《高等应用数学》（曾慧平）教案 第六章 微分方程 6.2.3 一阶线性微分方程

课题一阶线性微分方程课时1课时（45min）总39课时教学目标知识技能目标：（1）理解一阶线性微分方程的概念和分类。（2）掌握一阶线性微分方程的解法及应用。素质目标：（1）培养与他人合作交流的学习习惯．（2）培养数学建模思维，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去．教学重难点教学重点：一阶线性微分方程（齐次和非齐次）的概念教学难点：一阶线性微分方程的解法教学方法讲练结合法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计→→→传授新知（20min）→→强化训练（10min）→课堂小结（3min）→布置作业教学过程主要教学内容及步骤设计意图课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，完成课前任务请大家复习有关一阶微分方程的解的知识。【学生】完成课前任务通过课前任务，使学生了解所学知识的重要性，增加学生的学习兴趣，提高学习效率考勤（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到，清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况问题导入（4min）【教师】提出以下问题：一阶齐次线性微分方程与一阶非齐次线性微分方程有何区别？【学生】思考、举手回答通过问题导入的方法，引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣传授新知（20min）【教师】通过学生的回答引入要讲的知识6.2.3一阶线性微分方程知识点一阶线性微分方程的定义❖【教师】介绍一阶线性微分方程的定义形如（6-20）的微分方程称为一阶线性微分方程，其中为已知函数．当时，微分方程（6-20）变为，（6-21）是齐次的，称为一阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程．当时，微分方程（6-20）是非齐次的，称为一阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程．❖【学生】聆听、理解、记录，知识点一阶线性齐次微分方程的解法❖【教师】介绍一阶线性齐次微分方程的解法齐次线性方程可通过分离变量法来求解，具体如下．齐次线性方程（6-21）是可分离变量的，分离变量后得，上式两边积分，得通解，或．．❖【学生】聆听、理解、记录❖【教师】讲解例题例5求微分方程的通解．❖【学生】聆听、理解、演算知识点一阶线性非齐次微分方程的解法❖【教师】介绍一阶线性非齐次微分方程的解法求非齐次线性方程（6-20）的通解，可采用常数变易法，也就是将上述齐次线性方程通解中的常数换成的未知函数，即作变换，（6-22）于是．（6-23）将式（6-22）、式（6-23）代入式（6-20），得，即，两边积分得，把上式代入式（6-22）得非齐次线性方程（6-20）的通解为．（6-24）式（6-24）可化为，该式右边第一项是对应齐次线性方程（6-21）的通解，第二项是非齐次线性方程（6-20）的一个特解（在式（6-24）中取便可得到这个特解），所以非齐次线性方程的通解等于对应齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．❖【学生】聆听、理解、记录，❖【教师】讲解例题例6求微分方程的通解．例7求微分方程满足初值条件的特解．【学生】聆听、思考、演算、对比演算步骤和结果通过教师讲解和例题分析，使学生理解一阶线性微分方程的定义，并掌握一阶线性微分方程的解题方法解题技巧归纳（4min）【教师】归纳解题的技巧1．所谓线性方程，指的是方程中的都是一次的．2．当一阶线性微分方程不是关于未知函数和的方程时，可将看成关于的未知函数，而一阶线性微分方程则是关于未知函数和的方程，于是有．这时可利用常数变异法得到上述方程的通解为．【学生】聆听、理解、记笔记通过提炼知识-点有利于提升学生学习的高效性强化练习（10min）【教师】通过APP发送强化练习作业题，并点名部分学生进行板演1．判别下列一阶微分方程中，哪些属于可分离变量微分方程？哪些属于一阶线性微分方程？（1）； （2）2．求下列微分方程的通解．（1）； （2）；（3）； （4）；对比自己的计算结果，提升解题技巧通过强化练习，使学生巩固所学知识，并以学生为主体，针对学生接受能力的差异性，让优秀学生带动其他学生掌握知识课堂小结（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课学习了一阶线性微分方程的相关知识，包括齐次线性方程的解法，以及非齐次线性方程的解法等内容。希望大家在课下多加练习，巩固课上所学知识，熟练掌握一阶线性微分方程的求解，及其在实际问题中的应用。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固学生一阶微分方程相关知识的印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业完成教材中小节作业6.2中与本课相关的习题本课作业布置二维码老师扫描此码，即可进行线上作业布置【学生】完成课后作业通过课后作业复习巩固学到的知识，提高实际计算能力教学反思本