重难专题05 全等三角形的压轴题（解析版）

重难专题05全等三角形的压轴题（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则；（2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）作于M，于N，证明，，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．【详解】解：如图：∵，∴，∴，∴，∵，∴；

如图：∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴；故答案为：或．

（2）作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，同理，，∴，∵，∴，，．

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）【分析】（1）首先根据高的意义得出，，再结合已知条件可得到，据此得出结论；（2）首先根据高的意义及（1）的结论可得出，然后再结合已知条件可得出，据此可证明和全等，进而可得出结论；（3）首先根据四边形的面积的面积面积可得出，过点作交的延长线于点，再证和全等，从而得，由（2）可知，据此可得，然后根据可求出的长，进而可得出的长．【详解】（1）证明：是中边上的高，，，，，，即：；（2）证明：由（1）知：，，，，，又∵，，即：，，即：，∵，，在和中，，，；（3）解：∵是中边上的高，，，，∵，，，即：，，由（2）知：，，，过点作交的延长线于点，则，由（1）知：，，，由（2）知：，即：，在和中，，，，由（2）知：，，，

∵，，即：，，．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算公式等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与技巧，理解全等三角形的性质，难点是在解答（3）时，过点作交的延长线于点，从而构成全等三角形．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且．(1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系；(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求．【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；（2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题；（3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题．【详解】（1）证明：如图1，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；（2）证明：（2）如图2，过F点作于D点，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴＝2，∴＝，∵∴＝，∴E点为中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，设，则∴，

当点E在线段BC上时，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，设，则∴．综上所述：或．【点拨】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且．(1)求证：；(2)点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E作，，垂足分别是H，K，得，再根据三角形全等的判定，证明即可得结论．（2）作辅助线，在线段上截取，连接EG1，先证明，得，，再证明，得，再推导得出结论．【详解】（1）（1）证明：作，，垂足分别是H，K，如图．

∵是的平分线，∴．∵，∴．∴．记与的交点为P，∴．∴．（2）（2）．证明：在线段上截取，连接EG1，如图．

∵是的平分线，∴．∵，∴．∵，∴．∴，．∵，∴，．∴．∴．∵．∴．∴．∵，∴．【点拨】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角）【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________．【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关系?试探究，并说明理由【分析】（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，证明，得出，根据，得出；（2）过点E作于点P，过点B作于点Q，证明，得出，同理得：，证明，求出，证明，得出；（3）延长，在延长线上截取，连接、，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即．【详解】解：（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，如图所示：

则，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：．（2）成立；理由如下：过点E作于点P，过点B作于点Q，如图所示：

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理得：，∴，∴，

∵，，∴，∴，∴M为中点．（3），．理由如下：延长，在延长线上截取，连接、，如图所示：

∵M为的中点，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，

∴，∵，，∴，即，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，

∴，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，平行线的判定和性质，垂线定义理解，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．【初步探索】(1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．【详解】（1）解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；（2）仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，又，，，，，，，；（3）．证明：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，又，，，，，，，，，，，即，．【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．1．阅读理解在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______；类比应用如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由；拓展创新如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．【答案】阅读理解：类比应用：拓展创新：【分析】阅读理解：由全等的性质推出，再根据，可得结论．类比应用：延长，交于点F，先证得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案．拓展创新：延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论．【详解】阅读理解：由题可知，，∴．∵，．∴，∴，∴．故答案为：．类比应用：．理由如下：如图1，延长，交于点．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分线，∴，∴，∴．∵，∴．拓展创新：如图2，延长，交于点．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分线，∴，∴，∴．∵，∴．故答案为：．【点拨】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线构造全等三角形是解题的关键．2．如图，在和中，，，，的延长线交于点．(1)求证：．(2)过点作于点，求证：．(3)若，，，求的度数．(4)过点作于点，试写出，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)(4)，理由见解析【分析】（1）只需要利用证明，即可证明；（2）利用证明即可证明；（3）利用三角形内角和定理结合求出，，则，由全等三角形的性质得到，即可利用三角形内角和定理得到，则；（4）如图所示，过点A作于M，连接，先证明，得到，再证明，得到，即可证明．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）证明：∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：设，则，∴，∵，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（4）解：，理由如下：如图所示，过点A作于M，连接，∵，，∴（全等三角形对应边上的高相等），又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．3．问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系；(2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立.问题拓展(3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示）【答案】(1)；(2)见解析；(3)．【分析】（1）如图2，由，得易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；（2）成立，如图，将绕点C旋转交于点M，得求得，结合（1）易证，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接可知，得，，结合（1）易证得、，结合易证得，利用等量代换即可求解．【详解】（1）解：如图2，在和中，，，，和是等边三角形，，即，，，，又，，，，即，，即；（2）成立，如图，将绕点C旋转交于点M，，，，由（1）可知，，，又，，，，又，是等边三角形，，，即；（3）如图，将绕点C旋转交的延长线于点N，连接，，，，，，由（1）可知，，，又，，，又，，，，，，，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的证明和性质；解题的关键是做辅助线构造全等．4．已知是四边形内一点，且，，是的中点.(1)如图，连接，，若，求证：；(2)如图，连接，若，求证：；(3)如图，若，，垂足为，求证：点，，在同一条直线上.【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；延长到点，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，并能得出：，则可得出结论；连接，并延长到，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论.【详解】（1）证明：在和中，，（SSS），，，；（2）证明：延长到点，使，连接，是的中点，，在和中，，（SAS），，，，，，，，在和中，，（SSS），，，，；（3）证明：连接，并延长到，使，连接，由得，，，，在和中，，（SAS），，，，，，点在同一条直线上．【点拨】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是善于构造全等并熟练掌握三角形全等的判定与性质．5．在直角三角形中，，直线过点．(1)当时，①如图1，分别过点和作直线于点，直线于点．求证：；②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于，连接．求证：．(2)当cm，cm时，如图3，点与点关于直线对称，连接、．点从点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为，点以每秒3cm的速度沿路径运动，终点为，分别过点、作直线于点，直线于点，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，求的值．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)3.5或5或6.5【分析】（1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可；②根据对称的性质得到，根据全等得到，，结合线段的和差可得结论；（2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可．【详解】（1）解：①证明：，，直线，，，在和中，，；②证明：点与点关于直线对称，，，，，，；（2）由题意得，cm，由（1）得，，，当时，，当点沿路径运动时，，解得，，不合题意，当点沿路径运动时，，解得，，当点沿路径运动时，，解得，，当点沿路径运动时，，解得，，综上所述，当或5或6.5时，．【点拨】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．6．如图①，在中，AB=12cm，BC=20cm，过点作射线．点从点出发，以4cm/s的速度沿匀速移动；点从点出发，以acm/s的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为t(s)．(1)点、从移动开始到停止，所用时间为s；(2)当与全等时，①若点、的移动速度相同，求的值；②若点、的移动速度不同，求的值；(3)如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以3cm/s的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)5(2)①；②(3)存在，的值为2.5或【分析】（1）根据时间计算即可．（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可．②当，时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：点的运动时间（秒，故答案为：5；（2）解：①点、的移动速度相同，，，，当时，与全等，则有，解得．②点、的移动速度不同，，当，时，两个三角形全等，运动时间，，满足题意．（3）解：若点、的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时．若点、的移动速度相同，则，，或，解得（舍弃）或，综上所述，满足条件的的值为2.5或．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：；(2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：；(3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请求出的值．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证；（2）如图2，过点E作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果；（3）当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N，由，设则，分别，利用全等的性质求出，最后利用三角形面积公式计算即可．【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，又∵,∴，（2）证明：如图2，过点E作，∵，，∴，∴，∴，又∵,，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：如图，点D在直线上时，连接交直线于M，，交的延长线于N，设，则∵，，，∴，∴，又∵,，∴，∴，又∵，∴，【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算．8．在中，平分，平分，和交于点，其中令，．(1)【计算求值】如图1，①如果，则______；②如果，则______．(2)【猜想证明】如图2请你根据（1）中【计算求值】的心得猜想写出与的关系式为______，并请你说明你的猜想的正确性．(3)【解决问题】如图3，某校园内有一个如图2所示的三角形的小花园，花园中有两条小路，和为三角形的角平分线，交点为点，在处建有一个自动浇水器，需要在边取一处接水口，经过测量得知，米，米，请你求出水管至少要多长？（结果取整数）【答案】(1)①115°；②80°；(2)y=90°+x；理由见详解；(3)至少要71米．【分析】（1）如图1，根据三角形的内角和定理由∠BAC=50°可求得∠ABC+∠ACB=130°，再根据角平分线的定义得∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，从而可求得∠DBC+∠ECB=，于是可求得y的值，②先由三角形的内角和定理求得∠OBC+∠OCB=50°，再由BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，求得∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=100°，从而即可求得x；（2）如图2，用三角形的内角和求得∠ABC+∠ACB=180°-x，再角平分线求得∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，于是可得∠DBC+∠ECB=(180°-x)=90°-x，最后利用三角形的内角和即可得y=90°+x，（3）如图3，在BC_上取点M和N，使BM=BE，CN=DC，先证明△BEO≌△BMO，△ODC≌△ONC，得∠BOM=∠BOE，∠NOC=∠DOC，OM=OE，ON=OD，从而由∠BAC=120°，得∠OBC+∠OCB=，于是有∠BOM=∠NOC=30°，计算∠MON=90°，从而得S△OMN=（米2），于是即可利用面积求得OF的最小值．【详解】（1）解∶如图1，∵x=50°即∠BAC=50°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=130°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠DBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=，∵∠BOC+∠DBC+∠ECB=180°，∴y=∠BOC=180°-65°=115°，故答案为∶115°；②∵y=130°