2；综上所述：函数的零点为和.故答案为：和.【变式1】（2023春·浙江·高一校联考期中）函数的零点是【答案】/【详解】令，则，解得，故答案为：.【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）求下列函数的零点．(1)；(2).【答案】(1)9(2)答案见解析【详解】（1）由，得，又，所以，即，所以函数的零点为.（2）由，得，①当，时，函数有唯一零点；②当，即时，函数有两个零点和.题型02函数零点个数的判断【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数的零点个数为（）A．1 B．2C．1或2 D．0【答案】C【详解】由，得，得或，当时，函数的零点个数为；当时，函数的零点个数为.所以该函数的零点个数是1或2.故选：C【典例2】（2023·高一课时练习）方程的实数解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】在同一直角坐标系中画出函数和的图象，由图象可知：两个函数图象只有一个交点，故方程的实数解的个数为1，故选：B

【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知，方程的实根个数为．【答案】2【详解】由，则，则令，，分别作出它们的图象如下图所示，

由图可知，有两个交点，所以方程的实根个数为2．故答案为：2．【典例4】（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）若函数，则函数的零点个数是.【答案】2【详解】作出与的函数图像如图：

由图像可知两函数图像有个交点，所以函数有两个零点.故答案为：【变式1】（2023·全国·高一假期作业）函数的零点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．无数个【答案】C【详解】令，则，所以的零点为1和，故有两个零点，故选：C【变式2】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数.(1)作出函数的图象；(2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数．【答案】(1)作图见解析(2)答案见解析【详解】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．

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（2）由图象易知，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．.当时，函数的零点的个数为0；当与时，函数的零点的个数为2；当时，函数的零点的个数为4；当时，函数的零点的个数为3.【变式3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若的值域为，则至多有个零点.【答案】4【详解】当时，，由可得，；当时，，由可得，或；当时，，由可得，或.综上所述，的零点可能是或或或.所以，的零点至多有4个.故答案为：4.【变式4】（2023·全国·高三对口高考）函数的图象与函数的图象的交点个数为个．【答案】2【详解】在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图，它们交点个数为2．

故答案为：2.题型03判断函数零点所在的区间【典例1】（2023春·云南楚雄·高一统考期末）若是方程的解，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数在定义上单调递增，又，，所以函数的零点所在区间是，即．故选：C.【典例2】（2023春·天津红桥·高二统考学业考试）设为方程的解，若，则的值为.【答案】【详解】由题意可知是方程的解，所以，令，由，所以，再根据，可得，故答案为:.【变式1】（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知函数定义域为，且函数单调递增，又，所以上没有零点；，，由零点存在定理可知，所以零点所在区间是.故选：D【变式2】（2023春·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）函数的零点为，且，，则k的值为（

）A．1 B．2 C．0 D．3【答案】A【详解】解：因为在上单调递增，又，所以，故选：A题型04已知零点个数求参数的取值范围【典例1】（2023·全国·高一假期作业）若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，由于当时，，，且；当时，，，且，作出函数的图象如图所示，则当时，函数与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实数根，的取值范围是．故选：C．【典例2】（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设表示m，n中的较小数．若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题意可得有解，所以，解得或，当时，必有，解得；当时，必有，不等式组无解，综上所述，，∴的取值范围为.故选：A【典例3】（2023·高一课时练习）若函数有2个零点，求实数a的取值范围．【答案】【详解】令，令，则，画出的大致图象如下：由图象可知：当或时，直线与的图象有两个交点，符合题意，故a的取值范围为，

【典例4】（2023春·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数是偶函数.当时，.(1)求函数在上的解析式；(2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；(3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围.【答案】(1)(2)或(3)答案见解析【详解】（1）设，则∴∵为偶函数∴综上，有（2）由（1）作出的图像如图：因为函数在区间上具有单调性，由图可得或，解得或；故实数的取值范围是或.（3）由（1）作出的图像如图：由图像可知：当时，有两个零点；当时，有四个零点；当时，有六个零点；当时，有三个零点；当时，没有零点.【变式1】（2023·北京·高三专题练习）设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】画出函数的图象如下图所示：函数可由分段平移得到，易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；当时，恰有一个零点，满足题意，即；综上可得的取值范围是.故选：D【变式2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】BCD【详解】函数的图象，如图所示：由题意知，直线与的图象有2个交点．当直线过点时，，当直线过点时，．结合图象如图可知，当时，直线与的图象有2个交点，如图所示：又当直线与曲线相切在第一象限时，直线与的图象也有2个交点，如图所示：，化简可得，由，得，又由图可知，所以，此时切点的横坐标为2符合.综上，实数a的取值范围是.故选：BCD．【变式3】（2023·全国·高一假期作业）若函数在内有且只有一个零点，则的取值集合是.【答案】【详解】

由已知得，，.由二次函数图象及函数零点存在定理可知，该函数在内只有一个零点，只需，解得.故答案为：.【变式4】（2023·高一课时练习）已知是定义在上的偶函数．(1)求的值；(2)画出的图象，并指出其单调减区间；(3)若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)作图见解析；答案见解析(3)【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，所以，即，所以，所以，因为，所以；（2）由（1）得，列表：…01234……521252125…描点连线得图象如图所示：由图象可得单调减区间为和；（3）因为关于的方程有2个不相等的实数根，所以与的图象有两个不同的交点，由（2）中的图可知或，所以或，所以实数的取值范围为.题型05已知零点所在区间求参数的取值范围【典例1】（2023春·河南信阳·高一统考期末）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由零点存在定理可知，若函数在区间上存在零点，显然函数为增函数，只需满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D【典例2】（多选）（2023秋·高一单元测试）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【详解】因为函数在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，由函数的一个零点在区间内，得，解得,故选：BC【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为．【答案】【详解】因为在单调递增，且有零点，所以，解得，故答案为：【变式1】（2023·高一课时练习）若函数在内恰有一个零点，则a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，只有一个零点，不符合题意，当时，若，即，函数只有一个零点，不符合题意，因函数在内恰有一个零点，则，即，解得，所以a的取值范围是.故选：A【变式2】（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是．【答案】【详解】方程在上有解，等价于函数与在有交点，因为，所以，所以，解得.故答案为：【变式3】（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）若函数在区间内有零点，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由题意得：为连续函数，且在上单调递减，在上单调递增，故，，，所以只需或，解得：，故实数的取值范围是.故答案为：题型06二次函数的零点问题【典例1】（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】开口向上，对称轴为，要想满足，则要，解得：.故选：B【典例2】（2023·高一课时练习）方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是.【答案】【详解】∵方程的一根大于1，另一根小于1，令，则，解得.故答案为：.【典例3】（2023·江苏·高一假期作业）（1）判断二次函数在内是否存在零点；（2）若二次函数的两个零点均为正数，求实数的取值范围．【答案】（1）存在；（2）【详解】（1）由得或，因为，所以二次函数在内存在零点.（2）因为二次函数的两个零点均为正数，所以二次有两个正实数根．设为，由一元二次方程的根与系数的关系得，解得.即实数的取值范围是.【变式1】（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）已知关于的方程，存在两个不同的实根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可得，即在时有2个不同的解，设，根据双勾函数的性质可知，在单调递减，单调递增，且，要使在时有2个不同的解，则，故选:D.【变式2】（2023·高一课时练习）若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意在内有解，，时，，时，，所以．故选：A．【变式3】（2023·江苏·高一假期作业）已知函数.(1)若该函数有两个不相等的正零点，求的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求的取值范围．【答案】(1)或(2)或【详解】（1）因为二次函数有两个不相等的正零点，且对称轴，所以，解得或.（2）因为二次函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，所以，得或.题型07函数与方程综合【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知函数，常数.(1)若是奇函数，求的值；(2)若，在区间内有且仅有一个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）①若有定义，则，即，解得，此时符合题意；②若无定义，则，故，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，不符合题意.综上，.（2）当时，，令，得，得或（舍），所以，因为在区间内有且仅有一个零点，所以，解得.【典例2】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数(1)证明：函数在上单调递减；(2)讨论关于x的方程的实数解的个数．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【详解】（1）任取，则，令，且，则，，所以，即，故函数在上单调递减．（2）关于x的方程的实数解的个数，等价于函数与常函数的交点个数，由（1）可得：，令，且，则，，所以，即，故函数在上单调递减，结合（1）可得：函数在上单调递减，在上单调递增，故，令，且，整理得，解得或，故函数的图像如图所示：可得函数的图像如图所示：对于函数与常函数的交点个数，则有：当时，交点个数为0个；当或时，交点个数为2个；当时，交点个数为3个；当时，交点个数为4个．【变式1】（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知函数为奇函数.(1)求实数a的值；(2)若方程在区间上无解，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）若函数为奇函数，即，则，解得.（2）由（1）可得：，若，则，可得，构建，对，且，则，即，可得，故，即，∴在上单调递减，由，可得在上的值域为，故方程无解，则实数m的取值范围.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由图象知：，即，解得：，当时，；当时，，，为上的偶函数，当时，；综上所述：；（2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，由图象可知：，即实数的取值范围为.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知函数，则的零点所在的区间为（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以由零点存在性定理知，的零点所在的区间为.故选：B.2．（2023·全国·高一假期作业）已知方程的解在内，则（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【详解】令函数，显然函数在上单调递增，而，，因此函数的零点，所以方程的解在内，即.故选：C3．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为二次函数图象的开口向上，对称轴，函数的两个零点都大于2，所以，解得.故选：C4．（2023·高一课时练习）已知二次函数，若，则在区间内的零点情况是（

）A．有两个零点 B．有唯一零点 C．没有零点 D．不确定【答案】C【详解】因为函数开口向下，又，所以在区间内没有零点.故选：C5．（2023春·山东聊城·高二统考期末）已知函数，，的零点分别为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由，得，所以为与图象交点的横坐标，由，得，所以为与图象交点的横坐标，由，得，所以为与图象交点的横坐标，分别作出和的图象，则由图象可得，

因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，故选：B6．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）设实数a为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数存在零点，等价于方程在上存在零点，注意到的图像开口向上，对称轴为，且，故上述条件等价于，即，解得.所以函数存在零点的充分必要条件是.故选：A.7．（2023春·江苏南通·高二统考期末）已知函数若函数有五个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，则，此时，则或，当时，则，此时，则，故问题转为，共有四个零点，画出函数图象如下可知：则，故选：D

8．（2023春·河南驻马店·高一河南省驻马店高级中学校考阶段练习）享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，例如：，设为函数的零点，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】因为函数在上单调递增，且，，则存在唯一零点，使得，由高斯函数的定义可知，.故选：B.二、多选题9．（2023·全国·高一假期作业）函数的零点可以是（）A． B．C． D．【答案】CD【详解】函数的定义域为令，解得或，故的零点是和，故选：CD10．（2023·高一课时练习）设为定义在R上的奇函数，当时，为常数），则（

）A． B．C． D．函数仅有一个零点【答案】ABD【详解】对A：因为是上的奇函数，故，解得，故A正确；对BC：，故B正确，C错误；对D：当时，；因为是增函数，也是增函数，故在上也是单调增函数，为奇函数，故在上是单调增函数，至多有一个零点；又，故仅有一个零点，D正确；故选：ABD.三、填空题11．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数在上有零点，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】当时，函数，无零点，不合题意；当时，由，解得，所以，即，解得或；综上所述：实数a的取值范围是.故答案为：.12．（2023春·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）若是方程的解，则在区间内(填序号).①；②；③；④.【答案】③【详解】构造函数，则，，显然函数f(x)是单调递增函数，且连续不间断，故其有且只有一个零点，，，则函数的零点在区间上，所以的解在区间上．故答案为：③．四、解答题13．（2023·高一课时练习）已知一次函数满足，．（1）求这个函数的解析式；（2）若函数，求函数的零点．【答案】（1）；（2）函数的零点是2和1．【详解】（1）设，由条件得：，解得，故；（2）由（1）知，即，令，解得或，所以函数的零点是2和1．14．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知函数，且的图象经过点.(1)求的值；(2)求在区间上的最小值；(3)若，求证：在区间内存在零点.【答案】(1)2(2)(3)证明见解析【详解】（1）因为函数，且的图象经过点，所以，因为，所以.（2）由(1)得，所以在区间上单调递增，所以.（3）,,,根据零点的存在性定理可知在区间内存在零点.B能力提升1．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知函数，若且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】画出函数的图象如图，

若，由，即，即，即，所以，当时，单调递增，且，令，则，所以，.故选：D.2．（2023春·天津·高二统考期末）已知函数，，．若恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】恰有2个零点，则有，即，故函数的图象与直线有2个交点，画出函数图象，如图，平移直线，可以看出当，即时，直线与函数的图象有2个交