江西省上饶市皂头中学高三数学文测试题含解析

江西省上饶市皂头中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解．【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A2.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A． B．2 C．3 D．参考答案：A【考点】类比推理．【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得结论．【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，则．故选A．【点评】本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，比较基础．3.已知，且，则的值为A．

B.

C.

D.参考答案：C略4.一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积等于(

)A．

B．

C． D．

【解析】由三视图可知这是一个底面是直角梯形，高,的四棱锥。底面是一个直角梯形，上底,下底,梯形的高。所以四棱锥的体积为，选C.参考答案：由三视图可知这是一个底面是直角梯形，高,的四棱锥。底面是一个直角梯形，上底,下底,梯形的高。所以四棱锥的体积为，选C.【答案】A5.若点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，则的最小值为（

）A．2

B．

C.

D．参考答案：D由抛物线定义得,所以的最小值为选D.6.由y=︱x︱和圆所围成的较小图形的面积（

）A

B

Cπ

D

参考答案：C7.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，k），若与共线，则|3+|=(

) A．3 B．4 C． D．5参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由与共线，求出k的值，从而计算出3+及其模长．解答： 解：∵向量=（1，2），=（﹣2，k），且与共线，∴k﹣2×（﹣2）=0，解得k=﹣4，∴=（﹣2，﹣4）；∴3+=（3×1﹣2，2×2﹣4）=（1，2），∴|3+|==；故选C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．8.如图,点P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一点,过点P作直线l,记直线l与直线AC1，BC的夹角分别为，，若，则满足条件的直线l（

）A．有1条 B．有2条 C．有3条 D．有4条参考答案：D∵故可知；由于平移不改变两直线的夹角，故题目可以转化为过点的直线与直线，的夹角为的直线有多少条；记直线，的夹角为，可以求得，故,故，即，故，，故过点的直线与直线，的夹角为的直线有4条，分别在这两直线夹角及补角的平分面上故选：D

9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13

B．－15

C．10

D．15参考答案：A10.已知变量x,y满足约束条件，则目标函数z＝3x＋2y的最大值是（A）4

（B）11

（C）12

（D）14参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式对任意实数恒成立，实数的取值范围为_______.参考答案：略12.若某程序框图如图所示，则运行结果为．参考答案：513.若实数a，b均不为零，且x2α=（x＞0），则（xα﹣2xb）9展开式中的常数项等于．参考答案：﹣672考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：根据题意，x2α=，代入（xα﹣2xb）9中可得（xα﹣2x﹣2a）9，可得其展开式为Tr+1=（﹣2）r?C93?（xa）9﹣3r；进而将r=3代入展开式，计算可得答案．解答：解：根据题意，x2α=，则（xα﹣2xb）9=（xα﹣2x﹣2a）9，其展开式为Tr+1=C9r?（xα）9﹣r?（﹣2x﹣2a）r=（﹣2）r?C93?（xa）9﹣3r；令r=3时，可得其展开式的常数项为（﹣2）3?（xa）9﹣3r=﹣672；故答案为：﹣672．点评：本题考查二项式定理的运用，解题时关键在于对其展开式的形式的记忆与有理数指数幂的化简计算．14.已知定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则____________.参考答案：515.若，则

．参考答案：试题分析：，则．考点：诱导公式、倍角公式与同角三角函数关系.16.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为

．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将直三棱柱ABC﹣A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，当AD+DC1最小时，BD=1，此时三棱锥D﹣ABC1的体积：=，由此能求出结果．【解答】解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，∴当AD+DC1最小时，BD=1，此时三棱锥D﹣ABC1的体积：=====．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．17.设不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx﹣2上存在M内的点，则实数k的取值范围是

．参考答案：[2，5]【考点】简单线性规划．【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx+1的图象是过点A（0，﹣2），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，如图．因为函数y=kx﹣2的图象是过点A（0，﹣2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是[2，5]．故答案为：[2，5]．【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值．这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，分别为的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面．（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．参考答案：．证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，∴．在中，，，

∴．∴，即．又，

∴．...............................................2分∵平面，平面，∴．又∵，∴平面，.............................................................4分又∵平面，

∴平面平面．

........................................6分（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，∴平面平面

...................................................................6分∵平面，∴．由（Ⅰ）知，又∴平面，又平面，∴平面平面．∴平面是平面与平面的公垂面．..........................................8分所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．..........................9分在中，，即．....................10分又，∴．所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．.........................12分

理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，、、、，则，，．...............7分由（Ⅰ）知平面，故平面的一个法向量为．.....................................8分设平面的一个法向量为，则

，即，令，则．

..........................................10分∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．................12分19.如图所示,PA⊥平面ABC,点C在以AB为直径的⊙O上,∠CBA=300,PA=AB=2,,点E为线段PB的中点,点M在AB弧上,且OM∥AC.(1)求证:平面MOE∥平面PAC；(2)求证:BC平面PAC；(3)求直线PB与平面PAC所成的角的正弦值．参考答案：证明:(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点,所以OE∥PA

……1分因为平面PAC,平面PAC，所以OE∥平面PAC.

……2分因为OM∥AC,因为平面PAC，平面PAC,所以OM∥平面PAC.

……3分因为平面MOE,平面MOE,,所以平面MOE∥平面PAC

……5分(2)证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上,所以,即,因为平面,平面ABC,所以.

……7分因为平面,平面,,所以平面

……9分(3)由(2)知,为直线PB与平面PAC所成的角.

……10分在中,,在中,,在中,

……12分.所以直线PB与平面PAC所成的角的正弦值为

……14分20.(12分)（文）设函数,且方程的两个根分别为1,4?(Ⅰ)当a=3且曲线过原点时,求的解析式;(Ⅱ)若在无极值点,求a的取值范围?参考答案：（文）解:由

得

因为的两个根分别为1,4,所以

(*)…3分

(Ⅰ)当时,又由(*)式得

解得

又因为曲线过原点,所以

故………6分(Ⅱ)由于a>0,所以“在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“在(-∞,+∞)内恒成立”?

……………9分由(*)式得?又

解

得

即的取值范围

…………12分21.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）经过点作直线l交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程．参考答案：（1）（2）或．【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，消去参数，即可得到曲线的普通方程；（2）联立直线l的参数方程和曲线的普通方程，根据参数的几何意义，即可求解．【详解】（1）由曲线C的参数方程，得（为参数），所以曲线的普通方程为．（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标方程，得，即，所以，由题意知，不妨设，所以，即或，即或，所以直线的普通方程为或．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记直线参数方程中参数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．22.（13分）已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题： 导数的综合应用．分析： （1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）≤．解答： 解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0?a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0?a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（