门式起重机负载摆动的动力学分析

门式起重机负载摆动的动力学分析

门式收割机作为一种交通工具，在港口码头、冶金行业、建筑工程等领域得到广泛应用。随着尺寸的增大和外部因素的干扰，起重机的小车辆结构通过柔性钢丝绳连接，导致小型车辆的减速和外部因素引起的负载扰动。负载的摆动不仅大大增加了事故发生的可能性,而且还会造成门式起重机的定位时间过长,严重影响了生产效率。通过对负载摆动的动态过程进行深入的分析,研究负载的摆动过程对系统的影响,为负载的消摆研究和起重机的精确定位研究提供理论依据。目前,《起重机设计规范》中采用动载荷系数法对起重机整机或小车启制动过程中产生的水平动载荷进行分析,简单地将柔性悬挂的负载与小车机构刚性连接来考虑,忽略了起重机启制动过程中负载的摆动,显然不能满足现代高性能起重机发展的技术要求。文中通过建立起重机运动过程中负载的单自由度系统模型,对系统在启动加速阶段、稳定运行阶段和制动减速阶段负载摆动的动态过程进行了深入的分析。文中以小车运动过程中负载的摆动为例进行分析,大车运动过程中负载摆动的分析与小车一致。1初始摆角和摆角速度门式起重机的小车机构在启动加速的过程中负载的摆动会对小车产生持续的水平载荷,负载通过钢丝绳与小车机构相连接,不能简单地视为刚性连接处理。针对此问题,首先建立负载摆动的单自由度系统模型,并对模型做以下假设:(1)负载摆动过程中钢丝绳长度不变;(2)将负载简化为质点对系统进行分析;(3)忽略负载摆动过程中的空气阻力对负载的影响。负载摆动的系统模型如图1所示,假设小车的启动加速时间为t1,稳定运行时间为t2,制动减速时间为t3。图中m1、m2分别为小车和负载的质量,θ为负载的摆角,F为小车所受驱动力与摩擦阻力的合力,T为钢丝绳的拉力,l为钢丝绳的长度。负载在摆动过程中摆角θ比较小,可近似认为sinθ≈θ,cosθ≈1。设小车与重物的坐标分别为(x,0)、(xm,ym),则有:xm=x-lsinθym=-lcosθ˙xm=˙x-˙lsinθ-l˙θcosθ˙ym=-˙lcosθ+l˙θsinθxm=x−lsinθym=−lcosθx˙m=x˙−l˙sinθ−lθ˙cosθy˙m=−l˙cosθ+lθ˙sinθ忽略钢丝绳的形变,则上述方程可简化为:˙xm=˙x-l˙θcosθ˙ym=l˙θsinθx˙m=x˙−lθ˙cosθy˙m=lθ˙sinθ系统的动能为:Τ=12m1˙x2+12m2(˙x2+˙y2)=12(m1+m2)˙x2+12m2(l2˙θ2-2l˙x˙θcosθ)(1)T=12m1x˙2+12m2(x˙2+y˙2)=12(m1+m2)x˙2+12m2(l2θ˙2−2lx˙θ˙cosθ)(1)系统的拉格朗日方程为:ddt(∂Τ∂˙x)-∂Τ∂x=Fddt(∂T∂x˙)−∂T∂x=F(2)ddt(∂Τ∂˙θ)-∂Τ∂θ=-m2gsinθddt(∂T∂θ˙)−∂T∂θ=−m2gsinθ(3)将式(1)分别代入式(2)、(3)中可得:(m1+m2)¨x-m2l¨θcosθ=F(m1+m2)x¨−m2lθ¨cosθ=Fm2l¨θ-m2¨xcosθ+m2gsinθ=0m2lθ¨−m2x¨cosθ+m2gsinθ=0对上式进行化简可得:(m1+m2)¨x-m2l¨θ=F(4)(m1+m2)x¨−m2lθ¨=F(4)l¨θ-¨x+gθ=0(5)lθ¨−x¨+gθ=0(5)对式(5)进行Laplace变换可得:s2θ(s)-[sθ(0)+˙θ(0)]-¨x(s)l+glθ(s)=0s2θ(s)−[sθ(0)+θ˙(0)]−x¨(s)l+glθ(s)=0θ(s)=¨x(s)/ls2+g/l+sθ(0)s2+g/l+˙θ(0)s2+g/l(6)θ(s)=x¨(s)/ls2+g/l+sθ(0)s2+g/l+θ˙(0)s2+g/l(6)在小车的启动加速阶段,负载由零位置开始摆动,故初始摆角和摆角速度均为零。式(6)化简为:θ1(s)=¨x1(s)/ls2+g/l=x1(s)/ls(s2+g/l)(7)θ1(s)=x¨1(s)/ls2+g/l=x1(s)/ls(s2+g/l)(7)由式(7)可得:θ1(t)=¨x1g(1-cos√glt)θ1(t)=x¨1g(1−cosgl√t)˙θ1(t)=¨x1√glsin√gltθ˙1(t)=x¨1gl√singl√t¨θ1(t)=¨x1lcos√gltθ¨1(t)=x¨1lcosgl√t由上式可以看出,当cos√glt=-1cosgl√t=−1时,负载的最大摆角为θ1max=2¨x1gθ1max=2x¨1g。对小车应用牛顿第二定律得:F-Τ1sinθ1=m1¨x1F−T1sinθ1=m1x¨1将式(4)代入上式得负载在摆动过程中对系统水平方向的影响力为:Τ′1=Τ1sinθ1=m2¨x1-m2l¨θ1T′1=T1sinθ1=m2x¨1−m2lθ¨12自由摆动阶段假设小车经过时间为t1的加速过程后进入稳定运行阶段,负载进入自由摆动阶段,式(5)变为:l¨θ+gθ=0(8)由式(8)可得负载在自由摆动阶段的摆角为:θ2(t)=θ2(0)cos√glt+˙θ2(0)√g/lsin√glt自由摆动阶段的初始值为小车在t1时刻负载的摆角θ1(t1)和角速度˙θ1(t1):θ2(0)=θ1(t1)=¨x1g(1-cos√glt1)˙θ2(0)=˙θ1(t1)=¨x1√glsin√glt1负载的摆角为:θ2(t)=¨x1g(1-cos√glt1)cos√glt+¨x1gsin√glt1sin√glt=¨x1g[cos√glt-cos√gl(t+t1)]=2¨xgsin√glt12sin√gl(t+t12)˙θ2(t)=2¨x1√glsin√glt12cos√gl(t+t12)由上式可以看出,负载在自由摆动阶段的最大摆角为:θ2max=2¨x1g|sin√glt12|在自由摆动阶段对负载进行受力分析可得:m2gcosθ2=Τ2m2gsinθ2=l¨θ2负载在摆动过程中对小车水平方向的影响力为:Τ´2=Τ2sinθ2=12m2gsin2θ23摆动初始值小车在制动减速阶段的动力学分析与在启动加速阶段相同,但此阶段负载摆动的初始值并不为零,对式(6)求拉氏反变换可得:θ3(t)=¨x3g(1-cos√glt)+θ3(0)cos√glt+˙θ3(0)√glsin√glt负载摆动的初始值:θ3(0)=θ2(t2)=2¨x1gsin√glt12sin√gl(t2+t12)˙θ3(0)=˙θ2(t2)=2¨x1√glsin√glt12cos√gl(t2+t12)在此阶段,负载在摆动过程中对系统水平方向的影响力为:Τ´3=Τ3sinθ3=m2¨x3-m2l¨θ34不同加速阶段负载摆动对数据分析的影响根据负载摆动的单自由度系统模型,在MATLAB/Simulink环境中对系统模型进行动力学的建模与仿真。根据试验台的使用规定,设置系统的加速度为0.25m/s2,最大速度为1.25m/s。取重力加速度g=9.81m/s2,钢丝绳的长度l=2.5m。小车的运动过程分为3个阶段:启动加速阶段、稳定运行阶段和制动减速阶段。设置小车的运动速度曲线如图2所示。负载的摆角在Simulink中的模型如图3所示。负载在运行的整个过程摆角的仿真曲线如图4所示。可以看出:小车在加速时负载随着小车的加速而加速,负载的摆角恒为正值,其平衡位置并非位于零位置;小车在加速阶段结束时负载摆角的大小为在稳定运行阶段负载摆角的峰值,稳定运行阶段负载摆角的平衡位置为零位置,所以适当控制系统的加速时间即可在一定程度上减弱系统在稳定运行阶段负载的摆动程度,同时也减弱了负载摆动对小车带来的水平载荷;系统在稳定运行阶段结束时负载的摆角同样也影响着小车在减速制动阶段负载摆动的程度,从图中可以看出,此阶段负载摆动的平衡位置也不在零位置。负载在摆动过程中对小车影响的水平载荷的仿真图形如图5所示。可见:小车在各个运行阶段负载的摆动对系统影响的水平载荷呈周期性变化。小车在启动加速阶段,负载始终随着系统的加速而加速,其摆角恒为正值,所以对系统影响的水平载荷也恒为正值;当小车处于稳定加速阶段时,负载以零位置为平衡位置、以加速阶段结束时负载摆角的大小为峰值进行摆动,负载对系统影响的水平载荷的峰值与加速阶段结束时的水平载荷相同;小车处于减速制动阶段时,与启动加速段相比,摆角的表达式中多两项初值项,导致水平载荷比启动加速阶段大,但是两者的周期是相同的。在实验中,将数据采集卡采集到的实验数据通过Excel文件导出后,导入到MATLAB中,绘制负载的摆动对系统影响的水平载荷的数据曲线如图6所示。可以看出:系统在稳定阶段运行时间较长,在此阶段中,负载受空气阻力的影响,负载摆角的幅值呈衰减趋势,但速度很慢,说明空气阻力对系统的影响较小,基本可以忽略不计。通过水平载荷的仿真曲线和实验结果的对