2022-2023学年湖南省普通高中高二下学期学业水平合格性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省普通高中2022-2023学年高二下学期学业水平合格性考试数学试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量90分钟.满分100分.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各题题号后面的答题〖提示〗；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗由题意得“，”的否定是，，故选：B.3.某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率是，故选：D.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，即定义域是.故选：B.5.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，故选：B.6.垂直于同一平面的两条直线（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面〖答案〗A〖解析〗若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行.故选：A.7.如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D.8.设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由题意得，故选：C.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；对于B，由，若，则，故B错误；对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；对于D，取，满足条件，但，故D错误.故选：C.10.下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦函数与余弦函数的性质可知，为奇函数，，为偶函数，故A，B错误，的最小正周期为，的最小正周期为，故C错误，D正确，故选：D.11.设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以p是q的充分不必要条件.故选：A.12.已知，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为2.故选：D.13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理可得：.故选：C.14.在中，D为BC的中点，设，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，故，故选：B.15.函数在一个周期内的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A.16.某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（）A.162cm B.164cm C.166cm D.168cm〖答案〗C〖解析〗由题意得在抽取的10人中，男生6人，女生4人，故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是166cm.故选：C.17.设，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由幂函数的性质得，由对数函数性质得，即，故选：D.18.为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗当时，，代入〖解析〗式得，得，令，解得，即，，故选；C.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.已知函数（，且）的图象过点，则______.〖答案〗2〖解析〗将代入得，故〖答案〗为：2.20.已知向量，，则______.〖答案〗5〖解析〗由，可得,所以,故〖答案〗为：5.21.为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是______分钟.〖答案〗45〖解析〗由图可知人数最多的组别在组，故众数的估计值为45，故〖答案〗为：45.22.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线，所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数，则符合题意的一个“完美函数”为（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.（1）求证：平面ABC；（2）若，，求圆锥PO的体积.（1）证明：由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC.（2）解：AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，所以,又，所以,因此底面圆的半径为,故圆锥PO的体积为.24.自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.（1）请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；（2）从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率；（3）已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.解：（1）由图可知2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大.（2）由题意得扇形图中茶叶的占比为,故从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率为.（3）记任意两天中至少有一天零售额超过1万元为事件A，则为两天零售额都没有超过1万元，.25.已知函数，.（1）写出函数的单调区间；（2）求函数的最大值；（3）求证：方程有唯一实根，且.（1）解：函数，定义域为，由对数函数的性质可知，在上单调递增，所以单调递增区间为，无单调递减区间；（2）解：因为，又因为，当时，；（3）证明：令，①当时，，，则当时，，没有零点；②当时，有，则，，，没有零点；③当时，有，由，在上单调递增，，，所以存在唯一实数，使得，因为上单调递增，所以，因为，所以，因为，即,所以，因为，所以，所以，令，由在单调递减，得，即，所以，又因为，所以，即，综上所述：方程有唯一实根，且.湖南省普通高中2022-2023学年高二下学期学业水平合格性考试数学试题本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量90分钟.满分100分.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各题题号后面的答题〖提示〗；4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，故选：A.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗由题意得“，”的否定是，，故选：B.3.某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率是，故选：D.4.函数的定义域是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，即定义域是.故选：B.5.已知i为虚数单位，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，故选：B.6.垂直于同一平面的两条直线（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面〖答案〗A〖解析〗若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行.故选：A.7.如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，故选：D.8.设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由题意得，故选：C.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则〖答案〗C〖解析〗对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；对于B，由，若，则，故B错误；对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；对于D，取，满足条件，但，故D错误.故选：C.10.下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦函数与余弦函数的性质可知，为奇函数，，为偶函数，故A，B错误，的最小正周期为，的最小正周期为，故C错误，D正确，故选：D.11.设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以p是q的充分不必要条件.故选：A.12.已知，则的最大值为（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗因为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为2.故选：D.13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦定理可得：.故选：C.14.在中，D为BC的中点，设，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，故，故选：B.15.函数在一个周期内的大致图象是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A.16.某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（）A.162cm B.164cm C.166cm D.168cm〖答案〗C〖解析〗由题意得在抽取的10人中，男生6人，女生4人，故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是166cm.故选：C.17.设，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由幂函数的性质得，由对数函数性质得，即，故选：D.18.为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗当时，，代入〖解析〗式得，得，令，解得，即，，故选；C.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.已知函数（，且）的图象过点，则______.〖答案〗2〖解析〗将代入得，故〖答案〗为：2.20.已知向量，，则______.〖答案〗5〖解析〗由，可得,所以,故〖答案〗为：5.21.为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是______分钟.〖答案〗45〖解析〗由图可知人数最多的组别在组，故众数的估计值为45，故〖答案〗为：45.22.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线，所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数，则符合题意的一个“完美函数”为（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23.如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.（1）求证：平面ABC；（2）若，，求圆锥PO的体积.（1）证明：由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC.（2）解：AC为底面圆的直径，B是底面