拉格朗日-算法的形式化改造

拉格朗日-算法的形式化改造

0拉格朗日的变分演算与改进方法的提出变分法是研究泛函（函数的函数）极值问题的分析部门。在20世纪之前，泛函通常以积分的形式出现。因此，变分法主要用于研究积分的极值问题。虽然古典等周问题等属于变分法的问题很早就产生了,但变分法作为一门数学分支,真正发端于17世纪末、18世纪初由最速降线问题所引发的一系列挑战。在牛顿(IssacNewton,1643—1727年)、雅可布·伯努利(JacobBernoulli,1654—1705年)、约翰·伯努利(JohnBernoulli,1667—1748年)、泰勒(BrookTaylor,1685—1731年)等先驱者富有竞争性的探索基础上,欧拉(LeonhardEuler,1707—1783年)从1728年起,开始了在变分法领域的研究。1744年,欧拉对其研究成果进行了系统总结和改进,撰写并出版了数学史上第一本变分法专著——《求某种具有极大或极小性质的曲线或解最广义的等周问题的技巧》(以下简称《技巧》)。在这部被卡拉泰奥多里(ConstantinCarathéodory,1873—1950年)称为“迄今所写最优美的数学著作之一”的书中,欧拉首次给出了变分问题的清晰而一般的表述,确认了变分问题的解所满足的一些基本方程的标准形式,并提供了推导这些方程的一般方法,“将变分法从对一些具体问题的讨论转变为非常一般的问题的讨论”(,68页)。《技巧》是变分法发展史上的一座里程碑,标志着变分法作为一个新的分析学分支的诞生。然而,由于欧拉在此书中使用了大量的几何论证,其几何和分析相结合的方法使得具体的推理过程非常繁复。欧拉本人也期待着能有一种不依赖于几何直观的改进方法,并为此付出了很多精力。这种新方法的发现者是拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736—1813年)。1755年8月12日,年仅19岁的拉格朗日给欧拉写信,阐述了这种新方法——δ-算法。在信中,他不仅介绍了他的算法,而且还用其解决了《技巧》中所列的基本变分问题,展示了该方法的优越性。拉格朗日的方法是一种纯分析的方法,无需借助任何几何直观,通过引进新的符号δ及其运算规则,使得整个演算过程简洁、优美。更为重要的是,这种方法包含着一种极大的变革,把自牛顿以来通过改变极值曲线上个别纵坐标以获取比较曲线的方法,转变为通过整条曲线的改变来获得比较曲线,由此创立了一般意义上的变分方法,使变分法的研究走上了一条与欧拉及其他前辈数学家不同的路线,将早期变分法的发展推进到一个新阶段。1755年9月6日,欧拉给拉格朗日回信,高度赞扬了拉格朗日的方法。随后欧拉放弃了自己原来的方法1,转而运用拉格朗日的演算方法,并在1764年的两篇论文中,将这门数学分支正式命名为“变分法”(calculusofvariations)2,从此拉格朗日的变分演算成了古典变分法的标准算法。从欧拉方法过渡到拉格朗日方法是变分法发展过程的一次重大变革。那么,拉格朗日为什么要对欧拉的方法进行变革?为什么会提出其δ-算法?他从欧拉的研究中受到哪些启示?他又是如何发现新方法的?其发现对他以后的科学研究产生了怎样的影响?这些问题对于再现欧拉和拉格朗日的数学思想以及揭示变分法早期的发育、发展过程等具有极为重要的理论意义和历史意义。给历史上的重大数学发现或变革寻找历史根据是数学史研究的基本任务之一。特别是对于近现代数学史的研究,除了采用历史主义的原则,搞清楚历史上的数学是如何做出来的,还需要在现有研究的基础上,对当时的数学家提出数学问题、引进新的数学概念和符号、创造新的数学、新的方法的原因,进行深入研究。不过,就笔者所知,目前国内外有关变分法历史的文献中,大多把注意力放在欧拉和拉格朗日各自方法的讨论及阐述上,根据这些研究,我们大体上知道了欧拉与拉格朗日各自的算法,但是,还没有人从“拉格朗日为什么要对欧拉的变分法进行变革”的角度进行系统考察和分析。有鉴于此,本文在研读《技巧》、拉格朗日1755年8月12日给欧拉的信以及欧拉的回信等原始文献的基础上,以“为什么数学”为切入点和主要目的,对其进行探讨和分析。1拉格朗日的创新方法欧拉的几何-分析法主要体现在他对《技巧》一书所列变分问题的基本微分方程的推导上,下仅选择其中两类具有代表性的问题加以考察,拉格朗日就是以其为主要考察对象来阐明创新方法的威力3。1.1纵坐标的上确保问题:在所有平面曲线y=y(x)中4,寻求一条曲线,使得定积分∫Zdx取极大或极小值,其中Z是x,y,p(p=dy/dx)的函数,并且从A(不妨假定其横坐标为x=0)到Z(不妨假定其横坐标为x=a)进行积分(图1)5。《技巧》第2章主要讨论了这种类型的问题6。他首先把横坐标AZ等分成“无限”多个子区间:dx=IK=KL=LM=…,然后假设连接两点a、z的曲线给出积分∫Zdx的极大或极小值,字母M、N、O代表区间AZ上无限接近的三个点,字母m、n、o分别代表此曲线上纵坐标为Mm、Nn、Oo的三点,记AM=x,AN=x′,AO=x″;Mm=y,Nn=y′,Oo=y″,因而由p=dy/dx得:p=y′-ydx,p′=y″-y′dx(1)p=y′−ydx,p′=y′′−y′dx(1)欧拉将区间AZ上的定积分∫Zdx改写成如下形式∫MAZdx+Zdx+Z′dx+…7其中Z,Z′,…分别表示被积函数Z在(x,y,p)和(x′,y′,p′),…的值,将积分∫Zdx看成是y′的函数,给纵坐标y′一个无穷小的增量nv8,由于积分∫Zdx沿曲线az取极大或极小值,那么由此导致的积分∫Zdx的变化为0。对于积分∫Zdx而言,由于y′的变化而受到影响的部分只有以下两项:Zdx+Z′dx=(Z+Z′)dx(2)欧拉记dZ=Mdx+Ndy+Pdp,dZ′=M′dx+N′dy′+P′dp′9(3)然后他将(3)中的这些微分解释为当y′增加nv时,Z,Z′,x,y,y′,p,p′所发生的变化。由(1)知:dp=nv/dx,dp′=(-1)nv/dxx,y的变化为010,因此由(3)得dΖ=Ρ⋅nv/dxdΖ′=Ν′⋅nv-Ρ′⋅nv/dx(4)dZ=P⋅nv/dxdZ′=N′⋅nv−P′⋅nv/dx(4)从而积分∫Zdx的变化为:(dZ+dZ′)dx=(P·nv/dx+N′·nv-P′·nv/dx)dx=nv·(P+N′dx-P′)这个表达式一定等于0。欧拉令P′-P=dP,用N代替N′,从而得到Ndx-dP=0,即N-dP/dx=0(5)这就是已给极值曲线az所满足的基本微分方程11。1.2[][]]在《技巧》第3章的命题Ⅲ中,欧拉转向了一类更复杂的问题,这类问题在《技巧》中占据着中心地位。问题:在所有平面曲线y=y(x)中,寻求一条曲线,使积分∫Zdx(从A到Z积分)取极值,其中Z是x,y,p=dy/dx以及一个新变量∏的一个函数12,∏由条件∏=∫[Z]dx给出,其中[Z]是x,y,p的一个函数,积分∫[Z]dx表示[Z]从A到M(其横坐标为x)的积分13(图1)。对于这类问题,欧拉的基本思路与第一类问题大致相同,只不过他把计算积分∫Zdx的变化(由y′增加nv时所导致的)的过程分成了以下两步(,158—160页):第一步,计算当纵坐标y′增加nv时,导致∏,∏′,∏″,…所发生的变化,其中∏=∫[Ζ]dx∏´=∏+[Ζ]dx‚∏˝=∏+[Ζ]dx+[Ζ′]dx‚∏‴=∏+[Ζ]dx+[Ζ′]dx+[Ζ″]dx‚⋯⋯(6)这里的∏,∏′,∏″,∏ue087,…分别表示[Z]从x=0到x=x,x=x′,x=x″,x=xue087,…的积分。由于d[Z]=[M]dx+[N]dy+[P]dp当y′增加nv时,y′,p,p′的变化分别为dy′=nv,dp=nv/dx,dp′=-nv/dx因而[Z],[Z′],[Z″],…的变化如下:d.[Ζ]dx=[Ρ]⋅nvdxdx=nv⋅dx([Ρ]dx)d.[Ζ′]dx=[Ν′]⋅nvdx-[Ρ′]⋅nvdxdx=nv⋅dx([Ν′]-[Ρ′]dx)d.[Ζ″]dx=d.[Ζ‴]dx=⋯=0(7)由(6)、(7)知∏,∏′,∏″,∏ue087,…的变化为:Zd.∏=0d.∏´=nv⋅dx([Ρ]dx)d.∏˝=nv⋅dx([Ρ]dx)+nv⋅dx([Ν′]-[Ρ′]dx)=nv⋅dx([Ν′]-d[Ρ]dx)d.∏˝=d.∏‴=d.∏(4)=⋯(8)其中d[P]=[P′]-[P]。第二步,计算当y′增加nv时,积分∫Zdx所发生的总变化。欧拉将积分改写为∫MAZdx+Zdx+Z′dx+…14由于dZ=Mdx+Ndy+Pdp+Ld∏.,如在第一类问题中那样,由y′,p,p′的变化所导致的积分∫Zdx的变化为:nv·dx(Ν-dΡdx)(9)当y′增加nv时,所有的量∏,∏′,∏″,∏ue087,…都发生了变化,由于这些量的变化而产生的积分∫Zdx的相应变化为:Ldx·d∏+L′dx·d∏′+L″dx·d∏″+…(10)将(8)式给出的d∏,d∏′,d∏″,…的值代入(10)式得:nv·dx(L′[P])+nv·dx([Ν′]-d[Ρ]dx)(L″dx+L‴dx+L(4)dx+⋯)(11)欧拉用L,[N]代替L′,[N′],并令L″dx+Lue087dx+L4dx+…=H-∫Ldx,其中H是L从A到Z的积分(即H=∫a0Ldx,∫Ldx=∫x0Ldx),将其代入(11)得:nv⋅dx(Η-∫Ldx)([Ν]-d[Ρ]dx)+nv⋅dx(L[Ρ])(12)由于d(∫Ldx)=Ldx,所以(12)就可写为:nv⋅dx([Ν](Η-∫Ldx)-d([Ρ](Η-∫Ldx))dx)(13)将(13)和(9)式相加,即得积分∫Zdx的总变化,令此表达式等于0,由此他得到了该问题的基本方程:2拉格朗日乘子法2e拉格朗日在1755年8月的信中,首先简单地描述了他所发现的新方法,接着用此方法讨论并解答了《技巧》中的一些基本问题。他的方法是在当时的微积分学中引进符号δ及其演算。他用符号δ表示另一种形式的微分,δ不仅可以作用在诸如F(y)这样的函数上,还可以作用在积分∫Zdx上。他假定x关于δ是恒定不变的,即δx=0;δy表示在这种极大或极小问题中,纵坐标y的变化,但不同于通常的微分dy;量δF(y)表示当y增加δy时,F(y)的增量(F是y的一个函数)。他断言如下交换法则成立:dδF(y)=δdF(y)(15-a)一般地δdmF(y)=dmδF(y)(15-b)特殊地dδy=δdy(15-c)δ∫Z=∫δZ(16)接下来拉格朗日列出了如下一些关系式,而这些关系式均可由分部积分法得到:∫zdu=zu-∫udz(17)∫zd2u=zdu-udz+∫ud2z(18)∫zd3u=zd2u-dzdu+ud2z-∫ud3z(19)∫u∫z=∫u×∫z-∫z∫u(20)他令∫u=H,H-∫u=V,从而(20)为:∫u∫z=∫Vz(21)积分(17)、(18)、(19)均是从x的初始值(不妨设为x=0)到末值(不妨设为x=a)进行积分;在关系式H-∫u=V中,H是u从这个初始值到x=a的积分,而∫u是u从这个初值到x=ξ(0<ξ<a)的积分,因而(20)、(21)用现在的记号写出来就是:∫a0u(ξ)dξ∫ξ0z(x)dx=∫a0u(x)dx×∫a0z(x)dx-∫a0z(ξ)dξ∫ξ0u(x)dx,(20′)∫a0udξ∫ξ0zdx=∫a0Vzdx(21′)给出上述规则和关系式之后,拉格朗日接着考察了《技巧》中的基本问题。2.1由积分区间相关的算法求解拉格朗日设Z是x,dx,y,dy,d2y,…的函数,于是被积函数Z的微分为:dZ=Mdx+Ndy+Pd2y+Qd3y+Rd4y+…(22)据此他写出δZ=Nδy+Pδdy+Qδd2y+Rδd3y+…(23)由(16),并且积分(23)(不妨设积分区间为[0,a])得:δ∫Z=∫Nδy+∫Pδdy+∫Qδd2y+…(24)由(15-a)、(15-b)、(15-c),交换d和δ的次序,运用公式(17)、(18)、(19)得:δ∫Z=∫Nδy+Pδy-∫dPδy+Qdδy-dQδy+∫d2Qδy-…(25)因而δ∫Z=∫(N-dP+d2Q-…)δy+(P-dQ+…)δy+(Q-…)dδy+…(26)拉格朗日假定:当x=a时,有δy=dδy=d2δy=…=0,同时他还隐含地认为这些量在x=0处也等于0。因而(26)就变为δ∫Z=∫(N-dP+d2Q-…)δy(27)此时拉格朗日断言由“通常的极大或极小方法”就可得到:N-dP+d2Q-…=0(28)如果Z只是x,dx,y,dy的函数,(28)就变为N-dP=0(29)这就是前面介绍的第一个问题的基本方程。2.2拉格朗日公式设Z是x,dx,y,dy,d2y,…和一个附加变量π的函数,而π由边条件π=∫(Z)(从x=0到x=x的积分)给出,其中(Z)是x,dx,y,dy,d2y,…的一个函数,由于ZdΖ=Ldπ+Μdx+Νdy+Ρd2y+Qd3y+⋯d(Ζ)=(Μ)dx+(Ν)dy+(Ρ)d2y+(Q)d3y+⋯(30)拉格朗日据此写出:δΖ=Lδπ+Νδy+Ρδdy+Qδd2y+⋯δ(Ζ)=(Ν)δy+(Ρ)δdy+(Q)δd2y+⋯δπ=∫(Ν)δy+∫Ρδdy+⋯此式中的各项积分为从x=0到x=x的积分。(31)因而δ∫Z=∫Nδy+∫Pdδy+∫Qd2δy+…+∫L∫(N)δy+∫L∫(P)dδy+…(32)令H为L从x=0到x=a的积分,他记H-∫L=V,其中∫L为L从x=0到x积分。运用(21)变换(32)得:δ∫Z=∫[N+(N)V]δy+∫[P+(P)V]dδy+∫[Q+(Q)V]d2δy+…(33)拉格朗日按照从(24)推(27)相同的步骤由(33)推出如下方程:N+(N)V-d[P+(P)V]+d2[Q+(Q)V]-…=015(34)如果Z和(Z)中不含高于一阶的微分,(34)就变为:N+(N)V-d[P+(P)V]=0(35)这就是前面介绍的欧拉第二个问题的基本方程。这里需要说明的一点是,在《技巧》中,将Z看成是x,y,p,…的函数(其中p=dy/dx),而拉格朗日在信中,将Z看作是x,dx,y,dy,d2y,…的函数。欧拉改变p的地方,拉格朗日改变dy。按照18世纪莱布尼茨形式微积分的演算程序,如果y是x的某个函数,那么在所有的计算中,dx将保持恒定不变。因而当拉格朗日说x关于δ恒定不变(即δx=0)时,其实意味着dx是常数,若将此常数看作单位1,则拉格朗日的结果(29)和(35)与欧拉的结果(5)和(14)完全一致。3拉格朗日对乌拉法的形态转变3.1拉格朗日算法思想的体现基于前面的考察,我们发现欧拉方法和拉格朗日方法之间存在着很大差别,主要表现在以下几方面:(1)欧拉的方法依赖于几何直观,其出发点和推导过程中的每一步都烙有几何的印迹,具有明显的几何解释;而拉格朗日的方法是纯分析的,他通过引进符号δ及其运算规则,摆脱了对几何直观的依赖,使得整个推导过程变成了一种形式的、“遵照一致而正规的程序的代数[分析]运算”(,373页)。(2)欧拉只要求极值曲线上一点处的纵坐标发生改变,以期获得比较曲线;而拉格朗日则通过δ的形式演算实现了极值曲线上所有纵坐标的同时改变,即实现了整条曲线的变分,从而开创了一般意义上的变分。(3)欧拉的方法较为繁复,特别是当考察被积函数中含有高阶微商的情形时尤为如此,同时还包含了粗糙的极限过程[如在推导(5)时,用N代替N′;从(11)推导(12)时,用L,[N]分别代替L′,[N′],用H-∫xALdx代替L″dx+Lue087dx+L4dx+…等];而拉格朗日的方法是在一些运算规则基础上所进行的公式推演,显得简捷、优美、更具一般性,同时为诸如处理变动端点等问题提供了方便16,因而是对欧拉方法的极大改进和推广。(4)如果从现代的观点看,欧拉的方法蕴含着把变分问题化为普通函数极值问题的思想,从而把变分问题与熟知的普通函数极值问题联系了起来;而拉格朗日的方法孕育着将普通函数极值理论籍以建立的概念——微分,推广到更广泛意义的函数——泛函上去的思想,从而使变分法的发展走上了一条与传统不同的路线。当然,拉格朗日的方法还有许多不成熟的方面:如没有对δ的含义进行严格阐述;未对运算法则(15-a)、(15-b)、(15-c)、(16)提供证明;没有给出从(27)到(28)、(33)到(34)的合理解释等等。但瑕不掩瑜,从上面的比较可以看出,变分法从欧拉到拉格朗日的过渡,包含和体现了重大的革新和发展。3.2拉格朗日关于假设d的分析现在来分析拉格朗日为什么要变革欧拉的方法、为什么会提出δ-算法以及他是如何获得这一算法的。在信中,拉格朗日声称他之所以从事这项研究,主要受《技巧》第2章39段中所作评论的启发和激励。欧拉的评论为:因而需要一种方法,这种方法不受几何的约束,而且运用这种方法时,显然在这种极大或极小问题的研究中,应该最终将Pdp用-pdP来代替。(,56页)其含义就是:如果dZ=Mdx+Ndy+Pdp,令Mdx=0,Ndy不变,将Pdp写成-pdP,那么方程Ndy-pdP=0就是使积分∫Zdx取极值的曲线所应满足的方程。毫无疑问,这段话中所含的挑战的确给拉格朗日留下了深刻的印象,并且为拉格朗日的研究树立了目标、明确了方向。然而仅凭这段话并不足以全面解释拉格朗日是如何得到他的新方法的。如果我们对欧拉和拉格朗日各自的推导过程进行仔细地考究和分析,就能发现一些非常重要的线索,循着这些线索,我们可以窥视到拉格朗日改造欧拉方法的真实情景。欧拉在推导变分问题基本方程的过程中,在符号的使用方面存在一个明显的缺陷(至少在当时看来),这就是符号d的双重含义和混用。一方面,d用来表示当时传统意义上的微分,即微分dx保持恒定不变,任何其他量的微分就等于这个量在x和x+dx两点的值之差,这种演算方法在18世纪初期莱布尼茨形式的分析学中经常使用,并且在当时广为接受和采用。另一方面d也用来表示当纵坐标y发生变化时,y自身以及导致其他量的变化,为了简便起见,我们不妨将这种意义下的d称为新型“微分”。欧拉在推导第一类变分问题基本方程时,在(5)及其获得(5)的最后一步中,他用d来表示传统意义下的微分。而对于(3)式,欧拉在书写这个表达式时,其中的d也表示传统意义下的微分,但是当他转而考虑由纵坐标y′增加nv所导致的其他量的变化时,符号d的含义发生了变化,他将(3)中出现的微分dZ、dZ′、dx、dy、dp、dy′、dp′看成是量Z、Z′、x,y,p,y′,p′的变化,而这种变化是当纵坐标y′增加nv时所产生的,因而此时d就表示这种新型“微分”,从而“微分”dy′,dp,dp′分别等于nv,nv/dx,-nv/dx,而“微分”dx,dy等均为0,并有(4)成立,且(4)中dZ、dZ′表示这种新型“微分”,而dx则表示传统意义下自变量的微分。同样,在欧拉推导第二类变分问题的基本方程(14)的过程中,我们也能看出符号d的这种双重含义和混用:在计算由y′增加nv所导致的[Z]和Π的变化时,用符号d表示这种新型“微分”,如(7)中的d.[Z]、d.[Z′]、d.[Z″]等和(8)中的d.∏、d.∏′、d.∏″等;而在诸如(14)这样的方程中,用符号d表示那种传统意义下的微分。事实上,欧拉在这一问题中已对符号d的双重用法有所体察,因此他令d[Z]=[M]dx+[N]dy+[P]dp,而将由y′增加nv时所导致的[Z]的变化记为d.[Z],然而他在考虑方程(8)和(10)时,并没有做到前后一致。那么,拉格朗日在研究《技巧》一书的过程中,是否注意到欧拉在符号d的运用上的这种缺陷呢?笔者认为答案是肯定的。因为拉格朗日在信的开始部分就很明确地表示:他引进记号δ是为了“区分另一种形式的变化”(,140页),并且在其1760年的第一篇关于变分法的论文中,他这样写道:……由于这种方法17要求同样的量以两种不同的方式变化,为了不致引起混淆,我在计算中引进了一种新的标记δ,这样,δZ表示Z的差,这种差不同于dZ……这说明他一定注意到了欧拉在符号d的使用上的这种双重含义和混用现象,由此萌发了用一个新符号δ来表示另一类型的“微分”的想法。笔者认为这种想法正是拉格朗日改进欧拉方法的切入点,以此为突破口,拉格朗日通过符号处理和形式化的代数推演,发明了δ-算法,从而完成了摆脱几何直观和简化计算的目标。如果细致地探究拉格朗日的推导过程,我们会发现他这种形式化改造的一些明显痕迹。如他对δx=0的规定、根据(22)写出(23)、根据(30)写出(31)。又如他对交换法则(15-a)、(15-b)、(15-c)、(16)等没有给出证明,而只是提到了欧拉1734年的论文。事实上,欧拉在这篇论文中得到的是如下结果:设z是a和x的函数,如果先将a固定,对z微分得Pdx,然后让x固定,微分Pdx得Bdxda;接着他又将x固定,微分z得Qda,再让a固定,微分Qda得Cdadx,则B=C。18为了证明这个结果,欧拉首先考察了三个量:e=z(x+dx,a),f=z(x,a+da),g=z(x+dx,a+da)接着就断言:Pdx=e-z,Bdxda=(g-f)-(e-z)(g-f是在e-z中将a用a+da代换而得到的);类似地,Qda=f-z,Cdadx=(g-e)-(f-z)因而B=C。由此我们不难看出拉格朗日将符号δ与d及其运算规则进行类比的这种鲜明的形式化处理手法。再如,从(27)到(28)的推导过程,拉格朗日声称由“通常的极大或极小方法”就可以由(27)推得(28),而通常的普通函数的极大或极小方法就是将极值问题归结为df=0(其中f是一元或多元函数),如果与此进行类比19,就可得到δ∫Z=