陕西省西安市高三（上）期末联考数学试卷（理科）【含答案】

陕西省西安市高三（上）期末联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（）A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2] D．[1，2]2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则＝（）A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i≠3．（5分）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：m、n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1﹣an，则S5＝（）A． B． C． D．5．（5分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是（）A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加 B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多 C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元．6．（5分）已知直线是函数f（x）＝与的图象的一条对称轴，为了得到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度7．（5分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．8．（5分）若a＝log0.50.2，b＝log52，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a9．（5分）若点在抛物线C：y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为B，则＝（）A．﹣10 B． C．﹣3 D．10．（5分）已知在区间[0，π]上，函数y＝3sin与函数y＝的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P'，P′的横坐标为x0，则tanx0的值为（）A． B． C． D．11．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A． B． C． D．212．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）ex﹣e（e为自然对数底数），若关于x的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知为互相垂直的单位向量，若，则＝．14．（5分）已知函数f（x）＝x3+2x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是；15．（5分）数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为．16．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D﹣ABC，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有．①三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为；②三棱锥D﹣ABC的外接球体积不变；③三棱锥D﹣ABC的体积最大值时，二面角D﹣AC﹣B的大小是60°；④异面直线AB与CD所成角的最大值为90°．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝acosC+．（1）求角A；（2）若＝3，求a的最小值．18．（12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算．为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率1不超过1500元的部分3%1不超过3000元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%2超过3000元至12000元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%3超过12000元至25000元的部分20%………………（1）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图．（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；（ⅱ）同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？19．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：AB⊥PD；（2）若PA＝PD＝AB，∠APD＝90°，设Q为PB中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆E：的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线x﹣my﹣4＝0与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足（O为坐标原点）．当t≥1时，求的最小值．21．（12分）已知函数，a为常数）在（0，2）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1+x2＜2（1+lna）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为ρsin（）＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣a|x+2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）≥x恒成立，求a的取值范围．参考答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．1．（5分）集合M＝{x|lgx＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（）A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2] D．[1，2]【分析】求出M与N中不等式的解集分别确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：lgx＞0＝lg1，解得：x＞1，即M＝（1，+∞），由N中不等式x2≤4，解得：﹣2≤x≤2，∴N＝[﹣2，2]，则M∩N＝（1，2]，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设复数z满足（1+i）z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则＝（）A．﹣i B．i C．﹣2i D．2i≠【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z＝1﹣i，得z＝，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：m、n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】由不等式的性质有a＞|b|，则a＞|b|≥0，则a2＞b2，即命题p为真命题，由平面中的线面，线线关系有m、n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，即命题q是假命题，故得解．【解答】解：由a＞|b|，则a＞|b|≥0，则a2＞b2，即命题p为真命题，m、n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，即命题q是假命题，即p∧￢q为真命题，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质及平面中的线面，线线关系，属简单题．4．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1﹣an，则S5＝（）A． B． C． D．【分析】利用数列的递推关系式，求出数列是等比数列，然后求解前5项的和．【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1﹣an，可得Sn﹣1＝1﹣an﹣1，可得2an＝an﹣1，所以数列是等比数列，公比为，首项为：，所以S5＝＝．故选：D．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力，是中档题．5．（5分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是（）A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加 B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多 C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元．【分析】根据图象所给数据，对四个选项逐一进行分析得答案．【解答】解：对于A，由图象可知，投资额逐年增加，故A正确；对于B，2000年至2004年的投资总额为11+19+25+35+37＝127亿元，小于2011年的129亿元，故B正确；对于C，2004年的投资额为37亿元，2012年该地区基础设施的投资额为148，等于2004年的投资额翻了两番，故C正确；对于D，在线性回归模型中，取t＝10，可得y＝99+17.5×10＝274亿元，故D错误．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．6．（5分）已知直线是函数f（x）＝与的图象的一条对称轴，为了得到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【分析】由三角函数图象的性质可得：y＝f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+），由三角函数图象的平移可得：为了得到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，得解．【解答】解：令2x+φ＝k，由x＝是此方程的一个解，则φ＝kπ+，又|φ|＜，所以φ＝，即y＝f（x）＝sin（2x+）＝sin2（x+），所以为了得到函数y＝f（x）的图象，可把函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，故选：C．【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数图象的平移，属中档题．7．（5分）函数的图象大致为（）A． B． C． D．【分析】由x→﹣∞时，→+∞，排除C，D；再由导数研究函数的单调性即可求得答案．【解答】解：当x→﹣∞时，→+∞，由此排除C，D；当x＞0时，f（x）＝lnx+，f′（x）＝，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴图象A符合．故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8．（5分）若a＝log0.50.2，b＝log52，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，0＝log51＜b＝log52＜＝，＝0.51＜c＝0.50.2＜0.50＝1，∴a＞c＞b．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若点在抛物线C：y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为B，则＝（）A．﹣10 B． C．﹣3 D．【分析】把A点坐标代入抛物线方程求得p，由直线过抛物线焦点，可得B的横坐标及xA•xB，yA•yB，再由数量积的坐标运算求解．【解答】解：把代入y2＝2px，得8＝4p，即p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x，抛物线焦点F（1，0），∵AB过抛物线焦点F，∴，．∵xA＝2，，则＝（xA﹣1，yA）•（xB﹣1，yB）＝（xA﹣1）（xB﹣1）+yA•yB＝xA•xB+yA•yB﹣（xA+xB）+1＝．故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．10．（5分）已知在区间[0，π]上，函数y＝3sin与函数y＝的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P'，P′的横坐标为x0，则tanx0的值为（）A． B． C． D．【分析】由结合平方关系求得sinx，cosx的值，则答案可求．【解答】解：∵过P作PP'⊥x轴于点P'，直线PP'与y＝tanx的图象交于点P0，线段P'P0的长即为点P'点的纵坐标的值即tanx0的值，且其中的x满足，则2sinx+9cosx＝7，又sin2x+cos2x＝1，且x∈[0，π]，解得sinx＝，cosx＝，线段P'P0的长为tanx0＝，故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象、函数值的求法，考查计算能力，数形结合思想，是中档题．11．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A． B． C． D．2【分析】设F1P＝m，F2P＝n，F1F2＝2c，由余弦定理4c2＝m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，由此能求出结果．【解答】解：设F1P＝m，F2P＝n，F1F2＝2c，由余弦定理得（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°，即4c2＝m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，∴m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+＝0，a1＝3a2，e1•e2＝•＝＝1，解得e2＝．故选：A．【点评】本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．12．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）ex﹣e（e为自然对数底数），若关于x的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A． B． C． D．【分析】若不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则y＝m（x﹣1）的图象在y＝g（x）图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出g（x）的最小值，分别画出y＝g（x）与y＝m（x﹣1）的图象，结合图象可得．【解答】解：f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）ex﹣e＞0，∴m（x﹣1）＞（x﹣2）ex+e＝0，设y＝g（x）＝（x﹣2）ex+e，∴g′（x）＝（x﹣1）ex，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）≥g（1）＝0，当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞，f（x）→e，函数y＝m（x﹣1）恒过点（1，0），分别画出y＝g（x）与y＝m（x﹣1）的图象，如图所示，，若不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则y＝m（x﹣1）的图象在y＝g（x）图象的上方只有一个正整数值，∴2m≤g（3）＝e3+e，∴m≤，故实数m的最大值为，故选：A．【点评】本题考查了函数图象及单调性，导数的应用，转化思想、数形结合思想，是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知为互相垂直的单位向量，若，则＝﹣．【分析】根据平面向量的数量积求夹角的余弦值即可．【解答】解：由为互相垂直的单位向量，则•＝0，且||＝||＝1；又，则＝＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的余弦值问题，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝x3+2x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是；【分析】利用导数判断函数的单调性，由定义得到函数为奇函数，把原不等式转化为关于a的一元二次不等式求解．【解答】解：由f（x）＝x3+2x，得f′（x）＝3x2+2＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，由f（﹣x）＝（﹣x）3+2（﹣x）＝﹣x3﹣2x＝﹣（x3+2x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，由f（a﹣1）+f（2a2）≤0，得f（a﹣1）≤﹣f（2a2）＝f（﹣2a2），则a﹣1≤﹣2a2，即2a2+a﹣1≤0，解得：﹣1．∴实数a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性的判定及应用，考查化归与转化思想方法，是中档题．15．（5分）数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为．【分析】由a1＝1，a4+λa10+a16＝15，可得2+18d+λ（1+9d）＝15，解得：d＝，λ≠﹣2．根据公差d∈[1，2]，即可得出实数λ的最大值．【解答】解：∵a1＝1，a4+λa10+a16＝15，∴2+18d+λ（1+9d）＝15，解得：d＝，λ≠﹣2．∵公差d∈[1，2]，∴1≤≤2，解得：≤λ≤．则实数λ的最大值为﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D﹣ABC，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有②④．①三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为；②三棱锥D﹣ABC的外接球体积不变；③三棱锥D﹣ABC的体积最大值时，二面角D﹣AC﹣B的大小是60°；④异面直线AB与CD所成角的最大值为90°．【分析】直接利用翻折问题的应用和面面垂直的应用和体积公式的应用和异面直线的夹角的应用求出结果．【解答】解：矩形ABCD，AB＝1，将△ADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D﹣ABC，则在翻折的过程中，①VD﹣ABC＝S△ABC•h，当平面ADC⊥平面ABC时，三棱锥D﹣ABC的高最大，此时三棱锥D﹣ABC的体积VD﹣ABC＝××1××＝，所以三棱锥的体积的最大值为，故错误；②设AC的中点为O，则由Rt△ABC，Rt△ADC知：OA＝OB＝OC＝OD，所以O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，其半径为AC＝1，所以外接球的体积为π，三棱锥D﹣ABC的外接球体积不变，故正确．③三棱锥D﹣ABC的体积最大值时，当平面ADC⊥平面ABC时，二面角D﹣AC﹣B的大小是90°，故错误．④当△ACD沿对角线AC进行翻折到使点D与点B的距离为，即BD＝时，在△BCD中，BC2＝BD2+CD2，所以CD⊥BD，又CD⊥AD，翻折后的垂直关系没有变，所以CD⊥平面ABD，即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°，故正确．故答案为：②④．【点评】本题考查的知识要点：翻折问题的应用，体积公式的应用，异面直线的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝acosC+．（1）求角A；（2）若＝3，求a的最小值．【分析】（1）由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC＝sinC，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，推导出cosAsinC＝sinC，由此能求出角A．（2）推导出bc＝6，从而a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣6≥2bc﹣6＝6，由此能求出a的最小值．【解答】解：（1）∵△ABC中，b﹣acosC＝，∴由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC＝sinC，∵A+B+C＝π，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC＝sinC，∴cosAsinC＝sinC，∴cosA＝，∴A＝．（2）由（1）及＝3，得bc＝6，∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣6≥2bc﹣6＝6，当且仅当b＝c时取等号，∴a的最小值为．【点评】本题考查角的求法，考查实数的最小值的求法，考查正弦定理、三角函数、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算．为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额3500元免征额5000元级数全月应纳税所得额税率级数全月应纳税所得额税率1不超过1500元的部分3%1不超过3000元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%2超过3000元至12000元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%3超过12000元至25000元的部分20%………………（1）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图．（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；（ⅱ）同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？【分析】（1）先计算出税前收入，再根据税率求税后实际收入；（2）（i）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为x千元，则有0.12×2+0.16（x﹣5）＝0.5，解得x＝6.625（千元）（ii）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为0.24×0+0.32×30+0.2×90+0.12×290+0.08×490+0.04×690＝129.2【解答】解（1）设小李9月份的税前收入为x元，因为295＜345所以按调整起征点前应缴纳个税为：1500×3%+（x﹣5000）×10%＝295，……（1分）解得x＝7500…………（2分）按调整起征点后应缴纳个税为：（7500﹣5000）×3%＝75…………（3分）调整后小李的实际收入是7500﹣75＝7425（元）…………（4分）（2）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为x千元，则有0.12×2+0.16（x﹣5）＝0.5，解得x＝6.625（千元）…………（7分）估计该公司员工收入的中位数为6625千元．…………（8分）（ⅱ）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为0.24×0+0.32×30+0.2×90+0.12×290+0.08×490+0.04×690＝129.2（元）………（11分）估计小李所在的公司员工平均纳税129.2元…………（12分）【点评】本题考查了频率分布直方图，属中档题．19．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：AB⊥PD；（2）若PA＝PD＝AB，∠APD＝90°，设Q为PB中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．【分析】（1）先根据平面PAD⊥平面ABCD得到AB⊥面PAD；进而证明结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量以及平面的法向量即可求出结论．【解答】解：（1）证明：依题意，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∵AB⊆面ABC，面PAD∩面ABCD＝AD，∴AB⊥面PAD．又PD⫋面PA，∴AB⊥PD；（2）在△PAD中，取AD中点，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，∴PO⊥面ABCD，以O为坐标原点，分别以OA所在直线为X轴，过点O且平行于AB的直线为Y轴，OP所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，不妨设PA＝2，∵∠APD＝90°，∴AD＝2∴P（0，0，），B（，2，0），C（﹣，2，0），A（，0，0），Q（，1，）；∴＝（，2，﹣），＝（﹣2，0，0），＝（，﹣1，﹣）；设面PBC法向量为＝（x，y，z），则；所以；解得：＝（0，1，）．设直线AQ与平面PBC所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝．因为θ∈（0，]，∴cosθ＝＝＝．所以直线AQ与平面PBC所成角的余弦值．【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，线面角的求法，其中利用向量法，可以降低本题的难度，但要选择合适的原点，建立恰当的坐标系．20．（12分）已知椭圆E：的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线x﹣my﹣4＝0与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足（O为坐标原点）．当t≥1时，求的最小值．【分析】（Ⅰ）由离心率及四边形的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，＝+＝（t﹣2），可得．进而写出P的坐标，P在椭圆上求出m的范围，进而求出的表达式，由均值不等式求出它的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，．以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则，解得a2＝4，b2＝2．所以椭圆E的方程为．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立方程得（m2+2）y2+8my+12＝0，△＝64m2﹣96＞0⇒m2＞6，，，因为，即，所以．所以点，又点P在椭圆C上，所以有，化简得，所以，化简，因为t≥1，所以6＜m2≤30，因为，又，，所以．令m2+2＝s（s∈（8，32]），则，当s＝32时，取得最小值，最小值为．【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．21．（12分）已知函数，a为常数）在（0，2）内有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1+x2＜2（1+lna）．【分析】（Ⅰ）推导出x＞0，f′（x）＝，设h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，则y＝h（x）在（0，2）上存在两个零点，由h′（x）＝ex﹣1﹣a，由此能求出实数a的取值范围．（Ⅱ）令H（x）＝h（x）﹣h（2+2lna﹣x），0＜x＜1+lna，则H′（x）＝h′（x）+h′（2+2lna﹣x）＝≥0，从而H（x）在（0，1+lna）上递增，进而H（x）＜H（1+lna）＝0，由此能证明x1+x2＜2（1+lna）．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，a为常数），∴x＞0，f′（x）＝，设h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，由题意知y＝h（x）在（0，2）上存在两个零点，∵h′（x）＝ex﹣1﹣a，∴当a≤0时，h′（x）＞0，则h（x）在（0，2）上递增，h（x）至多有一个零点，不合题意．当a＞0时，由h′（x）＝0，得x＝1+lna．（i）若1+lna＜2且h（2）＞0，即1＜a＜时，h（x）在（0，1+lna）上递减，在（1+lna，2）上递增，则h（x）min＝h（1+lna）＝﹣alna＜0，且h（2）＞0，h（0）＝，∴h（x）在（0，1+lna）和（1+lna，2）上各有一个零点，∴h（x）在（0，2）上存在两个零点．（ii）若1+lna＞2，即a＞e时，h（x）在（0，2）上递减，h（x）至多一个零点，舍去．（iii）若1+lna＜2，且h（2）≤0，即时，此时h（x）在（0，1+lna）上有一个零点，而在（1+lna，2）上没有零点，舍去．综上，1．即实数a的取值范围是（1，）．证明：（Ⅱ）令H（x）＝h（x）﹣h（2+2lna﹣x），0＜x＜1+lna，则H′（x）＝h′（x）+h′（2+2lna﹣x）＝ex﹣1﹣a+e2+2lna﹣x﹣1﹣a＝≥2a﹣2a＝0，∴H（x）在（0，1+lna）上递增，从而H（x）＜H（1+lna）＝0，∴h（x）﹣h（2+2lna﹣x）＜0，∴h（x1）﹣h（x+2lna﹣x1）＜0，∵h（x1）＝h（x2），且h（x）在（1+lna，2）递增，∴h（x2）＜h（2+2lna﹣x1）＜0，∴x2＜2+2lna﹣x1，∴x1+x2＜2（1+lna）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证