专题20计数原理（教师版）

专题20计数原理计数问题是中学数学中最具挑战性的问题之一。计数原理包括分类加法计数原理和分布乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等。在中学数学中，因为其知识相对独立、思维相对独特，所以对不少学生来说是较为困难的内容之一。从历年高考数学试题来看，本专题的考查通常有以下3个特点：有一定实际背景的计数问题、与古典概型相结合的计数问题、有关二项式定理的简单计算问题，通常以选择题或填空题的形式出现。本专题的计数问题是中学数学中最具挑战性的问题之一。计数原理包括分类加法计数原理和分布乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等。在中学数学中，因为其知识相对独立、思维相对独特，所以对不少学生来说是较为困难的内容之一。从历年高考数学试题来看，本专题的考查通常有以下3个特点：有一定实际背景的计数问题、与古典概型相结合的计数问题、有关二项式定理的简单计算问题，通常以选择题或填空题的形式出现。本专题的排列、组合的问题,首先要把握问题的实质,分清是排列问题、组合问题还是综合性问题,分清分类与分步的标准和方式,并且要遵循两个原则,即按元素的性质进行分类、按事情发生的过程进行分步，熟悉排雷组合中的常见模型，如例1，练12，13中的分组分配问题模型，练14中的超几何分布模型等。二项式定理问题主要考查二项展开式的项或项的系数、二项式系数、二项式系数和，另外整除与余数问题，有时也会利用二项式定理进行求解，如练24.——合肥八中高级教师方旭探究1：排列与组合问题【典例剖析】例1.(2022·河北省保定市模拟)2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法一共有

种．选题意图:选题意图:计数原理是高考的重要内容之一，问题具有类型多、方法多、变化多等特点，涉及两种计数原理、排列组合的综合应用.例1难度一般，但综合分类、分步计数原理、分组分配问题，帮助梳理思路.思维引导：本题的解题思路是先分组再分配，但分组时要考虑所有可能的分组情况，且在计算时注意部分均分问题，避免重复计数.【解析】根据题意，分2步进行分析：=1\*GB3①将10名志愿者分为3组，若分为2、4、4的三组，有C104C64C22A22种分组方法，

若分为3、3=2\*GB3②将分好的三组安排到三个运动员服务点，有A33种安排方法，

则有(C104C6【变式训练】练11(2022·湖南省衡阳市模拟)2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种? (

)A.192 B.240 C.120 D.288【解析】由题意，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到A2当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即2A所以最终满足题意的排法为240-48=192．

故选A．练12(2022·江苏省南京市·多选)把A，B等6本不同的书全部分给3人，则下列正确的是(

)A.共有216种不同的分法

B.若把6本不同的书平均分成三组，则有15种不同的分组方法

C.若恰有一人没有分到书，则有186种不同的分法

D.若每人至少一本，且A，B分给同一人，则有150种不同的分法【解析】由题意，6本书分给3个人，每本书有3种分法，

从而共有36=729种不同的分法，从而A错误；

若将6本不同的书平均分为三组，从而共有C62C42C22A33=15种不同的分法，从而B正确；

从3人中选1人不分到书有C31种选法，

则其余2人共有26种分法，其中有2种会出现1人无书的情况，

从而，其余2人每人都分到书的分法有26-2=62种，

故共有C3练13(2022·江苏省常州市月考)现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为

．【解析】按1+1+3分组：C53=10种，从而有C53×A33=60;

按1+2+2分组：C52练14(2022·河北省月考)在一个密闭的箱子中，一共有20个大小、质量、体积等完全相同的20个小球，其中有n个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为f(n)，则当n=

时，f(n)取得最大值．【解析】根据题意可得f(n)=Cn2C20-n3C205，其中2≤n≤17，n∈N*，

f(n)取得最大值，也即是Cn2C20-n3取最大，

设g(n)=Cn2C20-n3，2≤n≤17，n∈N*，

则g(n+1)-g(n)=【规律方法】对于排列、组合的问题,首先要把握问题的实质,分清是排列问题、组合问题还是综合性问题,分清分类与分步的标准和方式,并且要遵循两个原则,即按元素的性质进行分类、按事情发生的过程进行分步.探究一重点说明排列组合的综合应用中常见问题：1.相邻与相间问题=1\*GB3①捆绑法：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大元素”与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列．=2\*GB3②插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可．2.分组与分配问题：解决这类问题常用的思路是先分组后分配，即把n个不同元素先按照某些条件分成k个组，再分配给k个不同的对象.其中分组问题，有①整体均分问题、②部分均分问题、③不等分问题，只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分问题，在遇到均匀分组时，注意不要重复计数.①整体均分问题：分组后不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Akk(k为均分的组数)，避免重复计数，再分配给k②部分均分问题：分成的k个组中若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数③不等分问题：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.3.定序问题除法处理：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．4.隔板法：n个相同小球放入mm≤n个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m-1块隔板），有Cn-15.正难则反,等价转化：当从正面考虑情况复杂，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法.探究2：二项式定理【典例剖析】例2.(2021·江苏省南京市联考·多选)在(2x-1x)n的展开式中，各项系数与二项式系数之和为65，则下列结论正确的是A.n=6 B.各项系数的绝对值之和为729

C.系数最大项为240x3 D.有理项有选题意图选题意图：二项式定理是高中数学的重要内容，题型多为选择题、填空题，考查展开式的项或项的系数、二项式系数、二项式系数和，整除与余数问题，有时也会在不等式证明问题中出现.例2综合了多个二项式定理的知识点，帮助巩固.思维引导：由项的系数与二项式系数和求得n=6;利用二项展开式的通项公式，及系数和等知识逐个判断.【解析】由题意可得1+2n=65，解得n=6，故A正确；

故(2x-1x)6各项系数的绝对值之和为C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C6521+C6【变式训练】练21(2022·安徽省亳州市期末)已知a>0，若(x+9x2)6与(A.1 B.3 C.3 D.9【解析】(x+9x2)6的通项为Tr+1=C6rx6-r9x2r=C6r·9rx6-3r，r=0，1，2，⋯，6练22(2022·湖南省期中)已知Cn3=Cn6，设A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】已知Cn3=Cn6，故n=9，

(2x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2练23(2022·福建省模拟)若2-x3x6+1x【解析】

因为2-x所以(x6+而(x6+=1\*GB3①若(x6+1xx)n的展开式中有常数项，则6n-152r=0，即=2\*GB3②若(x6+1xx)n的展开式中有1x3项，则6n-152所以n的最小值为2．故答案为2．练24(2021·山东省潍坊市模拟)若3x+22020=a1+a3+a【解析】在已知等式中，取x=1得a0+a1+a2+⋯+【规律方法】二项式定理的考查多以选择题和填空题的形式出现,难度基础或中等,主要体现在以下方面：1.应用通项公式：a+bn的通项公式是Tn+1=Cnkan-kbk(其中k≤n,k∈N,2.二项式系数与各项的系数和问题：涉及二项式系数和与系数和、展开式的逆应用、求解几个二项式和（或差）的相关问题.=1\*GB2⑴展开式的各二项式系数和：Cn0+Cn