浅谈函数极限的解法技巧及应用 论文

浅谈函数极限的解法技巧及应用摘后，我还谈到了极限在一些方面的应用情况来帮助我们更加深入地了解极限。关键词：极限思想，极限类型，极限应用。引只不过当时人们并没有系统的极限思维。度很高，所以，我想对于极限的研究展开我的论述。在这篇论文中我总结了极限题目的几种特殊类型以及解决关于极限的题目时所用到的领域的应用从而加深我们对极限的了解。一、函数极限的求解方法概述一突破。1.用等价代换求极限的方法，我们只需要记得以下几种常见的等价代换就可以快速的解决问题：当x→0时：sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex−1～x；x2 x2 (1+αx)β αβx ax1-cosx～ ； -1～ ； -1～xlna；21 1x-sinx～x3；arcsinx-x～x3；6 61 1 1x-tanx～-x3；arctanx-x～-x3；x-ln(1+x)～x23 3 2当x→1时：lnu～u-1误。2.用洛必达法则求极限洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式容易的求解方法。但是使用洛必达法则是要满足一些条件的：条件：A.分子、分母的极限都等于零或者无穷大，即limf(x)=limg(x)=0或∞x→x0

x→x0B.分子、分母在限定的区域内分别可导，且g＇(x)≠0;f＇(x)limg＇(x)存在或为∞x→x0f(x)

f＇(x)则limg(x)=limg＇(x)x→x0

x→x0公式即可，难度不大也很难出错，因此被很多人使用。3.用泰勒公式求极限了普通函数，从而方便了我们的计算。以下就是极限中经常用到的泰勒公式：∞ 1 x2x3 xnex=∑

xn=1+x+++…+

+o(xn);x

∈(−∞,+∞)n=0n!

2!3! n!∞ (−1)n

2n+1

x3x5

nx2n+1

2n+1sinx=∑n=0(2n+1)!x

=x-+-…+(−1)

+o(x

);x∈(−∞,+∞)

∞ (−1)n2n

3!5!x2x4

(2n+1)!nx2n 2ncosx =

∑n=0(2n)!x

=1-+-… +(−1)

+o(x

); x1∈(−∞,+∞)tanx=x+x3+21

x5+17

2!x7+o(x7);x

4!∈(−1,1)

(2n)!3 15∞

315(−1)n

n+1

x2x3

nxn+1

xn+1xln(1+x)=∈(−1,1]

∑n=0n+1x

=x-2+3-…+(−1)n+

+o(1

);x(1+x)α =

∞ α(α−1)…（α−n+1）∑

xn=

1+αx+

α(α−1)+α(α−1)…(α−n+1)n!

xn;x

n=1 n! 2!∈(−1,1)∑1=∞∑

xn=1+x+x2+…+xn+o(xn);x

∈(−1,1)1−x1

n=0∑=∞∑

(−1)nxn=

1-x+x2-x3+…+(−1)nxn+o(xn);x

∈(−1,1)1+x

n=0总结：泰勒公式是一个比较复杂的公式，它设涉及了高阶多项式还有余项，注意审题，展开到准确的阶数才能得到正确的答案。所以我们要牢记泰勒公式的两个展开原则：（1）分式上下同阶原则：A如“B”型，如果分子（或分母）是x的k次方，则应把分母（或分子）展开到x的k次方，可称之为“上下同阶”原则。（2）加减幂次最低原则：展开到它们的系数不相等的x的最低次幂为止，即两式相减不为零即可，则称之为“幂次最低”原则。4.无穷小的比较定义，设α及β都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。β如果limα=0，就是说β是比α高阶的无穷小，记为β=o(α);β如果limα=∞,就是说β是比α低阶的无穷小；β如果limα=c≠0,就是说β与α同阶无穷小；β如果limαkβ

=c≠0,k>0,就是说β是关于α的k阶无穷小；α如果lim=1,就是说β与α是等价无穷小，记为β～α。α5.用拉格朗日中值定理求极限不等式等问题，其实中值定理在处理极限问题的时候，也有着十分独特的功能。拉格朗日中值定理：若f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在（a,b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b）,使得f(b)-f(a)=f＇(ξ)(b-a)往找不到f(a)和f（b）。多做多练便可提高自己的数学能力。注意：函数f(x)一定要满足在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内就能找到一点ξ，使得f(b)-f(a)=f＇(ξ)(b-a)（a＜ξ＜b）。二、函数极限的几种特殊类型因此我们需要分析每一个题型找到对应的解决方法。以下就是函数极限的几种类型:0 ∞1. 型；型：0 ∞∞解题思路：等价代换，洛必达法则，泰勒公式；对于型还可以分子分母同∞除最高阶的无穷大。ex例：求limx→+∞x3ex ex

∞ex ex∞解：lim

=

lim

=

lim

=6x

lim

=+ （多次运用洛必达法6x→+∞x3则）

x→+∞3x2

x→+∞

x→+∞2.0·∞型：0 ∞ ∞ ∞ 0 0型或0·∞→

（）→

（0 ∞等价代换，泰勒公式。

1 ∞ 1 00 ∞例：求limx→0+

xlnx

111lnx x ∞11解：limx→0+

xlnx=

limx→0+

=x

limx→0+−

=

limx→0+

(−x)=0(先化为∞x2型，再用洛必达)3. ∞−∞型：若是含有根号的减法，则要有理化。1 1例：求lim( − )x→11解：lim(

x−11−

lnx)=

lim

lnx−x+1

=lim

1x−1

=lim

1−x

=lim −1x→11

x−1

lnx0

x→1

(x−1)lnx

x−1x→1x+lnx

x→1x−1+xlnx

x→12+lnx=-（先通分化为型，再用洛必达法则）2 04. ∞0；00型：解题思路：利用公式limf(x)g(x)=eA，A=lim g(x)·lnf(x) 1例：求limx→+∞

(x+ 1+x2)xln(x+ln(x+ 1+x2)解：lim

(x+ 1+x2)x=ex→+∞

x =eA，x→+∞ln(x+ 1+x2) 1 x 1A=lim

=x

lim

(1+x+ 1+x2

)=1+x2

lim

=01+x2x→+∞

x→+∞

x→+∞∴原式=eA=e0=1（利用洛必达法则，再利用公式）5. 1∞型：解题思路：利用公式limf(x)g(x)=eA，A=limg(x)[f(x)-1]1例：求lim(cosx)x2x→01lim

cosx−1解:lim(cosx)x2=ex→0x→0

x2=eA，A=lim

cosx−1=lim

−sinx

=lim

−cosx

1=-x→0 x2

x→02x1

x→0 2 2∴原式=eA=e−2(利用洛必达法则，再利用公式)6.恒等变形：1−cosxcos2xcos3x例：求limx→0 x2解：1-cosxcos2xcos3x=(1-cosx)+(cosx-cosxcos2x)+(cosxcos2x-cosxcos2xcos3x)∵I1=lim

1−cosx

1=，I2=lim

cosx（1−cos2x）

=2，x→0 x2 2

x→0 x2cosxcos2x(1−cos3x)

1−cos3x 9 9I3=lim

=limcosxcos2x·lim

=1×=x→0 x2

x→0

x→0 x2 2 2∴原式=I1+I2+I3=7(先恒等变形，再分别计算)7.正三角型：xn所谓正三角型是指：(m﹥n)或者xm

分子项数少分母项数多解题思路：把正三角型变为倒三角型，即利用倒代换。1−例：求lim

ex2x→0x100→0 →0 →+∞ x100 t−50解：令t=，∵x ，∴t ， =x∴原式=

lim

e−t

=

lim

t50

=

lim

50·t49=…=

lim

50!

=0t→+∞t−50

t→+∞et

t→+∞ et

t→+∞et(利用倒代换把正三角变为倒三角，再多次利用洛必达法则)限的类型从而方便解题。三、函数极限的应用限在几个方面的应用。1.极限在数学上的应用——判断函数图像特点函数的图像。没有间断点。首先我们要知道间断点的类型：A.第一类间断点：可去间断点：左右极限都存在且相等。跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。B.第二类间断点：无穷间断点：左右极限至少有一个为∞。震荡间断点：左右极限至少有一个不存在，且不是无穷间断点。在这些点的极限值，从而判断函数的间断点。|x|x−1例：求f(x)= 的间断点个数。x(x+1)ln|x|解：函数的无定义点有：x=-1，0，1；没有分段点。（1）在X=0时:|x|x−1

exln|x|−1

xln|x| 1limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx+1=1x→0

|x|

x→0

|x|

x→0

x→0(∵x→0时，xln|x|→0，∴exln|x|−1～xln|x|)，所以x=0是可去间断点。（2）在x=1时：|x|x−1

exln|x|−1

xln|x| 1 1limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx+1=x→1

|x|

x→1

|x|

x→1

x→1 2(∵x→1时，xln|x|→0，∴exln|x|−1～xln|x|)，所以x=1是可去间断点。（3）在x=-1时：|x|x−1

exln|x|−1

xln|x| 1lim

x(x+1)ln

=limx(x+1)ln|x|=limx(x+1)ln

=limx+1=∞x→−1

|x|

x→−1

x→−1

|x|

x→−1(∵x→−1时，xln|x|→0，∴exln|x|−1～xln|x|)，所以x=-1是无穷间断点。综上，函数f(x)一共有两个可去间断点，一个无穷间断点。2.极限在生物学中的应用族的灭绝。这里所讲的灭绝就相当于生物群发展的极限是准确的灭亡时间或者该物种以后的发展趋势。采取合理的人为干涉才能使生态环境变的越来越和谐美好。维。例：人体的极限温度：（1）环境温度极限：大约116℃——这是人体置身期间尚能呼吸的温度。14.2℃——正常人的腋窝温度下限通常为36.5℃。46.5℃——正常人的腋窝温度上限通常为37.4℃。3.极限在体育中的应用说了很多极限在各个领域的应用，感觉都离我们生活很远让我们难以理解。那么我们就来讲一下极限在体育中的运用。地挑战和刷新运动员的极限。这里所说的极限是无法用简单的数学公式来表示也失去了体育竞争的意义。研究，突破，再认识，再研究，再突破这样一个螺旋上升的过程不断发展的。和运动员的记录之间的突破才是我们最值得关注的，也是最有意义的。例：（1）博尔特，一次次刷新世界纪录，在田径史上留下不可复制的传奇。——100米，9.58秒；——200米，19.19秒（2）刘翔，国人的骄傲，创造了第一个属于亚洲人的极限记录。——110米跨栏，12.95秒（3）伊莲娜.伊辛巴耶娃，28次打破女子撑杆跳世界纪录。——女子室内撑杆跳，5.01米（4）迈克尔.菲尔普斯，人称飞鱼，他以26金6银1铜的成绩冲击着我们的世界观。——200米蝶泳，1分51秒51；——400米混合泳，4分03秒84；——100米蝶泳，49秒82们是体育界的骄傲，是人类的极限，是传奇！