浅析确定二次函数最值易产生的“盲区”

精品文档-下载后可编辑浅析确定二次函数最值易产生的“盲区”利用二次函数的性质，确定二次函数的最大（小）值是中考命题的热点之一。但在求二次函数最值时，不少同学因忽视了自变量的取值范围或对对称轴是否在自变量的取值范围内以及对最值所产生的影响认识不到位，而出现了求最值的“盲区”。下面就此问题作简单的探讨，供读者参考。

例1：在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x（m），花园的面积为y（m2）。

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）利用（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

【简解】（1）y=-x2+20x（0＜x≤15）；

（2）错解一：因为a=－＜0，所以当x＝－＝20时，函数y有最大值＝200；

错解二：因为a＝－＜0，所以当x＝20时，函数y有最大值，但a＝20＞15，因此函数y不存在最大值。

【评析】以上两种错误解答，都是对求二次函数最值的认识不全面而造成的。在解答该小题时，忽视了（1）中所求的自变量的取值范围。事实上函数图像的对称轴是直线x＝20，而a=－＜0，所以当x＜20时，函数值y随自变量x的增大而增大。又0＜x≤15＜20，即自变量的取值范围在对称轴的左边，故当x＝15时，函数y有最大值等于187.5。

例2：（2022扬州市）红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如下表：

未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=-t+40（21≤t≤40且t为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

【简解】（1）m=-2t+96；

（2）错解：设前20天的销售利润为P1＝（－2t＋96）（t＋25－20）＝-t2＋14t＋480，因为a＝－＜0，所以当t＝－＝14时，函数P1有最大值＝578。

设后20天的销售利润为P2，则P2＝（－2t＋964）（-t+40-20）

＝（t-44）2-16，因为a=1＞0，所以函数P2无最大值，故当t＝14时，即第十四天销售利润最大为578元。

【评析】与例1不同的是，本题属于分段函数，且函数P1、函数P2的自变量取值范围已经给出，需要根据各自自变量的取值范围先分别确定P1、P2的最大值，再通过对P1、P2的比较，最后确定最大日销售利润，即求函数的最大值。事实上，对于函数P1，上述结论是正确的，而对于P2，由于函数P2图像的对称轴是直线t＝44，当t＜44时，函数值P2随自变量的增大而减小，而21≤t≤40＜44，即自变量取值范围在对称轴的左边，所以当t＝21时，函数P2有最大值＝513，通过比较P1、P2的最大值可知当t＝14时，即第十四天销售利润最大为578元。

例3：（2022包头市）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45。

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围。

【简解】（1）y=-x+120；

（2）错解：W=（X-60）y=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200，

所以，当x=-=90时，W最大值=900；

【评析】该小题与例2的不同之处是自变量的取值范围并没有直接给出，具有一定的隐蔽性。该解法就忽视了题中自变量的限制条件。事实上根据题意可得，所以60≤x≤87。又因为抛物线的开口向下，对称轴是直线x=90，所以当x＜90时，函数值随x的增大而增大，而自变量的取值范围在对称轴的左边，故当x＝87时，W有最大值为891元；

（3）略。

从以上几例可以看出，求二次函数的最值时，不能仅仅套用教材中求二次函数最值的定义和公式，而要关注自变量的取值范围以及对称轴是否在自变量