材料力学课件：超静定问题-

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超静定问题

目录2

用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为超静定结构或系统，也称为静不定结构或系统。§13.1超静定结构概述

在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力，多余约束的数目为结构的静不定次数。3静不定问题分类第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的，可称为外力静不定系统。第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的，可称为内力静不定系统。第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是静不定的。分析方法1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。4第一类第二类第三类5一般静不定问题的解法（1）画受力图，列平衡方程，确定静不定次数。（2）根据约束条件，作位移变形图，找出变形协调条件。（3）将力与变形的物理关系（虎克定律）代入变形协调条件，得到补充方程。（4）联立平衡方程和补充方程，求出未知的约束反力和内力。变形协调条件由协调的变形条件可列出补充方程，谓之变形协调条件。找出变形协调条件是解决静不定问题的关键。

静不定系统的变形是系统的，而不是单个的某一个杆件的变形，故为了维护其系统性，组成系统的各个构件的变形应该是统一的，协调的。6§13.2拉压超静定问题7例1已知：P，A

，E。求：AB两端的支座反力。解：（1）列平衡方程（2）列变形协调条件只有一个平衡方程，一次静不定（3）列物理条件（胡克定律）（4）建立补充方程，解出约束反力由(a)和（d）联立可得：8

温度应力和装配应力910解：（1）列平衡方程（2）列变形协调条件（3）列物理条件（胡克定律）（4）建立补充方程，解出约束反力求：杆横截面上的应力。例2已知：l=1.5m，A=20cm2E=200GPa,ΔT=40oC得：横截面应力为：这就是温度应力11解：（1）列平衡方程（2）列变形协调条件（3）列物理条件（胡克定律）（4）建立补充方程，解出约束反力求：杆横截面上的应力。例3已知：l=1.5m，A=20cm2E=200GPa,δ=0.5mm得：横截面应力为：这就是装配应力12§13.3扭转超静定问题13两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求:杆两端的支座反力偶矩。例4静力平衡方程为：变形协调条件为：即：解：由(1)、(2)得：14解：①判定多余约束反力的数目（一个）

②选取并去除多余约束，代以多余约束反力，列出变形协调方程，见图(b)。C

例5

如图所示，梁EI为常数。试求支座反力，作弯矩图，并求梁中点的挠度。PAB(a)PABCX1(b)§13.4弯曲超静定问题15变形协调方程③用能量法计算和PABC(c)x(d)xABX1AB1x(e)由莫尔定理可得(图c、d、e)16④求多余约束反力将上述结果代入变形协调方程得⑤求其它约束反力

由平衡方程可求得A端反力，其大小和方向见图(f)。CPAB(f)⑥作弯矩图，见图(g)。(g)+–⑦求梁中点的挠度17选取基本静定系(见图(b))作为计算对象。单位载荷如图(h)。PABCX1(b)x1ABC(h)用莫尔定理可得注意：对于同一静不定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定端处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图(i)所示的简支梁。CPAB(i)X118§13.4对称性的应用一、对称结构的对称变形与反对称变形

结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形。E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴E1I1E1I1EI对称轴19

正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形对称截面上，对称内力为零或已知。对称轴X1X2X2X3PX1X3例如：X1X3PX1X3PX2X2PP20例6

试求图示刚架的全部约束反力。刚架EI为常数。ABCPPaa解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力