安庆市第中学高二上学期期中考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精安庆一中2019—2020学年度高二年级数学期中试卷一､选择题：1。已知圆C与y轴相切于点（0,5），半径为5,则圆C的标准方程是（）A。（x﹣5）2+(y﹣5）2=25B。（x+5)2+（y﹣5）2=25C。(x﹣5）2+(y﹣5）2=5或（x+5）2+（y﹣5)2=5D。（x﹣5)2+（y﹣5）2=25或（x+5)2+（y﹣5）2=25【答案】D【解析】【分析】根据题意求出圆的圆心，再由圆的标准方程即可求解.【详解】由题意得圆C的圆心为（5，5)或（﹣5，5)，故圆C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣5)2=25或（x+5）2+(y﹣5）2=25．故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及圆的标准方程，属于基础题.2.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为，,…，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（)A。,，…，的标准差 B.，，…，的平均数C。，，…，的最大值 D.，，…，的中位数【答案】A【解析】【分析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差,标准差越小，数据越稳定故选：A【点睛】本题考查了用样本估计总体,需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的,属于基础题。3.根据如下样本数据得到的回归直线方程为，则34564.5432。5A。B.C。D。【答案】B【解析】【分析】根据线性回归直线的函数特征，结合题中数据，即可判断出结果。【详解】由表中数据可得，随着的增大，越来越小，所以；又时，，所以当时，必有。故选B【点睛】本题主要考查回归直线的函数特征，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型。4。如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别是()A。87,9.6 B.85,9.6 C.87，5，6 D。85，5。6【答案】D【解析】【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为82，84，84，86，89，由此能求出所剩数据的平均数和方差．【详解】平均数,方差，选D.【点睛】本题考查所剩数据的平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5。现要完成下列三项抽样调查：①从罐奶粉中抽取罐进行食品安全卫生检查；②高二年级有名学生，为调查学生学习情况抽取一个容量为的样本；③从某社区户高收入家庭，户中等收入家庭，户低收入家庭中选出户进行消费水平调查。以下各调查方法较为合理的是（）A.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C。①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D。①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样【答案】D【解析】【分析】根据简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的概念及适用情况,直接判断求解即可。【详解】对于①,从罐奶粉中抽取罐进行食品安全卫生检查，由于总体数量较少，因此可用简单随机抽样的方法调查。对于②，高二年级有名学生，为调查学生的学习情况抽取一个容量为的样本。总体数量较多,且对于学生来说，有可以直接使用的学号等编码，所以选择系统抽样调查.对于③,从某社区户高收入家庭，户中等收入家庭,户低收入家庭中选出户进行消费水平调查.调查的各个家庭收入有差距，因而选择分层抽样调查的方法.综上可知,对三项分别使用的调查方法为:简单随机抽样；择系统抽样；分层抽样.故选：D【点睛】本题考查了抽样方法的判断和选择，对抽样方法适用条件的判断,属于基础题.6.在空间直角坐标系中,点A（1，—1，1)关于坐标原点对称的点的坐标为（）A. B. C。 D.1，【答案】D【解析】【分析】根据空间坐标的对称性进行求解即可．【详解】解：空间坐标关于原点对称，则所有坐标都为原坐标的相反数，即点A关于坐标原点对称的点的坐标为，故选D．【点睛】本题主要考查空间坐标对称的计算，结合空间坐标的对称性是解决本题的关键．比较基础．7.某程序框图如图所示,若输出的,则判断框内应填（）A。 B. C. D。【答案】A【解析】【分析】根据程序框图的结构及输出结果，逆向推断即可得判断框中的内容.【详解】由程序框图可知,,则所以此时输出的值,因而时退出循环.因而判断框的内容为故选：A【点睛】本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题。8。若圆与圆内切，则的最大值为（）A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】将两个圆的一般方程化为标准方程,根据两个圆内切即可求得的关系.结合不等式即可求得的最大值.【详解】圆,即。所以圆心坐标为,半径为圆，即，所以圆心坐标为，半径为因为两个圆相内切所以圆心距等于半径差,即所以由不等式性质可得所以的最大值为故选：B【点睛】本题考查了圆一般方程与标准方程的转化,圆与圆内切的性质及应用,不等式性质的用法，属于基础题。9。三国时期吴国数学家赵爽所注《周牌算经》中给出了勾股定理的绝妙证明。右面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实､黄实,利用勾股（股勾)朱实黄实弦实，化简,得勾股弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据，）A. B. C. D。【答案】B【解析】【分析】根据题意,设最短边勾的长为，进而表示出股和弦,求得小正方形与大正方形的面积比,结合几何概型概率求法即可得解。【详解】根据题意,可设最短边勾的长为则股为,弦为所以大正方形的面积为小正方形的面积为则小正方形与大正方形的面积比为由几何概型概率计算方法可得所以落在黄色图形内的图钉颗数大约为个故选：B【点睛】本题考查了新定义的简单应用，几何概型概率的求法，属于基础题.10。已知小张每次射击命中十环的概率都为40％，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4,6，8表示命中十环，0，1,3，5,7,9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：321421292925274632800478598663531297396021506318230113507965据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为(）A.0。25 B.0。30 C.0。35 D.0.40【答案】B【解析】【分析】由题意知模拟三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中十环的有可以通过列举得到共6组随机数,根据概率公式，得到结果．【详解】解：由题意知模拟三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次射击恰有两次命中的有：421、292、274、632、478、663，共6组随机数，∴所求概率为，故选B．【点睛】本题考查模拟方法估计概率,是一个基础题,解这种题目主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．11。过点作圆的两条切线,切点分别为，,则（）A. B. C. D。【答案】D【解析】设,则直线PA的方程为，直线PB的方程为，点均在两直线上，故,直线AB的方程为3x+4y=4。点到直线AB的距离,则.本题选择D选项。12。已知圆上存在点，使(为原点）成立，，则实数的取值范围是（）A。 B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】根据可得的轨迹方程。由点在圆上，可得的轨迹方程与圆有公共点，即可由其位置关系求解。【详解】由题意，设则由，可得化简变形可得所以的轨迹为以为圆心，以为半径的圆由题意可知为与的公共点即两个圆有公共点，由圆与圆的位置关系可知解得又因为所以故选:D【点睛】本题考查了点的轨迹方程求法,圆与圆位置关系式的应用,属于中档题。二､填空题：13。圆和圆交于A,B两点,则弦AB的垂直平分线的方程是________.【答案】【解析】【分析】弦AB的垂直平分线即两圆心连线.【详解】弦AB的垂直平分线即两圆心连线方程为故答案为【点睛】本题考查了弦的垂直平分线,转化为过圆心的直线可以简化运算。14。若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（)A。 B。C. D.【答案】B【解析】试题分析:由题意，得:n=5,k=0n=”16,k=1，"n="8,k=2，"n=”4，k=3，"n="2，k=4,"n=1,k=5终止，当时，执行最后一次循环；当时,循环终止,这是关键．输出．故选B。考点：本题主要考查程序框图的功能识别．点评：简单题，理解算法语句及算法功能，按循环体逐次计算．15.从甲､乙､丙､丁四人中选取两人参加某项活动,则甲､乙两人有且仅有一人入选的概率为__________。【答案】【解析】【分析】根据两人仅有一人入选,可分类讨论,即可求得概率。【详解】从甲､乙､丙、丁四人中选取两人参加活动，所有可能为甲乙两人仅有一人参加的情况为所以甲乙两人有且仅有一人入选概率为故选：B【点睛】本题考查了古典概率的求法,组合问题的简单应用，属于基础题。16。设圆圆。点分别是圆上的动点,P为直线上的动点，则的最小值为_________。【答案】【解析】【分析】在直接坐标系中，画出两个圆的图形和直线的图象，根据圆的性质,问题就转化为｜PC1|+|PC2｜﹣R﹣r＝|PC1｜+|PC2|﹣7的最小值，运用几何的知识,作出C1关于直线y＝x对称点C，并求出坐标，由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时,｜PC1|+|PC2|取得最小值,最后利用两点问题距离公式可以求出最小值。【详解】可知圆C1的圆心（5，﹣2)，r＝2，圆C2的圆心（7，﹣1），R＝5，如图所示：对于直线y＝x上的任一点P,由图象可知，要使｜PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2｜﹣R﹣r＝|PC1|+｜PC2|﹣7的最小值，即可看作直线y＝x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，又C1关于直线y＝x对称的点为C(﹣2，5）,由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时，|PC1|+|PC2｜取得最小值，即直线y＝x上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2｜∴|PA|+｜PB|的最小值为＝﹣7．【点睛】本题考查了求定直线上的动点分别到两个圆上的动点的距离之和最小值问题，考查了数形结合思想，利用圆的几何性质转化是解题的关键，利用对称思想也是本题解题的关键。三､解答题：17.某校高二(1)班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1)求高二（1）班全体女生的人数；(2）由频率分布直方图估计该班女生此次数学测试成绩的众数.【答案】（1）25人（2）75【解析】【分析】（1)根据频率分布直方图，可知落在的频率。由茎叶图,可知落在内有2人,即可求得高二（1）班全体女生的人数；（2)根据茎叶图,可先求得落在间的女生人数,并依次求得在各个区间的频率.结合众数的求法即可得解.【详解】(1）根据茎叶图知,分数在之间的女生人数为，根据频率分布直方图可得它所占的比率为，所以高二（l)班全体女生的人数为（人）；（2)由茎叶图可知,分数在之间的女生人数为；所以分数在之间的频率为之分数在之间的频率为；分数在之间的频率为;分数在之间的频率为；分数在之间的频率为；所以频率分布直方图中最高的小矩形为间的矩形,估计该班女生此次数学测试成绩的众数为.【点睛】本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用,属于基础题。18。为庆祝党的98岁生日,某高校组织了“歌颂祖国,紧跟党走”为主题的党史知识竞赛．从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段，，，，，，到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值及样本的中位数与众数；(2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于分为事件，求事件发生的概率。【答案】（1）0.06，87。5，87。5；（2）【解析】【分析】（1）根据小矩形面积之和等于1列方程求出a,根据中位数定义估计中位数的范围,再列方程计算中位数,最高矩形的组中值为众数；（2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率即可求解【详解】（1)由题意，5×（0.01+0。02+0.04+0.05+a+0。02）＝1，解得a＝0.06;样本众数是87。5,设样本中位数为b,∵5×（001+0.02+0。04)＝0.35＜0.5,5×(0。01+0。02+0.04+0。06)＝0.65＞0,∴85＜b＜90，令5×(0.01+0。02+0。04）+（b﹣85）×0。06＝0.5，解得b＝87。5，∴样本的中位数是87。5．(2)成绩在[70，75）的人数为40×0.01×5＝2，成绩在[95,100]的人数为40×0.02×5＝4，故从此6人中随机抽取2人，抽取的2人在同一分数段的概率为1．∴事件M发生的概率为．【点睛】本题考查了频率分布直方图，古典概型及其应用，注意对立事件的应用，属于基础题．19.已知圆，直线,（1）求证：直线恒过定点；（2)判断直线被圆截得的弦长何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时，求的值以及最短长度.【答案】(1）证明见解析（2）直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，直线时，直线被圆截得的弦长最短，，【解析】【分析】（1）将直线方程变形，即可求得所过定点的坐标.(2）当直线经过圆心时,与圆相交所得弦长最长，为直径;当与这条直径所在直线垂直时，所得弦长最短.由垂径定理即可求得弦最短值,结合点到直线距离公式即可求得的值.【详解】(1)证明：直线的方程可化为联立解得所以直线恒过定点（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长.当直线时,直线被圆截得的弦长最短直线的斜率为，由两点间距离公式可知因为两直线垂直，由两直线垂直的斜率关系可知解得此时直线的方程是圆心到直线的距离为所以最短弦长是【点睛】本题考查了直线过定点的求法,直线与圆相交时的弦长最值问题,属于基础题。20.某商场近5个月的销售额和利润额如表所示：（1）画出散点图，观察散点图,说明两个变量有怎样的相关关系；(2）求出利润额关于销售额的回归直线方程；(3）当销售额为4千万元时,利用（2）的结论估计该商场的利润额（百万元）.,，【答案】（1)散点图见解析；（2）；（3）1.9百万元。【解析】【分析】（1）画出坐标系，并描出5个离散的点；（2)由最小二乘法公式求出系，再由回归直线过散点图的中心求；(3）把代入回归直线,得到预报值。【详解】（1)散点图如图所示：两个变量正相关,且具有线性相关关系.（2)易求,由公式有且,则线性回归方程为。（3）当时，由（1）可求得，即利润额约为百万元。【点睛】本题考查统计中的散点图、回归直线