专题1.3 新定义问题（压轴题专项讲练）2023-2024学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）（解析版）

第第页专题1.3新定义问题【典例1】定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−−2=3，1−32=−1，−2−33=−5（1）−2，−4，1的“分差”为______；（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．【思路点拨】（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．【解题过程】（1）解：根据题意可得：−2−−4=2，−2−12∵−5∴−2，−4，1的“分差”为−5故答案为：−5（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−5②这三个数的位置为：−2，1，−4时，则−2−1=−3，−2−−42=1∵−3<1<5∴−2，1，−4的“分差”为−3；③这三个数的位置为：1，−2，−4时，则1−−2=3，1−−4∵2∴1，−2，−4的“分差”为23④这三个数的位置为：1，−4，−2时，则1−−4=5，1−−2∵−2∴1，−4，−2的“分差”为−2⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，则−4−1=−5，−4−−22=−1∵−5<−1<1，∴−4，1，−2的“分差”为−5；’⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，则−4−−2=−2，−4−12∵−5∴−4，−2，1的“分差”为−5∵2∴这些不同“分差”中的最大值为231．（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）定义运算a⊗b=1a+1b，比如2⊗3=1A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【思路点拨】根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【解题过程】解：①2⊗−3=12−13②∵a⊗∴a≠0且b③∵a⊗b=∴a⊗④∵a⊗b+c=1∴a⊗（∴④错误．综上，正确的结论为①②③，故选B．2．（2022秋·湖北十堰·七年级十堰市实验中学校考期中）定义：如果ax=N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logxN．例如：因为72=49，所以log749=2；因为53=125，所以logA．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【思路点拨】由新定义可得：log7【解题过程】解：根据新定义可得：log6log3∵log4∴a+14=4解得：a=2，故③符合题意；∵log2log2∴log2综上所述，正确的序号有②③④．故选：D．3．（2022秋·河南郑州·七年级统考阶段练习）观察下列两个等：1﹣23=2×1×23﹣1，2﹣35=2×2×35﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，A．（﹣3，47） B．（4，49） C．（﹣5，611） 【思路点拨】根据题意“同心有理数对”的定义，一次检验四个选项是否符合定义，即可得出答案．【解题过程】解：∵−3−47=−25∴数对（﹣3，47故选项A不合题意；∵4−∴（4，49故选项B不合题意；∵−5−∴（﹣5，49故选项C不合题意；∵6−∴（6，7113故选项D符合题意；故选：D．4．（2022秋·四川乐山·七年级统考期中）定义两种新运算，观察下列式子：（1）xΘy=4x+y，例如，1Θ3=4×1+3=7；3Θ(−1)=4×3+(−1)=11；（2）x表示不超过x的最大整数，例如，2.2=2；−3.24根据以上规则，计算1Θ(−12【思路点拨】分别根据（1）的新定义xΘy=4x+y计算出两个中括号里的值，再根据（2）的新定义x表示不超过x的最大整数去中括号，即求得最终结果．【解题过程】解：根据（1）的新定义xΘy=4x+y，1Θ(−12)(−2)Θ194=根据（2）的新定义x表示不超过x的最大整数，72=3.5∴1Θ(−1故答案为：-1．5．（2023秋·全国·七年级专题练习）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是．【思路点拨】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解．【解题过程】解：第一次：3×449+5=1352，第二次：1352∵其中k是使13522k∴k=3∴第二次运算：13522第三次：3×169+5=512∵2∴k=9计算结果为51229第五次：1×3+5=8，第六次：82∵2∴k=3，计算结果为82……依次为8与1的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1，∴第2020次“F运算”的结果是1．故答案为：1．6．（2022秋·全国·七年级期末）定义一种新运算“K运算”，对有理数a，b，规定：aKb=−2a+b(ab>1)−abab【思路点拨】根据−123×35=1,−2×−【解题过程】解：∵−12∴−123∴−1∵259∴259∴259∵−62∴−62即−12故答案为：2057．（2022秋·安徽马鞍山·七年级校考期中）定义一种新运算“☆”，规则为：m☆n=m（1）−3☆（2）−1☆【思路点拨】（1）根据新定义的运算计算即可．（2）根据新定义的运算先计算中括号内的，再计算括号外的即可．【解题过程】（1）解：由题意得，−3==9−6−2=1；（2）解：由题意得，−5==25−10−2=13；同理−1==−1−13−13=−27，∴−1☆8．（2022秋·江西上饶·七年级统考阶段练习）定义新运算：m∗n=m−nn+n−m（1）求−1∗3（2）若b=2，且a∗b+a+c+5=2，求【思路点拨】（1）根据所给的新定义列式计算即可；（2）先根据所给的新定义结合已知条件式得到a−22+2−a+a+c+5=2，即【解题过程】（1）解：由题意得，−1===−64+4=−60；（2）解：∵a∗b+a+c+5=2，∴a∗2+a+c+5∴a−22∴a−22∵a−22∴a−22∴a−2=0，∴a=2，∴c∗a====49+2+5=56．9．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．（1）3⊕−2（2）求−5⊕−4⊕（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明【思路点拨】（1）将a=3，b=−2代入a⊕b=a×b+2×a计算可得；（2）根据法则，先计算−4⊕12=−10，再计算−5⊕（3）计算3⊕−2和−2【解题过程】（1）解：∵a⊕b=a×b+2×a，∴3⊕−2（2）解：∵a⊕b=a×b+2×a，∴−5⊕=−5⊕=−5⊕==40；（3）解：新运算“⊕”不满足交换律．例如：由（1）知3⊕又∵−2∴3⊕−2∴新运算“⊕”不满足交换律．10．（2022秋·全国·七年级期中）对于有理数a,b，定义一种新运算“⊗”，规定a⊗b=a+b（1）计算3⊗−5（2）①当a,b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊗b；

②当a⊗b=a⊗c时，是否一定有b=c或者b=−c?若是，则说明理由；若不是，则举例说明．【思路点拨】（1）先根据新运算的定义列出运算式子，再计算有理数的加减法、化简绝对值即可得；（2）①先根据数轴的定义判断出a+b<0,a−b>0，再化简绝对值即可得；②根据绝对值运算、有理数的加减法，列出反例即可．【解题过程】（1）由题意得：3⊗−5=−2=2+8，=10；（2）①从a,b在数轴上的位置得：a+b<0,a−b>0，则a⊗b=a+b=−a+b=−a−b+a−b，=−2b；②当a⊗b=a⊗c，即a+b+a−b=a+c+例如：取a=5,b=4,c=3，则a+b+a+c+即此时等式成立，但b≠c且b≠−c．11．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，ba≠b，a⊕b=（1）探究性质：①例：3⊕2=_________；2⊕3=_________；−3⊕2=_________；−3②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出a⊕b的一般规律；（2）性质应用：①运用发现的规律求【−92.5②将−11，−10，−9，−8……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出a⊕b，10组数代入后可求得10个a⊕b的值，则这10个值的和的最小值是．【思路点拨】（1）①根据定义a⊕b=12(|a−b|+a+b),a≠b（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题．【解题过程】（1）解：①∵a⊕b=1∴3⊕2=12⊕3=1−3⊕2=−3⊕故答案为：3，3，2，−2；②例如：3⊕−2−2⊕通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为a⊕b=a,a>b（2）解：①【==16.33②不妨设a>b，则代数式中绝对值符号可直接去掉，∴代数式等于a，a为偶数，b=a−1最小值=−10故答案为：−10．12．（2022秋·河南南阳·七年级统考阶段练习）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2（1）计算：4⊗−2（2）计算：3⊗−7（3）已知−67，−57，⋯，−17，0，19，29，⋯，89这十五个数中．从中任取三个数作为a，【思路点拨】（1）直接代入公式计算即可；（2）直接代入公式计算即可；（3）分析a−b−c为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．【解题过程】（1）原式=4−=6；（2）原式=3−=19=3；（3）当a−b−c为非负数时，a⊗b⊗c=a−b−c+a+b+c2∴当a=−67时，a⊗b⊗c的最小值为当a−b−c为负数时，a⊗b⊗c=−a+b+c+a+b+c2∴当b+c的值最小时，a⊗b⊗c的值最小；∵a−b−c为负数，∴a＜由于a最小取−6∴b+c＞综上可得，a⊗b⊗c的最小值为−613．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“⊗”，a⊗b=a+b−20232，如：1⊗2=1+2−2023材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，−2=−2，（1）2⊗6=______，−ππ（2）求1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值：（3）若有理数m，n满足m=2n=3n+1【思路点拨】（1）根据材料1新定义的运算“⊗”的概念即可求出2⊗6的值，根据材料2中的定义即可求出−ππ（2）根据新定义函数把1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023的值；（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n【解题过程】（1）解：∵a⊗b=a+b−2023∴2⊗6=∵−π∴−ππ=故答案为：−20072，（2）依题意，1⊗2⊗3⊗4…⊗2022⊗2023=1+2+3+……+2023+2022×==2023；（3）∵n+1=n+1∴2n∴n=−3∴m=2×−3=−6∴m+n=−6+n∴m⊗m+n=−9⊗14．（2022秋·广东茂名·七年级茂名市第一中学校考期中）类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可写作2③，（－3）÷（－3）÷（－3）÷（－3）写作（－3）④，一般地把n个a相除写作aⓝ，读作“a的圈n（1）直接写出计算结果：2③＝_______；−12（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下：除方→2④=2÷2÷2÷2=2×仿照以上例子，把除方运算写乘方形式：−3⑤＝______，1（3）算一算：122【思路点拨】（1）根据新定义的运算计算即可；（2）根据题干中的运算方法求解即可；（3）利用（1）（2）中的方法代入化简，然后计算即可．【解题过程】（1）解：2③−12③故答案为：12，−2（2）−3⑤=(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)=(−3)×15⑥故答案为：−133（3）122÷−13④=144÷=144÷9×=16×=1−3=−2．15．（2022秋·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3，计算|x1|，x1+x22，x1+x2+x33，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列−1，2，3的最佳值为12；数列3，−1，2的最佳值为1；…，经过研究，东东发现，对于“2，−1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为1（1）数列−5，−4，3的最佳值为_________（2）将“−5，−4，3”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为_________，取得最佳值最小值的数列为_________（写出一个即可）；（3）将2，-8，a（a>1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值的最小值为1，求a的值．【思路点拨】（1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可；（2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为−4+32（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．【解题过程】（1）解：因为−5=5所以数列−5，−4，3的最佳值为2．故答案为：2；（2）解：对于数列−5，−4，3，因为−5=5对于数列−5，3，−4，因为−5=5对于数列3，−5，−4，因为3=3对于数列3，−4，−5，因为3=3对于数列−4，−5，3，因为−4=4对于数列−4，3，−5，因为−4=4∴数列的最佳值的最小值为0.5，数列可以为：3，−4，−5或−4，3，−5，故答案为：3，−4，−5或−4，3，−5；（3）解：当|2+a2|=1当|−8+a2|=1当|2−8+a3|=1综上所述：a的值为6或10或9或3．16．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作P，即P=POPA．例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO=PA，所以P=1．如图，点P1,P2,P3为数轴上三个点，点P

（1）点P2（2）求P1,P（3）若数轴上有一点M满足OM=13OA【思路点拨】（1）根据相反数的定义即可解答；（2）根据P=POPA（3）根据数轴上两点之间的距离公式可知点M表示的数，再根据M=【解题过程】（1）解：∵点P1表示的数为−14，点P∴点P2表示的数为1故答案为14（2）解：∵点P1表示的数为−14，点A表示的数为1∴P1∵点P2表示的数为1∴P2∵点P3表示的数为2∴P3∵15∴P1（3）解：∵点A所表示的数为1，且OM=13OA∴OM=1设M点表示的数为x，∴OM=0−x∴x=13或∴点M表示的数是13或−当点M表示的数是13时，M当点M表示的数是−13时，综上，M的值是12或117．（2022秋·广西南宁·七年级南宁市第四十七中学校考期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数−3，点B表示数3，下列各数，−1，0，1所对应的点分别是C1,C2,（2）点A表示数−10，点B表示数5，P为数轴上的一个动点：①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数．【思路点拨】（1）根据“联盟点”的定义列出绝对值方程即可求解；（2）根据数轴上两点的距离公式以及新定义，分类讨论，列出一元一次方程，解方程即可求解．【解题过程】（1）解：设C点表示的数为x，且C点是点A，∴根据−1，0，1三个数在数A、B之间，可得CA=2CB或CB=2CA，∴x+3=2|x−3|或|x−3|=2当x+3=2|x−3|时，解得x=1或x=9当|x−3|=2x+3时，解得x=−∴C1，C故答案为：C1，C（2）①设P点表示的数是a，点P在点A的左侧，∴PA＜PB，PA=−10−a，∵点P是点A，∴PB=2PA，∴2−10−a解得a=−25，即P点表示的数是−25；②设P点表示的数是b，点P在点B的右侧，当P是点A，B的“联盟点”时，∴b+10=2b−5解得b=20；当A是点P，B的“联盟点”时，PA=2AB，∴b+10=2×15，解得b=20；当B是点P，A的“联盟点”时，PB=2AB或AB=2PB，∴b−5=2×15或15=2b−5解得b=35或b=12.5；综上所述：P点表示的数为20或35或12.5．18．（2022秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2（1）点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是；写出【N，M】美好点H所表示的数是．（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？【思路点拨】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距