能量与动量机械能守恒定律的应用讲义

机械能守恒定律的应用编审教师：市级骨干教师缪祥禹本专题主要考查机械能守恒定律的理解以及应用，高考中常以利用机械能守恒定律解决单体和多体系统问题为主，同时结合轻弹簧、轻绳、轻杆进行综合性考查，有时也会涉及到非质点模型的机械能守恒的应用，主要考查学生的分析推理能力以及综合应用能力。单个物体机械能守恒的应用（2021.黑龙江.月考）如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液柱高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来打开阀门让液体自由流动，不计液体产生的摩擦阻力，当两边液柱高度相等时，右侧液柱下降的速度为（）A． B． C． D．关键信息：不计液体产生的摩擦阻力→满足机械能守恒两边液柱高度差为h，管中液柱总长度为4h→确定重力势能的改变量解题思路：利用等效的方法确定液体减小的重力势能，然后利用机械能守恒，即系统减小的重力势能与系统增加的动能相等进行解答。设管的横截面积为S，液体的密度为ρ，打开阀门后，液体开始运动，不计液体产生的摩擦阻力，液体机械能守恒。两边液柱相平时，相当于右管高的液柱移到左管中，重心下降的高度为，即右管高的液柱下降减少的重力势能转化为全部液体的动能，由机械能守恒定律得：＝，解得v＝，故A正确。（2022·浙江·月考）如图所示，MN为光滑的水平面，NO是一长度S＝1.25m、倾角为θ＝37°的光滑斜面（斜面体固定不动），OP为一粗糙的水平面。MN、NO间及NO、OP间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条质量为m＝2kg，总长L＝0.8m的均匀柔软链条开始时静止的放在MNO面上，其AB段长度为L1＝0.4m，链条与OP面的动摩擦因数μ＝0.5，（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），现自由释放链条，求：（1）链条的A端滑到O点时，链条的速率为多大？（2）链条在水平面OP停下时，其C端离O点的距离为多大？（1）链条的A端滑到O点的过程中，因为只有重力做功，所以机械能守恒。设水平面为重力势能的零点。链条开始运动时的机械能为E1，AB段链条质量为m1＝1.0kg，BC段链条质量为m2＝1.0kg。E1＝m2gSsinθ＋m1g(Ssinθ−sinθ)因为S＞L，链条的A端滑到O点时，C点已在斜面上，设此时的机械能为E2，E2＝mgsinθ＋mv2由机械能守恒定律E1＝E2，代入数据得：v＝3m/s（2）根据题意，链条开始进入水平面阶段，摩擦力是变力。但摩擦力随距离均匀增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功，从链条的A端滑到O点到最终链条停下的过程，设链条在水平面OP停下时，其C端离O点的距离x，由动能定理得：mgsinθ−μmgL−μmgx＝0−mv2解得：x＝0.98m。1．应用机械能守恒定律的注意事项：（1）应用机械能守恒定律时，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。（2）列方程时，选取的角度不同，表达式也会不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。（3）在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。2．非质点模型机械能守恒的处理：（1）像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中往往将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。（2）即使不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定形状规则、质量分布均匀的物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况下物体各部分速度大小相同，动能可以用表示。多物体系统机械能守恒的应用（2022·福建·月考）如图所示，滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块1，物块1又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上。开始时用手托住滑块2，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，此时弹簧的压缩量为d。现将滑块2从A处由静止释放，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，此时物块1还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为3d，AC间距离为4d，不计滑轮质量、大小及摩擦。下列说法中正确的是（）A．滑块2下滑过程中，机械能先增大后减小B．滑块2经过B处时的加速度不等于零C．物块1和滑块2的质量之比为2∶1D．若滑块2质量增加一倍，其它条件不变，仍让滑块2由A处从静止滑到C处，滑块2到达C处时，物块1和滑块2的速度之比为5∶4关键信息：光滑的竖直杆、不计滑轮质量、大小及摩擦→整个系统满足机械能守恒已知滑轮与杆的水平距离为3d，AC间距离为4d→确定物块1上升的高度以及弹簧对物块1和系统的做功情况滑块2经过B处的速度最大→加速度为零滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块1→存在速度关联，物块1与滑块2沿绳子方向上的速度相等解题思路：根据功能关系对滑块2进行做功分析，确定滑块2的机械能变化情况；再根据牛顿运动定律分析滑块2的受力情况，确定滑块2的加速度变化情况；利用系统机械能守恒定律处理物块1、滑块2以及弹簧构成的系统，确定物块1和滑块2的质量关系；利用速度关联问题中的速度关系，分析物块1和滑块2的速度关系。AB．对滑块2下滑过程中进行分析，绳子拉力一直对滑块2做负功，所以滑块2的机械能一直减小；滑块2下滑过程中经过B处时速度最大，根据牛顿第二定律可得加速度为0，所以A、B错误。C．对物块1静止时分析，弹簧压缩量为x1＝d；当2下滑到C点时，根据几何关系，物块1上升的高度为：ℎ＝−3d＝2d，则当物体2到达C时弹簧伸长的长度为d，此时弹簧的弹性势能等于物体1静止时的弹性势能，对于物块1、滑块2及弹簧组成的系统，由机械能守恒定律应有：m1g⋅2d＝m2g⋅4d，得m1∶m2＝2∶1，故C正确。D．设绳子与竖直杆之间的夹角为θ，根据物块1和2沿绳子方向的分速度大小相等，则得v2cosθ＝v1，其中cosθ＝，则得滑块2到达C处时，物块1和滑块2的速度之比v1∶v2＝4∶5，故D错误。故选：C。（2022·辽宁·月考）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B。支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，取此时OA所在水平面为零势能面，现将小球A由静止释放，求：（1）小球A到达最低点时，整个系统的总机械能E；（2）小球A到达最低点时的速度大小vA；（3）当OA直角边与水平方向的夹角θ为多大时，小球A的速度达到最大？并求出小球A的最大速度v。（1）由题意得，小球A从静止至到达最低点的过程中，两球组成的系统机械能守恒，则小球A到达最低点时，整个系统的总机械能为：E＝Ep初＝−3mgL（2）小球A从静止至到达最低点的过程中，根据系统机械能守恒可得：−3mgL＝−2mg·2L＋＋由题意得两球的角速度相同，由v＝ωr知A、B两球的线速度之比为vA∶vB＝2L∶L＝2∶1联立解得：vA＝（3）当OA直角边与水平方向的夹角为θ时，由系统机械能守恒可得：−3mgL＝−2mg·2Lsinθ−3mg·Lcosθ＋＋结合vA∶vB＝2∶1解得：＝gL(4sinθ＋3cosθ)−gL＝gLsin(θ＋α)−gL其中tanα＝，α＝37°，根据数学知识可知，当θ＝53°时，有最大值，解得小球A的速度最大值为：v＝1．轻绳连接：（1）分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。（2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。（3）对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。2．轻杆连接（1）用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。（2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。（3）对于杆和球组成的系统，忽略空气阻