专题13.3.113.4等腰三角形与最短路径问题（4大热点115题）简单数学之八年级上一点三练（人教版）（原卷版）

第十三章轴对称专题等腰三角形与最短路径问题知识点回顾知识点回顾1、等腰三角形的性质：=1\*GB3①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；=2\*GB3②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）等腰三角形的判定：=1\*GB3①如果一个三角形有两条边相等；=2\*GB3②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）等边三角形的性质：=1\*GB3①等边三角形的三个内角都是60〬=2\*GB3②等边三角形的每条边都存在三线合一；4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）5、等边三角形的判定：=1\*GB3①三条边都相等的三角形是等边三角形；=2\*GB3②三个角都相等的三角形是等边三角形；=3\*GB3③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；7、最短路径的选择

=1\*GB3①当两点在某一条直线的两侧时,这两点的最短距离就是连接这两点的线段与直线的交点就是最短路径的点.=2\*GB3②当两点在某条直线的同侧时,这两点到直线上某一点的最短距离的作法:作任意一个点关于这条直线的对称点,然后再连接对称点与另一点之间的线段,与直线的交点就是最短距离的点的位置.注意：在解决最短路径的问题时,我们通常利用平移、轴对称等变化把已知问题转化成容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.热点训练热点训练热点一：等腰三角形的性质1练基础1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知三角形纸片，，，将其折叠，如图，使点与点重合，折痕为，点，分别在，上，那么的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，中，于点D，若，则有（

）A． B． C． D．3．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，等腰直角三角形的直角顶点A落在矩形纸片的一边上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在证明等腰三角形的性质定理：“等腰三角形的两底角相等”时，李老师在黑板上出示了“已知，在中，，求证：．甲同学做法：“作的平分线，利用“”证明，则”；乙同学做法：“作边上的高，利用“”证明，则”；丙同学做法：“作边上的中线，利用“”证明，则”；下列说法正确的是(

)A．甲、乙、丙做法都对 B．甲、乙、丙做法都不对C．只有乙做法不对 D．只有丙做法不对5．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在中，，的外角，为边上一点，分别以、所在直线为对称轴，作点的对称点、，连接、．则的度数为（

）A． B． C． D．6．（2023秋·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点、到脚杆的距离相等，点、、在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（

）A．等边对等角 B．垂线段最短C．等腰三角形的三线合一 D．是的垂直平分线7．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点E，，，则的面积是（

）A． B． C．8 D．68．（2023春·甘肃张掖·七年级校联考期末）高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（

）A． B． C． D．9．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图，在中，，是的中点，，则度．10．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，已知中，，为高，为中线，与相交于点O，若，，则的面积为．11．（2023春·福建宁德·七年级统考期末）请将下面的说理过程和理由补充完整．已知：如图，在等腰中，，点D，E分别在，上，．试说明：．解：是等腰三角形，，（①）．，（等式的性质）．即②．在和中，（④）．（⑤）．12．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，已知是延长线上的点．(1)过点在射线右侧作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，求证：平分．2练巩固13．（2023春·河北保定·八年级校考期中）如图，在中，为上一点，，垂足为，垂足为，下面结论：①；②；③，正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③14．（2023秋·河南开封·八年级校考期末）如图，在中，，．分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于D，E两点，直线交于点F，连接．以点A为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，连接．若的周长为12，则的长为（

）A．6 B． C．7 D．15．（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）只用圆规来验证纸片的两边是否平行的探究活动中，小明的方法是：在纸片的一边上取线段，用圆规在另一边上截取，使，如图1．用圆规比较和的长度，若相同则平行．小刚的方法是：折叠纸条，使和重合，交于点F，折痕为和，如图2．用圆规比较，，的长度，若，则平行．则正确的是（

）A．小明的方法正确，小刚的方法错误B．小明和小刚的方法都正确C．小明的方法错误，小刚的方法正确D．小明和小刚的方法都错误16．（2023春·四川成都·七年级校考期中）如图，在等腰三角形与等腰三角形中，，连接交于点P，则的度数为°．17．（2023春·四川成都·八年级统考期中）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，则的度数为．18．（2023秋·广西南宁·八年级南宁二中校考开学考试）如图，在射线上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，…按此规律作下去，若，则．19．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在等腰中，，点，，在同一直线上，，．(1)求证：；(2)连接，若，，求的度数．20．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，点，点分别在，上，连接，，且，，(1)尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交于点，交延长线于点（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；(2)在（1）问的条件下，连接，求证：．请将下列证明过程补充完整．证明：∵平分，∴（①________）.∵，，∴②________，（等腰三角形三线合一），∴直线是的垂直平分线，∴③________（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），∴（等边对等角）．∵，∴④________（两直线平行，同位角相等），∴（等量代换）．21．（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．(1)试说明：；(2)若，求的度数．22．（2023春·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，，，垂足为点，．(1)说明的理由；(2)若，请说明的理由．23．（2023秋·黑龙江绥化·八年级统考期末）如图，在中，，于点D，是的外角的平分线，(1)求证：；(2)若平分交于点N，判断的形状并说明理由.24．（2023秋·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）在中，点是边上的两点．(1)如图1，若，．求证：；(2)如图2，若，，设，．①猜想与的数量关系，并说明理由；②在①的条件下，，请直接写出的度数．3练拔高25．（2023春·广东深圳·七年级深圳实验学校校考期末）如图，中，，，D是斜边的中点，E是直角边上一动点，连接交于F，过F作交的延长线于点G，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④26．（2023秋·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）如图所示，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，连接，得第条线段；以圆心，为半径向右画弧交于点，连接，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交点，连接，得第条线段；……，这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则的值为(

)A．5 B．6 C．7 D．827．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，一钢架中，，焊上等长的钢条来加固钢架，且，对于下列结论，判断正确的是(

)结论Ⅰ：若，则；结论Ⅱ：若这样的钢条在钢架上至多能焊上6根，那么的取值范围是A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对28．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在中，，，平分，则．29．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）从一个等腰三角形的顶角引出的一条射线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形，则这个等腰三角形的顶角为．30．（2023秋·重庆巫溪·八年级统考期末）如图，在中，点，点分别在边，上，，，若，则的度数为度．31．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．32．（2023秋·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）如图，在中，的垂直平分线交于，交于是直线上一动点，点为中点．若的面积是30，则的最小值为．33．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）如图，等腰的底边，面积为，是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在上运动，的最小值是．34．（2023春·福建宁德·八年级校联考期中）如图，在中，，分别为，边的垂直平分线，连接，．(1)若，求的度数；(2)判断与之间的数量关系，并说明理由．35．（2023春·广东梅州·七年级统考期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．(1)当时，______°，______°；(2)若，试说明；(3)在点D的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求36．（2023春·山东东营·七年级统考期末）中，，在直线上，在直线上，，设度，度．(1)如图当在线段上，在线段上，，，则______，______．(2)如图当在线段上，在线段上求和之间的关系式；(3)如图当在直线上，在直线上，和之间的关系式发生改变吗？为什么？37．（2023春·宁夏银川·七年级银川唐徕回民中学校考期末）如图，在中，，．点D是直线上一动点（点D不与点B，C重合），，，连接．(1)如图1，当点D在线段上时，若，则______；(2)如图2，当点D在边的延长线上时，与相等吗？如果相等请说明理由；(3)如图3，若点D在边的延长线上，且点A，E分别在直线的两侧，其他条件不变，此时与有怎样的位置关系？并说明理由．38．（2023春·全国·七年级期末）如图①，已知点D在线段上，在和中，，，，，且M为的中点．(1)连接并延长交于N，写出线段与的数量关系：；(2)写出直线与的位置关系：；(3)将绕点A逆时针旋转，使点E在线段的延长线上（如图②所示位置），（2）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．热点二：构造等腰三角形1练基础39．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个40．（2023春·海南海口·八年级统考开学考试）如图，线段、互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个41．（2023春·四川达州·八年级校考期末）如图，在正方形网格中，A、两点是格点，如果点也是格点，且是等腰三角形，这样的点有个．42．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是43．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，点A、B在方格纸中小正方形的顶点上，每个小正方形的顶点叫做格点．(1)按下列要求画图：①以为腰作等腰，使得点C在格点上；②以为底作等腰，使得点D在格点上．(2)的面积是______44．（2023春·七年级单元测试）图1，图2，图3均是边长为1的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．请只用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图，所作图形的顶点均在格点上（保留痕迹，不要求写作法）．(1)在图1中以线段为腰作一个等腰锐角三角形；(2)在图2中以线段为腰作一个等腰钝角三角形；(3)在图3中以线段为边作一个四边形，使其为轴对称图形．2练巩固45．（2023秋·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考开学考试）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．646．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是（

）．A． B． C． D．47．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知线段AB和直线m，点A在直线m上，以AB为一边作等腰ΔABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形的个数共有（

）A．5 B．4 C．3 D．248．（2023秋·云南昆明·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴的夹角为，点P是x轴上动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个49．（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称(1)画出△A1B1C1和△A2B2C2；(2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）；(3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有个.50．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期末）仅利用已有的格点与无刻度直尺作图，符合条件的点画出一个即可．(1)在图1中，标出格点P，连结，使平分．(2)在图2中，标出格点Q，连结，使．51．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点和点在小正方形的顶点上．(1)在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为，B点坐标为；(2)在第二象限的格点上找一点C，使为等腰三角形，画出三角形，并写出点C的坐标．(3)画出关于y轴对称的三角形．3练拔高52．（2023秋·河北邢台·八年级校考期末）题目：“如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有3个，求的取值范围。”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（

）A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整53．（2023春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．54．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是．55．（2023春·广东·七年级统考期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点处，直线与网格中竖直的线互相重合．(1)的面积是；(2)画出关于直线对称的；(3)在所给网格图中，以为底边且另一个顶点在小正方形的顶点上的等腰三角形的个数是个．56．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以为底的等腰，点在小正方形的顶点上；的面积为；(2)在方格纸中画出以为一边的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为5，连接，直接写出的长度．57．（2023春·山东菏泽·八年级期中）如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.58．（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图所示，在平面直角坐标系中，轴于点B，轴于点D．点，，且a，b满足．(1)如图1，求证：；(2)如图1，若，在x轴上是否存在点F，使是以CO为腰的等腰三角形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；热点三：等腰三角形的判定1练基础59．（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（

）A．1 B．5 C．9 D．1060．（2023春·河南郑州·八年级校考期末）在中，，，D为线段上一点，且点D到、距离相等，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形61．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在中，点O是内一点，连接、，垂直平分，若，，则点A、O之间的距离为（

）A．4 B．8 C．2 D．662．（2023秋·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）如图，在中，，，的平分线交于点E，则的值是（）A．1 B．2 C．3 D．463．（2023春·安徽宿州·八年级校考期中）如图，点，都在的边上，，和的平分线分别交于点，若，则．64．（2023秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则．65．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，，E是上的一点，且，．求证：是直角三角形．66．（2023春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）如图，已知：是的外角，，，请判断的形状，并说明理由．67．（2023春·福建漳州·八年级统考期中）如图，BD平分，，垂足为点D，．求证：是等腰三角形．68．（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）如图，在中，点，分别在边，上，，平分．(1)求证：；(2)若，，求的度数．69．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，平分，点E，F分别在边，上，，延长，交于点G，(1)求证：；(2)若，，求的度数．2练巩固70．（2023春·八年级单元测试）如图，已知在中，平分，平分，且，，若，则的周长是（）A． B． C． D．71．（2023·河北邯郸·统考一模）已知等腰三角形纸片，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．两名同学提供了如下方案：方案Ⅰ方案Ⅱ如图1，①分别作，的垂直平分线，交于点P；②选择，，．如图2，①以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，交于点E；②连接，．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（

）．A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行72．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）如图，在中，，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④73．（2023秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点和．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长交于点，则下列结论一定成立的个数为（

）①；②若，则；③若，则点在的垂直平分线上；④若，为上一动点，则的最小值为1．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个74．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，，求的长．75．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，在中，平分交于点，为上一点，且．(1)求证：；(2)若，，，求的面积．76．（2023秋·重庆合川·九年级统考期末）如图，在中，，，以点C为中心，分别将线段，逆时针旋转60°得到，，连接并延长与交于点F，连接，．(1)求证：为等腰直角三角形；(2)连接，求证：平分．77．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H．(1)求证：为等腰三角形；(2)若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之78．（2023春·河北保定·八年级统考期中）（1）如图①，在中，，的平分线相交于点F，过点F作，分别交AB，AC于点D，E．求证：．（2）如图②，若F是的平分线和的外角的平分线的交点，（1）中的其他条件不变，请猜想线段之间有何数量关系，并证明你的猜想．3练拔高79．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．680．（2023春·河南驻马店·七年级校考期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（

）①的面积的面积；②；③；④．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③81．（2023春·福建厦门·八年级厦门五缘实验学校校考期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．(1)求证：是等腰三角形；(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．82．（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，的两个外角平分线与交于点，过点作交于点，交于点，且，．(1)求证：点在的平分线上．(2)求的长．83．（2023春·江苏南通·八年级校考开学考试）在中，，点D是射线上的一动点（不与点B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．(1)如图1，当点D在线段上，且时，那么______度；(2)设，．①如图2，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系．84．（2023春·甘肃白银·八年级校考期中）如图①，，，，相交于点M，连接．(1)求证：；(2)用含的式子表示的度数；(3)当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明．85．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考期末）（1）如图，在中，点为中点，证明：；（2）如图，在中，点为中点，点为的三等分点且，若，请直接写出的面积；（3）如图，点为上动点（不与，重合），，，，，于，请探究的值是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．热点四：最短路径问题1练基础86．（2023春·山东威海·六年级统考期末）如图，从地到地的最短路线是(

)A． B．C． D．87．（2023秋·北京海淀·八年级校考开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时，，的周长为．88．（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）已知：如图，点，点分别代表两个小区，直线代表两个小区中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路上的某处设置一个公交站点．(1)若考虑到小区居住的老年人较多，计划建一个离小区最近的车站，请在公路上画出车站的位置用点表示；(2)若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到小区和小区的距离之和最小，请在公路上画出车站的位置用点表示．2练巩固89．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；(2)的面积为；(3)在直线上找一点，使的长最短，（在图形中标出点）．90．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在正方形网格上有一个．(1)画关于直线的对称图形（不写画法）；(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积；(3)在直线上求作一点P，使最小（保留作图痕迹，不写作法）．91．（2023秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第70中校考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，．(1)请作出关于y轴对称的，并写出和的坐标；(2)在轴上找一点，使最小，在图中标出点．92．（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．(1)格点（顶点均在格点上）的面积＝；(2)画出格点关于直线对称的；(3)在上画出点P，使最小．3练拔高93．（2023春·福建福州·八年级统考开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则°94．（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是．95．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是．96．（2023春·安徽蚌埠·七年级校考期末）如图，在锐角中，，，平分，、分别是和上的动点，则的最小值是．97．（2023春·四川达州·七年级统考期末）如图，的面积是，最长边，平分，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为．98．（2023秋·重庆丰都·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为、、．(1)作关于y轴对称的，并在图中标注顶点字母(2)直接写出点关于轴的对称点的坐标；(3)在轴上找一点使的和最小，作图并直接写出点的坐标．99．（2023秋·吉林松原·八年级统考期末）如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点．(1)______，______度；(2)当四边形为轴对称图形时，求的长；(3)若是等腰三角形，求的度数；(4)若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度．100．（2023春·全国·八年级期中）如图，点，且a，b满足．若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（P为顶点），连接．(1)如图1，直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；(2)如图2，当点P在点O，A之间时，连接，，证明；(3)如图3，点P在x轴上运动过程中，若所在直线与y轴交于点F，请直接写出F点的坐标为___________，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系___________．限时过关限时过关一、单选题（每题3分）1．（2023春·山西晋中·八年级统考期末）作线段AB的垂直平分线有多种方法，“善思小组”用两把相同的直尺按如图方式摆放，此时，零刻度线重合于点E，连接，，取的中点F，作直线，则就是线段的垂直平分线，“善思小组”这样做的依据是（

）A．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合D．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等2．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，已知，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接．若，，则（

）A．65° B．6