2022-2023学年九年级数学专家点拨-圆的综合提高

2。就隼九隼氨数学

状元必读专家点拨

状元必读［明确考Q/注重难点］

一、考点突破

近几年的中考中，圆占的比重越来越高，分值一般在10分左右，主要考查以下内容:

（1）圆的有关性质和定理的应用，如利用圆的对称性设计图形，利用''垂径定理”“圆心角、

弧、弦、弦心距相等关系定理”“圆周角定理”证明线段、角相等；（2）直线与圆的位置关

系，特别是切线的判定及性质的运用更是中考的重点内容；（3）对圆与圆的位置关系的考查

一般围绕内切与外切进行；（4）利用弧长、扇形面积、圆锥面积、圆锥侧面积公式进行有关

计算。常见的题型有填空题、选择题、解答题，其中解答题常常与函数、方程、动点的变化

规律等内容相结合，难度较大。

二、重难点提示

重点：圆的有关概念和性质；与圆有关的位置关系；正多边形和圆的关系；弧长和扇形

面积。

难点：正确理解圆的对称性，并能灵活运用这一性质解决与圆有关的证明题、计算题。

专家点拨【特高级6家倾力打曲】

・'、状元典［列【限空例题剖析激活知题思维】

能力提升类

例1如图，。。的直径AB与弦EF相交于点尸，交角为45°,若PE2+PF?=8,

求直径AB。

一点通：根据已知条件求出弦的半弦长和弦心距的平方和，也就是半径的平方，即

可求出半径，从而可求出直径。（也可作E点关于A3的对称点求解）

解：作OG_L所于点G,连结0E,

根据垂径定理，可设石G=/G=x,则PE=x+PG,PF=x-PG,

又；PE?+PF2=8,

：.(x+PG)2+(x-PG)2=8,

整理得2X2+2PG?=8,X2+PG2=4,

•••交角为45°,

OG=PG,

：.OE2^OG2+EG2=4,

即圆的半径是2,

二直径是4.

评析：解答此题需注意应用数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式。

例2如图，正方形ABCO内接于。。，点P在劣弧A8上，连结。尸，交AC于点

Q.若QP=QO,求耍的值。

QA

一点通：设。。的半径为r，QO=m,则=QC=r+m,QA=r-m.利

用相交线定理，求出〃7与r的关系，即用〃表示出即可得出所求比值。

解：如图，设。。的半径为r,QO=m,则QP=根，QC=r+m,QA=r-m.

在。。中，根据相交弦定理，得QA-QC=QPQD.

2?

r~—irr

即（r—〃2）（厂+加）=加・。£）,所以。£）=-------.

m

连结。0,由勾股定理，得。02=。。2+。。2,

22

即一一一）2二户+加2,

m

巧

解得加二——r

3

所以更=3=曰里=6+2.

QAr-m43-1

评析：本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被该点所分得的两

线段的长的乘积相等”。熟记并灵活应用定理是解答本题的关键。

综合运用类

例3如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与三角形的A3边和BC边相

切于点。和E,与4c边相交于点尸和G,求NO所的度数。

A

D

/V\Vz

5---

一点通：先过点E作BC的垂线与圆交于点H,与4c交于点。，连结A”和£>〃，

作垂足为M,再根据切线的判定和性质得，△D6E是正三角形，从而得出

四边形AWEH是矩形，由矩形的性质和切线长定理可求得NOEF=75°,ZDEO=Z

EOC=30°,从而得出/DE五的度数。

解：过点E作8c的垂线与圆交于点“，与AC交于点0.连结4H和£>”，作AM

±BC,垂足为M.

•；£为切点，

二EH必过圆心，即EH是直径，

:.DHA.DE,

,:D、£是切点，

BD=BE,

VZS=60°,

••.△DBE是等边三角形，

二N6OE=NB4C=60°,

ADE//AC,DH±AC,

由已知得，AM=EH，又AM〃七//,

四边形AWE"是矩形，

：.AH±HE,即A”是切线，

/.AD=AH,AC垂直平分。“，AC必过圆心，

/.AC与E”的交点。是圆心，

:.OE=OF,

COE=90°—/C=30°,

：.NOEF=75°,

'：ZDEO=ZEOC=30a,

：.ZDEF=300+75°=105°

评析：本题考查了切线长定理、矩形的判定和性质、切线的判定和性质等知识，综合性

强，难度较大。

例4已知△ABC中，ZACB=90°,A8边上的高线C4与△ABC的两条内角平

分线4M、BN分别交于P、。两点，PM、QN的中点分别为E、F.

求证：EF//AB

一点通：只要证明了和同时垂直于同一条直线，即可得证。

解：连结FC、FHo

因为BN是/ABC的平分线，所以NABN=NCBN.

又因为CH_LA3,

所以ZCQN=NBQH=90°-NABN=90°-ZCBN=NCNB,

因此CQ=NC.

又F是QN的中点，所以CF_LQN,所以/CFB=90°=/CHB,

因此C、F、H、8四点共圆。

又NFBH=NFBC,所以FC=FH,故点F在C4的中垂线上。

同理可证，点£在CH的中垂线上。

因此跖_LCH又ABLCH,所以

评析：本题考查了四点共圆的性质和等量代换的数学思想。

思维拓展类

例5在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1,0）,点C的坐标为（0,4）,

直线CM〃x轴（如图所示）.点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点

B,且与直线CM相交于点D,连结OD.

(1)求b的值和点D的坐标；

(2)设点P在x轴的正半轴上，若aPOD是等腰三角形，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，如果以PD为半径的。P与。O外切，求。O的半径。

一点通：(1)先求出点B的坐标，由直线过点B,把点B的坐标代入解析式，可求得b

的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4,利用求得的解析式确定该点的横坐标即可。

(2)APOD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD,PO=PD,DO-DP,故需分类讨

论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可；

(3)结合(2),可知。O的半径也需根据点P的不同位置进行分类讨论。

解：(1)；B与A(1,0)关于原点对称

AB(-1,0)

Vy=x+b过点B

—l+b=0,b=1

.♦.y=x+l

当y=4时，x+l=4,x=3

AD(3,4)；

/.OD=5.

若APOD为等腰三角形，则有以下三种情况：

①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P”则OPi=OD=5,

APi(5,0).

②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2,则DP2=DO=5,

•.*DE±OP2

.,.P2E=OE=3,

.,.OP2=6,

：.P2(6,0).

③取0D的中点M,过M作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3,则OP3=DP3,

设P3(x,y),则PD=x,EP=x-3,

由勾股定理，得PD2=DE?+EP2,

x2=42+(x—3)2,

解得x=X25

6

综上所述，符合条件的点P有三个，分别是Pi(5,0),P2(6,0),P3(—，0).

6

(3)①当Pi(5,0)时，PiE=OPi-OE=5-3=2,OP,=5.

；.PID=2G

...OP的半径为2G.

•；。0与。P外切，

二。0的半径为5—2石.

②当P2(6,0)时，p2D=DO=5,OP2=6,

.•.0P的半径为5.

：。0与0P外切，

，。0的半径为1.

2525

③当P3(一.0)时，P3D=OP3=—.

66

25

.•.0P的半径为

6

•.•oo与0p外切，

...OO的半径为0,即此圆不存在。

评析：本题考查了运用待定系数法求函数解析式，同学们注意到分类讨论是解决本题的

关键。

例6已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点.以点A为圆心，AP

为半径作。A,G)A与半圆。相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作。B,OB与半圆O

相交于点D,且线段CD的中点为M.求证：MP分别与OA和OB相切。

一点通：要证MP分别与。A和。B相切，如图所示，连结AC,AD,BC,BD,并且

分别过点C,D作CELAB,DF±AB,垂足分别为点E,F,则CE〃DF.因为AB是00

的直径，所以/ACB=NADB=90°.在RtZkABC和RtZ;sABD中，则有PA2=AC2=AE・

AB,PB2=BD2=BF*AB.两式相减可得PA?—PB』AB(AE-BF),又PA2-PB』(PA

+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),于是有AE-BF=PA—PB,即PA—AE=PB~BF,所

以PE=PF,也就是说，点P是线段EF的中点.因此，MP是直角梯形CEFD的中位线，于

是得MP_LAB,进而可得MP分别与0A和。B相切。

证明：如图，连结AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作CE_LAB,DF_LAB,

垂足分别为点E,F

；.CE〃DF,ZAEC=90°,ZBFD=90°.

VAB是。O的直径，

.\ZACB=ZADB=90o.

又；ZCAB是AACB和4AEC的公共角，

/.△ACB^AAEC,

AAC：AB=AE：AC

B[JPA)=AC2=AE，AB,

同理PB』BD2=BF・AB.

两式相减可得PA2-PB2=AB(AE-BF),

；.PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)=AB(PA-PB),

；.AE—BF=PA-PB,即PA-AE=PB-BF,

；.PE=PF,

二点P是线段EF的中点。

•.•M是CD的中点，

AMP是直角梯形CEFD的中位线，

/.MP1AB,

AMP分别与。A和。B相切。

评析：这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位线的知识，对于这些

重点知识，同学们应熟练掌握。

状元第i己【万千妙招及叼m结】

一、思想方法总结

数形结合思想：将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法，特别是

几何图形的直观性，能收到事半功倍的效果。

转化思想：能将复杂图形转化为简单图形，将圆的有关计算问题转化为三角形、四边形

的问题来解决。

分类讨论思想：圆的有关概念、圆周角的有关求值及直线和圆、圆和圆的位置关系的讨

论等问题均应用了这一思想。

方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式/=竺二中，已知其他量，求一个量,

180

运用了方程的思想。

二、与圆有关的辅助线的添加规律:

遇直径，作直径上的圆周角；

遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；

证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；

求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；

证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；

遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，再运用其性质

解题；

遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。

遇到两圆相交，添加公共弦或连心线，特别是公共弦，它在相交的两圆中起着桥梁作

用。

军^高坝家.■点、［网员热Q问题通视］

问题：将一把折扇逐渐打开时，容易发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变化，

那么下列函数中能正确描述这种变化的是（）

A.正比例函数B.反比例函数

C.一次函数丁=依+。（br0）D.二次函数

错解：由题意知：折扇逐渐打开时，容易发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变

化，

根据扇形的面积公式S=——，可知应选择D.

360

错解分析：这部分同学没有分析清楚题目要求，误以为求S与/•的关系，一看到/•是二

次，就选择了D.

正解：由题意知：折扇逐渐打开时，容易发现打开部分的扇形面积随圆心角的变化而变

化，

22

根据扇形的面积S=".而巴一是定值。

360360

则S是圆心角度数n的正比例函数。

故选A.

司F状元试M【其战黄练，冲击我元】

（答题时间：60分钟）

一、选择题

1.如图所示，AB、AC与圆O相切于点B、C,/A=50°,点P是圆上异于B、C的一

动点，则NBPC的度数是（）

A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°

2.如图所示，A是半径为5的圆O内的一点，且OA=3,过点A且长小于8的弦有（）

A.0条B.1条C.2条D.4条

3.如图所示，在平面直角坐标系中，。。的半径为1,则直线y=-x+后与。。的位置

关系是（）

A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能

4.给出下列命题：

①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个

内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一

个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形。其中真命题的

个数为（）

A.IB,2C.3D.4

5.如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点0,其直径CD、EF均和x轴垂直，以

CE、DF为直径的两个半圆也均与x轴相切于点0,则图中阴影部分的面积是（）

11

A.—KB.—n

84

二、填空题

1.如图所示,已知AB是圆O的直径，弦CDJ_AB于点P,CD=12cm,AP：PB=2：3,

则圆O的直径是cm。

2.如图所示，Rtz^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心，CA为半径的

圆与AB、BC分别交于点D、E,则AB=,AD=

3.如图所示，在4ABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=273,以A为圆心，以AC

为半径作弧交AB于D,则图中阴影部分的面积是

4.如图所示，同底等高的圆锥和圆柱，它们的底面直径和高相等（即2R=h）,那么圆锥

和圆柱的侧面积之比为。

5.如图所示，将边长为8cm的正方形ABCD沿直线/向右滚动（不滑动），当正方形滚动

两周时（当正方形的四个顶点的位置首次与起始位置相同时，称为正方形滚动一周），正方

形的顶点A所经过的路线长是cm。

ADiBXA)AD

BCBC

三、解答题

1.已知：。0与。O'外离，（DO的半径为4cm,G）O'的半径为6cm,00'=20cm,求两圆

的公切线的长。

2.已知：如图，和。02外切于点P,过点P的直线AB分别与。0人。。2相交于点

A、B,BD切。Oi于点B,交。Ch于点C、D,AE是。Ch的直径。

22

求证：（1）AE_LBD；（2）AAPD^ACPB；（3）AD+BCBD=ABO

--哥白尼

意试题签案

一、选择题

1.C

解析：若点P在劣弧BC上，连结OB、0C

则NBOC=180°—50°=130°

二劣弧BC的度数为130°,优弧BC的度数为230°

ZBPC的度数为-x230°=115°

2

当点P在优弧BC上时，ZBPC--X1300=65°

2

故选C.

2.A

解析：作圆O过A点的直径BC,则BC=10cm

作DE_LBC于A,连结OD

则DA=A/52-32=4,DE=8

而DE是过点A最短的弦，它不可能小于8,

・••选A.

3.C点拨：画出直线，得到直线与x轴、y轴的交点坐标分别为（、历,0）、（0,、历）.则直

线与两坐标轴围成的三角形的面积为1,所以圆心到直线的距离是1,即圆心到直线的距离

等于圆的半径，故直线与圆相切，所以选C.

4.B点拨：一个圆有无数个内接三角形，也有无数个外切三角形，所以②④错误。

5.C点拨：由题意知，题中四个半圆组成的图形关于y轴对称，故y轴左侧阴影部分面

积等于半圆B中的空白部分面积，所以所求阴影部分面积等于半圆B的面积，即S阿

11

--7t•1~0=—71,故选C.

22

二、填空题

1.5^/6

解析：设AP=2x,PB=3x

TAB_LCD,・・・PC=PD=6

又PA•PB=PC•PD

/.2x-3x=36

x2=6

/.x=±V6（舍负）

2x=2而3x=36

/.AB=5V6

2.5,电

5

解析：作CF_LAB于E•.•/ACB=90°

.•.可证AC?=AF-AB

又AB=>/32+42=5

AC29

/.AF=------=—

AB5

ACc918

AD=2x—=—

55

3.2后--7i

3

解析：由勾股定理得AB=4,...NB=30°,ZA=60°

•c_60_2_2

扇JKGW3603

SAABC=5X2X2V3-2V3

...阴影面积=2-2乃

3

4.V5：4点拨：圆柱的侧面积为4小2,圆锥的侧面积为岳*2.

5.8缶+16万点拨：第一次滚动，点A经过的路线长是以C为圆心、CA为半径、

圆心角为90°的扇形弧长；第二次滚动，点A经过的路线长是以D为圆心、边长DA为半

径、圆心角为90°的扇形弧长；第三次滚动，