A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法

:..全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法2,2023:..手拉手模型要点一:手拉手模型特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点结论:1△≌△2∠α+∠=1803平分∠变形:与,连结与,证明12与之间的夹角为603平分变式精练1:如图两个等边三角形与,连结与,证明12与之间的夹角为603与的交点设为,平分变式精练2:如图两个等边三角形与,连结与,证明12与之间的夹角为60:..3与的交点设为,平分例2:如图,两个正方形与,连结,,二者相交于点问:1是否成立2是否与相等34与之间的夹角为多少度56是否平分7例3:如图两个等腰直角三角形与,连结,,二者相交于点问:1是否成立2是否与相等3与之间的夹角为多少度4是否平分例4:两个等腰三角形与,其中,,,连结与,问:1是否成立2是否与相等3与之间的夹角为多少度:..4是否平分例5:如图,,分别以、为边在直线的同侧作等边三角形△、△、,与所在直线相交于,、与之间的数量关系,并证明你的结论。

【练1】如图,三角形和三角形都是等边三角形,点,,,同在一条直线上,且角=62,求角的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明:凡是消失中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的:将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用帮助线添加方法——倍长中线△中方式1:延长到,是边中线使=,连接方式2:间接倍长作⊥于,延长到,作⊥的延长线于使=,连接连接1【例1】已知:中,:.2【练1】在△中,5,9,则边上的中线的长的取值范围是什么【练2】如图所示,在的边上取两点、,使,连接、,求证:.:..【练3】如图,在等腰三角形中,=,是上一点,是延长线上的一点,且=,:=倍长中线、截长补短【例2】如图,已知在中,是边上的中线,是上一点,延长交于,,求证:.【练1】如图,已知在中,是边上的中线,是上一点,且,延长交于,求证:【练2】如图,在△中,,为边的中点,为∠的平分线,过作的平行线,交于,:=.【练3】如图,在中,交于点,点是中点,∥交的延长线于点,交于点,若,求证:为的角平分线.【练4】如图所示,已知中,平分,、分别在、,:∥【例3】已知为的中线,,的平分线分别交于、:.【练1】在中,是斜边的中点,、分别在边、上,满意90.若3,4,则线段的长度为_________.【练2】如图,△中,=2,平分且⊥,则∠=______.【练3】在中,点为的中点,点、分别为、上的点,且.1若90,以线段、为边能否构成一个三角形若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形12222,求证22【例4】如图,等腰直角与等腰直角,为中点,连接、、的关系.证角相等方法【练1】如图,两个正方形和,点为的中点,.证角相等方法【练2】如图,在中,,,:2【例5】如图所示,在中,,延长到,使,为的中点,连接、,求证2.【练1】已知中,,为的延长线,且,为:2:..【练2】如图,、分别是钝角△和锐角△中线,且=,∠=∠=2.【例16】如图,两个正方形和,点为的中点,.倍长中线与手拉手模型综合应用【练1】已知:如图,正方形和正方形,点是线段的中点.⑴试说明线段与数量关系和关系.⑵如图,若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数90,其他条件不变,上述结论还正确吗若正确,请你证明;若不正确,请说明理由.★全等之截长补短:人教八班级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特别方法把长边截成两个短边或把两个短边放到一起;消失角平分线进行翻折;有详细角的度数说明要求角的度数,进而得到角相等,全等【例10】如图所示,中,900,450,平分交于。

求证:=+。

【练1】如图所示,在中,600,的角平分线、相交于点。

求证:+=。

【练2】已知中,60,、分别平分和,、交于点,试推断、、的数量关系,【练2】如图,在四边形中,∥,平分∠:..交于点,连接,且⊥,求证:=+.【练3】已知:如图,在△中,∠=90,=,是∠的平分线。

求证:=+.【练4】点,在等边三角形的边上运动,=,∠=120,∠=60,求证=+【例11】已知如图所示,在△中,是角平分线,且=+,试说明∠=2∠不只是边,倍角也适用【练1】如图,在△中,=,⊥:∠=∠【例12】如图所示,已知12,为上一点,且于,+=2,求证:1800。

1【练1】如图,在四边形中,,=,2平分,求证:1800【例13】如图所示,在中,=,900,,垂直于的延长线于。

求证:=2。

【练1】已知:如图示,在△中,∠=90,∠=2∠,是∠:=2.【练2】如图所示,在中,900,为的0平分线,=30,于点,求证:-=2。

:..【练3】正方形,是上一点,,交∠的平分线于点,求证=【练4】已知在△中,=,在上,在的延长线上,交于,且=,求证:=【例14】如图所示,已知,探求、和之间有何数量关系【练5】在四边形中,∥,为边的中点,∠=∠,与的延长线相交于点。

摸索究线段与、之间的数量关系,并证明你的结论【例15】如图在△中,,∠1=∠2,为上任意一点,求证:--12【练1】已知为的中线,,的平分线分别交于、:,是的平分线上一点,,,垂足为、。

求证:1=;2=。

构造等边三角形1、如图,已知△中,=,是延长线上一点,∠=60,是上一点,且有=:=+.:..2、在等腰中,,顶角20,在边上取点,使,求、如图,在△中,∠=90,平分∠,⊥于,假如=3,那么+等于、2、3、4、5练2、在△和△中,=,=,点,分别是,的中点,且=,证眀:.倍长中线练3、如图,在△中,是∠的角平分线,⊥,垂足为,求证:∠2=∠1+∠练4、如图1,已知△中,∠=90,=,是过的一条直线,且、在、的异侧,⊥于,⊥于1试说明:=+.2若直线绕点旋转到图2位置时,其余条件不变,问与、的关系如何请直接写出结果;3若直线绕点旋转到图3位置时,其余条件不变,问与、的关系如何请直接写出结果,,在△中,=,∠=90,有过的任一条直线,⊥于,⊥于,求证:=-.思路:截长补短法:..如图,在△中,=,是三角形外一点,且∠=60,+=:∠=60.截长补短1、如图,等腰直角与等腰直角,为中点,连接、、的关系.帮助线的连法都一样2、已知:如图,正方形和正方形,点是线段的中点.⑴试说明线段与数量关系和关系.帮助线的连法都一样⑵如图,若将上题中正方形绕点顺时针旋转度数90,其他条件不变,上述结论还正确吗若正确,请你证明;若不正确,、已知为的中线,,的平分线分别交于、:.帮助线的连法都一样【阅读理解】已知:如图1,等腰直角三角形中,∠=90,是角平分线,:=+证明:如图1,在上截取=,连接,则由已知条件易知:△≌△∴∠=∠=90,=又∵∠=45,∴△是等腰直角三角形.∴=.∴=+=+.【解决问题】已知,如图2,等腰直角三角形中,∠=90,是∠的平分线,交边于点,⊥,垂足为,若=2,则三角形的周长为.:..【数学思索】:现将原题中的“是内角平分线,交边于点”换成“是外角平