上海市长宁、嘉定区2023年高二上数学期末检测模拟试题含解析

上海市长宁、嘉定区2023年高二上数学期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A. B.C. D.2．下列命题中正确的是（）A.抛物线的焦点坐标为B.抛物线的准线方程为x=−1C.抛物线的图象关于x轴对称D.抛物线的图象关于y轴对称3．若，都为正实数，，则的最大值是（）A. B.C. D.4．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）A. B.C. D.5．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.16．双曲线的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.7．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B.3C. D.28．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．在等差数列中，若，则（）A.6 B.9C.11 D.2410．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（）A. B.C. D.11．已知函数，则下列判断正确的是（）A.直线与曲线相切B.函数只有极大值，无极小值C.若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数D.若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数12．下列命题错误的是（）A，B.命题“”的否定是“”C.设，则“且”是“”的必要不充分条件D.设，则“”是“”的必要不充分条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，分别记四棱锥，的体积为，，则的最小值为______14．已知两平行直线与间的距离为3，则C的值是________.15．如图，设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都为1，若平面ABCD，则异面直线AC与BF所成角的大小为______16．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，（1）证明：；（2）设平面平面，求l与平面MND所成角的正弦值18．（12分）已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图.（1）求证：平面；（2）求直线FH与平面所成角的大小.19．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足（1）求动点M的轨迹方程；（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点20．（12分）已知的三个顶点的坐标分别为，，（1）求边AC上的中线所在直线方程；（2）求的面积21．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB，AC，M为AC的中点.（1）证明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.2、C【解析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.3、B【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D4、D【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案【详解】设切点，点由题意，抛物线C的准线，且由，得，则直线的方程为，即，联立令，得由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立因为，，则，即对任意实数恒成立，所以，即，所以，故选：D【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.5、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.6、B【解析】利用双曲线的离心率，以及渐近线中，关系，结合找关系即可【详解】解：，又因为在双曲线中，，所以，故，所以双曲线的渐近线方程为，故选：B7、D【解析】根据抛物线的定义求得，由此求得的长.【详解】过作，垂足为，设与轴交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8、A【解析】由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，利用基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】因为，则，由题意可知，对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：A.9、B【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以故选：B10、A【解析】设椭圆方程为，解方程组即得解.【详解】解：设椭圆方程为，由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，即，解得，因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.故选：A.11、C【解析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数.【详解】，，令，得，所以，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，故A错；当时，存在使，且当时，；当时，，即有极小值，无极大值，故B错误；设为的极值点，则，且，所以，，当时，；当时，，故C正确，D错误.12、C【解析】根据题意，对四个选项一一进行分析，举出例子当时，，即可判断A选项；根据特称命题的否定为全称命题，可判断B选项；根据充分条件和必要条件的定义，即可判断CD选项.【详解】解：对于A，当时，，，故A正确；对于B，根据特称命题的否定为全称命题，得“”的否定是“”，故B正确；对于C，当且时，成立；当时，却不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，因为当时，有可能等于0，当时，必有，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，用参数表示目标函数，利用均值不等式求最值即可.【详解】取线段AD中点为F，连接EF、D1F，过P点引于M，于N，则平面，平面，则，∴，设，则，，即，，∴，当且仅当时，等号成立，故答案为：14、【解析】根据两条平行直线之间的距离公式即可得解.【详解】两平行直线与间的距离为3，所以，所以故答案为：15、##【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，设直线与所成角为，则，因为，所以；故答案为：16、或10.【解析】对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.故答案为：或10.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.（2）利用向量法求得与平面所成角的正弦值.【小问1详解】∵PD⊥平面ABCD，，以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小问2详解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD与平面MND所成的角即为l与平面MND所成的角由（1）知，设平面MND的一个法向量，则，取，则，于是是平面MND的一个法向量，因为，设l与平面MND所成角为，则18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得，再利用线面平行的判定定理证明.（2）建立空间直角坐标，求得的坐标，平面PBC一个法向量，代入公式求解.【详解】（1）如图所示：连接CH，延长交PD于点K，连接BK，因为设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，所以H为CK的中点，所以，又平面平面，所以平面；（2）建立如图所示直角坐标系则，所以，设平面PBC一个法向量为：，则，有，令，，设直线FH与平面所成角为，所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据双曲线的定义求得的值得双曲线方程；（2）确定垂直于轴，设直线BP的方程为，设，，则，直线方程代入双曲线方程，由相交求得范围，由韦达定理，利用N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的关系，代入韦达定理的结论可求得的值，从而得直线BP所过定点【小问1详解】因为，所以，动点M的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，则，可得，，所以，点M的轨迹方程为；【小问2详解】证明：∵，∴直线PQ垂直于x轴，易知，直线BP的斜率存在且不为0，设直线BP的方程为，设，，则，联立，化简得：，直线与双曲线左支、右支各有一个交点，需满足或，∴，，又，又N、B、Q三点共线，且NQ斜率存在，∴，即，∴，∴，∴，化简得：，∴，∴，即，满足判别式大于0，即直线BP方程为，所以直线BP过定点20、（1）（2）【解析】（1）先求得的中点，由此求得边AC上的中线所在直线方程.（2）结合点到直线距离公式求得的面积.【小问1详解】的中点为，所以边AC上的中线所在直线方程为.【小问2详解】直线的方程为，到直线的距离为，，所以.21、（1），（2）【解析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得.利用求得；（2）利用错位相减求和即可.【小问1详解】设数列公差为，由成等比数列有：，解得：，所以，数列，当即，，解得：，