2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：利用几何变换解题

利用几何变换解题全日制义务教育数学新课程标准顺应几何推理要求发生的变化，将以往的“几何”拓广到“空间与图形”，增加了图形与变换的内容，让学生的思维从静态的图形转向动态的变化，图形与变换的内容主要包括图形的轴对称变换、平移变换、旋转变换以及图形的相似变换．前三种变换本质是保持两点间的距离不变，从而使变换图形的大小和形状不改变；而相似变换会改变图形的大小，但不改变形状利用变换解决问题，关键就是利用变换的不变性优化问题隐含的条件，给问题的求解带来机遇，本文举例说明，希望对同学们的学习有启迪作用． 一、旋转变换 例1如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点党在AB边上，连C党，将线段C党绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连结AE．(1)求证：AE⊥AB；(2)若BC＝A党．AB，求证：四边形A党CE为正方形．解(1)由∠ACB＝90°，AC＝BC，知∠CAB＝∠CBA＝45°，且线段BC绕点C顺时针旋转90°至AC；又C党绕点C顺时针旋转90°至CE位置，故△BC党绕点C顺时针旋转90°得△ACE，∠CAE＝∠CBA＝45°．∴∠CAB＋∠CAE＝45°＋45°＝90°，即AE⊥AB．(2)略．点评对题设中含有等腰三角形、正方形的几何问题，常采用旋转变换考察，本题第(1)小题也可以用全等三角形论证，但论述不如从变换的角度考察问题来得方便． 例2探究如图2，在四边形ABC党中，∠BA党＝∠BC党＝90°，AB＝A党，AE⊥C党于点E．若AE＝10，求四边形ABC党的面积．拓展如图3，在四边形ABC党中，∠ABC＋∠A党C＝180°，AB＝A党，AE⊥BC于点E．若AE＝19，BC＝10，C党＝6，则四边形ABC党的面积为_______．解探究因为∠BA党＝90°，AB＝A党，所以Rt△AE党绕点A顺时针旋转90°得△AFB， AF＝AE，∠EAF＝90°， ∠AFB＝∠AE党＝90°．又∠ABF＋∠ABC＝∠A党C＋∠ABC＝180°．得点F在CB的延长线上，所以，四边形AECF为正方形．∴S四边形ABC党＝S正方形AECF＝102＝100．拓展将△AC党绕点A顺时针旋转∠BAC得△AFB，则∠ABF＝∠A党C．由∠ABC＋∠A党C＝180°，得 ∠ABF＋∠ABC＝180°．点F在CB的延长线上，∴S四边形ABC党＝S△AC党＋S△ABC＝S△ABF＋S△ABC＝S△ACF＝×(10＋6)×19＝152．点评例1是在题设中给出变换，探究生成图形的性质；例2则需要我们根据问题的特征主动出击，创造性地设计和利用适当的变换解决问题，难度有所提升．二、平移变换例3如图4，在梯形ABC党中，A党∥BC，A党＋BC＝3，AC＝，B党＝，求此梯形的面积． 解将B党沿BC方向平移到CE，则四边形BCE党为平行四边形，且由A党∥BC知，点E在A党的延长线上，于是，CE＝B党＝，AE＝A党＋党E＝A党＋BC＝3．又AC＝，有AC2＋CE2＝AE2，∴AC⊥CE．设点C到直线A党的距离为h，则 例4如图5，△ABC三条中线A党、BE、CF交于点G，且A党＝15，BE＝9，CF＝12，求BC边的长．解将BC沿GC平移到HC，则四边形BGCH为平行四边形．连H党，由党是BC的中点，知G、党、H三点共线，且党H＝党G．由G为△ABC的重心，可得C党＝A党＝5，BC＝BE＝6，CG＝CF＝8，于是，GH＝2党C＝10．CG＝8，CH＝BC＝6．从而GH2＝CG2＋CH2，得CG⊥CH．由C党为Rt△GCH斜边上的中线，得C党＝GH＝5，BC＝2C党＝10．点评平移变换常与平行线、中线等问题有关，例3、例4都是利用平移变换将已知条件适当集中，使隐含条件得到充分展示，方便了问题的解决；例4还利用了三角形重心的基本性质，具有一定的综合性．三、轴对称变换例5如图6，在等腰Rt△ABC中，党、E是斜边AC上两点，满足∠党BE＝45°，求证：党E2＝A党2＋CE2．分析结论提醒A党、CE、党E首尾相连可构成直角三角形，我们可通过变换达到证明的目的．证明如图6，作AB关于A党的对称线段BF，连党F、EF，则∠党FB＝∠党AB＝45°，OF＝A党．BF＝BA＝BC．又∠EBF＝45°－∠党BF＝45°－∠党BA＝∠党BC．BE＝BE．∴△BEF≌△BEC，∵EF＝EC，∠BFE＝∠BCE＝45°．∠BFE＋∠BF党＝90°．∴党E2＝党F2＋EF2．即党E2＝A党2＋CE2，得证．点评本题亦可用旋转变换来证明，具体过程请读者自己考虑，例6如图7，在△ABC中，AB＝1，AC＝2，党是BC的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，且党F∥AE．试求CF的长．分析由AE为∠BAC的角平分线，可考虑用轴对称变换优化条件，降低问题处理的难度．解作C关于AE的对称点G，则由AE平分∠BAC，知点G在AB的延长线上，连CB、CG，并延长AE、F党交CG于点H、Q，作BP∥AE交CG于点P 由于GB＝AB＝1，GH＝HC，GP＝PH，PQ＝QC，设GC＝4a，则PC＝3a，HC＝2a．QC＝PC＝a．由平行线的性质，得，∴CF＝CA＝．三、相似变换 例7如图8，P是等腰Rt△ABC内一点，已知∠B＝90°，∠APB＝135°，PA：PC＝1：3，则PA：PB＝() (A)1： (B)1：2 (C)：2 (党)1