2023-2024学年贵州省兴义市高三上学期第八次月考数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年贵州省兴义市高三上学期第八次月考数学质量检测模拟试题一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足，则（

）A． B． C． D．3．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．4．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（

）（参考数据）A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟5．（）A．2 B． C．－2 D．－56．已知x，y为实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．8．设函数，则（

）A．是偶函数，在上单调递减 B．是奇函数，在上单调递增C．是偶函数，在上单调递增 D．是奇函数，在上单调递增9．《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为(古制：步尺，里丈尺步)A．步 B．步 C．步 D．步10．设是偶函数的导数，，当时，，则使成立的取值范围是（

）A． B．C． D．11．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．12．，则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．曲线在处的切线方程为．14．若，则．15．.16．已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：①函数的图象关于原点对称；②在区间上，的最大值为；③是的一条对称轴；④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．其中正确的有．三、解答题（17题10分，18-22题每小题12分，共70分）17．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）直线上的M到极点O的距离是，求点M的极坐标；（2）设直线与相交于两点，求四边形的面积18．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准重量是500g，为了了解这些白糖的实际重量，称量出各袋白糖的实际重量（单位：g）如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510（1）求这10袋白糖的平均重量和标准差s；（2）从这10袋中任取2袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在（s，s）的概率是多少？（附：5.08，16.06，5.09，16.09）19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．问题：在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．(1)求角C；(2)若，求的取值范围．20．已知函数，是的一个极值点．（1）求的单调区间；（2）若时，使成立，求实数的取值范围．21．设函数．（1）当时，若函数的最大值为，求函数的最小正周期；（2）若函数在区间内不存在零点，求正实数的取值范围．22．已知函数，，．(1)当，时，求证：；(2)若恒成立，求的最大值．答案和解析1．D【分析】根据集合含义知，集合为的值域，集合为的定义域，化简集合与集合后根据集合交集运算法则运算即可.【详解】因为集合，所以，因为，所以令得，所以.所以.故选:D2．D【分析】令，由题设易得求x、y，进而可求.【详解】若，则，∴，，即，∴.故选：D3．B【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积．【详解】解：扇形的圆心角为，弧长为，扇形的半径，扇形的面积．故选：B．4．B【分析】根据题意写出不等式，再解不等式，即可得到答案；【详解】由题意知，，解得，所以.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.故选：B.5．B【分析】利用两角差正切公式，即可得到结果.【详解】.故选：B.6．A【分析】由，结合充分条件与必要条件的定义判断即可．【详解】因为，所以，所以时，，所以“”是“”的充分条件，当时，如，则不成立，所以“”不是“”的必要条件.故选：A.7．A【分析】由正切函数定义得，应用二倍角公式和“”的代换后化所求代数式为关于、的二次齐次式，然后弦化切后可求值．【详解】在直线上任取一点，则，所以原式，故选：A．本题考查三角函数的定义、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性．8．B【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质直接判断单调递增，判断B正确；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，排除D即可.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称.又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故B正确；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D错误.故选：B方法点睛：1、定义法判定函数奇偶性的一般步骤：（1）判断函数定义域关于原点对称；（2）计算，并与进行比较；（3）根据函数奇偶性的定义判断得出结论.2、复合函数单调性的判断方法为先将函数拆分为和，分别判断单调性，遵循“同增异减”的法则进行判断即可.9．A【分析】根据平行线分线段成比例和可得到，从而构造出关于的方程，求出；再根据可求得.【详解】

，又

，即解得：步又

步本题正确选项：本题考查解三角形实际应用中的高度测量类的问题，关键是能够利用平行线分线段成比例构造方程，求得基线的长度.10．B【分析】构造函数，利用导数得到，在是减函数，再根据为偶函数，根据，解得的解集．【详解】令，，时，,在上是减函数，为偶函数，为奇函数,在上单调递减,，所以,因此，,因此使得成立的的取值范围是,故选：B.11．C【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可.【详解】解：令、，则、，在同一坐标系中分别绘出函数、、的图像，因为函数的零点为，函数的零点为，所以，，解方程组，因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称，则，，，A、B、D错误，因为，所以在上单调递增，因为，，所以，因为点在直线上，所以，，故C正确，故选：C．关键点睛：函数零点转化为两个函数交点的形式利用数形结合思想进行求解是解题的关键．12．A【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.【详解】令，则，，，而且，即时单调增，时单调减，又，∴，.若有两个解，则，，即，，令，则，即在上递增，∴，即在上，，若即，故，有∴当时，，故，综上.故选：A关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.13．【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】，则当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.故答案为.14．由于，可得，然后由诱导公式可得，最后写出结果即可.【详解】，，.故答案为.关键点点睛：本题的解题关键是由角的关系得出，进而利用诱导公式进行计算.15．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分．【详解】因为故答案为2π．本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.16．②④【分析】根据题意得函数得最小正周期，即可求出，利用待定系数法求出，再根据正弦函数的图象和性质逐一判断即可.【详解】由题意可得，故，则，又，即，则，所以，又，所以，所以，对于①，，图象不关于原点对称，故①错误；对于②，由，得，所以的最大值为，即的最大值为，故②正确；对于③，因为，所以不是的对称轴，故③错误；对于④，由题意可得，由，得，所以，，当为奇数时，，当为偶数时，，则面积的最小值为，故④正确.故②④.方法点睛：根据三角函数或的部分图象或性质求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.17．（1）；（2）.【分析】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程中，可求出，即可求出点的极坐标；（2）先求出圆及直线的直角坐标方程，进而求出点和原点O到直线的距离，及弦长，即可求出四边形的面积.【详解】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程，可得，因为，所以，所以点M的极坐标为；（2）把圆的方程化为普通方程得：，圆心，半径为2，把直线的方程化为直角坐标方程得：，如图，设圆心到直线的距离为，则，设原点到直线的距离为，则，，所以，所以四边形的面积.18．（1）501，5.08；（2）.（1）根据提供的数据，利用平均数和方差公式求解.（2）根据（1）的结合，算出重量在（s，s）内的袋数和不在内的袋数，然后得出从10袋中选2袋的方法数和恰有一袋的方法数，再利用古典概型的概率公式求解.【详解】（1）根据题意，10袋白糖的实际重量如下：503，502，496，499，491，498，506，504，501，510，则其平均重量（503+502+496+499+491+498+506+504+501+510）＝500（3+2﹣4﹣1﹣9﹣2+6+4+1+10）＝501，其方差S2[（503﹣501）2+（502﹣501）2+（496﹣501）2+（499﹣501）2+（491﹣501）2+（498﹣501）2+（506﹣501）2+（504﹣501）2+（501﹣501）2+（510﹣501）2]＝25.8；则其标准差s5.08；（2）根据题意，由（1）的结论，10袋白糖在（s，s）之间的有503，502，496，499，498，506，504，501，共8袋，从10袋白糖中任取两袋，有C102＝45种取法，其中恰有一袋的重量不在（s，s）的情况有8×2＝16种，则恰有一袋的重量不在（s，s）的概率P．本题主要考查了平均数，方差及古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．(1)(2)【分析】（1）若选①：利用正弦定理边角转化和两角和的正弦公式，即可求出答案；若选②：利用正弦定理边角转化和余弦定理，即可求出答案；若选③：若由三角形的面积和余弦定理，即可求出答案；（2）利用正弦定理表示出，求出的范围，利用三角函数求出最值.【详解】（1）若选①：，则，∴，∴∵，，∴，∵，∴．若选②：，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴．若选③：，所以，由正弦定理得，∴，∵，∴．（2）若，由正弦定理可得：，所以，因为是锐角三角形，所以，即，解得：，，所以，.即的取值范围为.20．（1）单调递增区间为，，递减区间为；（2）．【分析】（1）求导，把极值点代入导函数求解，并验证即可；（2）若时，使成立，即成立，只需用导数法求出最大值即可求解【详解】（1）．∵是的一个极值点，∴是方程的一个根，解得．令，则，解得或．∴函数的单调递增区间为，，递减区间为．（2）∵当时，时，∴在上单调递减，在上单调递增．而，，且，∴是在区间上的最大值，且，若时，使成立，只需，即，解得．21．（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函数的恒等变换的公式，以及正弦型函数的性质，求得函数的解析式，即可求得函数的最小正周期，得到答案；（2）（2）由于函数，根据函数在区间内不存在零点，得到，列出不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，因为函数的最大值为，可得，即，解得，解得，又因为，所以，所以函数，故函数的最小正周期为.（2）由于函数，因为函数在区间内不存在零点，则，即，则，由于，所以且，又因为，所以或，所以正实数的取值范围．本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正弦型函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转换能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.22．(1)证明见解析；(2)．【分析】(1)讨论的单调区间及单调性，求出的最小值，作差比较即得；(2)分类讨论确定a>0，不等式等价转化为，构建函数并求其最大值，进而计算出ab，并再求函数最大值而得.【详解】(1)证明：当，时，，，所以，，所以当时，；当时，，在上