类型六、多项式与多项式的几何应用（解析版）

类型六、多项式与多项式的几何应用【解惑】方法：，数形结合，多项式与多项式的乘积可以把它拼成一个正方形，由此给它分割成小的正方形和长方形，而形成的正方形和长方形的面积组成就是多项式乘积的代数式。【融会贯通】1．有足够多张如图所示的类、类正方形卡片和类长方形卡片，若要拼一个长为、宽为的大长方形，则需要类卡片的张数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：，需要类卡片5张，2．利用图形的分、和、移、补，探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：设小正方形的边长为x，∴矩形的长为，宽为，由图1可得：，整理得：，∵，，∴，∴，∴矩形面积为．3．如图，长方形中，，放入两个边长都为4的正方形，正方形及一个边长为8的正方形，，分别表示对应阴影部分的面积，若，则长方形的周长是（

）A．36 B．40 C．44 D．48【答案】B【详解】解：设，，则，，，，∵，∴，整理得，∴，则长方形的周长是40，4．如图1，已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝16，把边长为的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上；将另一长方形BEFG放入图1中得到图2，已知BE＝14，BG＝b，若长方形PQMF的面积为2，阴影部分的面积是（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】A【详解】解：如图2，PQ=EF-EM=b-（4-b）=2b-4,QM=QN-MN=b-（16-14）=b-2,∵长方形PQMF的面积为2，∴（2b-4）（b-2）=2，（2-b）2=1，∴2-b=±1，∵∴b=3，∴如图2中阴影部分的面积=长方形AGPH的面积+长方形ECNM的面积=（16-3）×（4-3）+(16-14)×(4-3)=13+2=15．5．在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当AD-AB=2时，的值是（

）A．2a B．2b C． D．2a-2b【答案】C【详解】解：由图可得，由图1得：，由图2得：，====，∵ADAB=2，∴原式=，即=，6．如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：S1=(a+b)2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，∵，∴2ab=8(ab-a2)，∴2ab=8ab-8a2∴b=4b-4a∴4a=3b，7．如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设小正方形的边长为x，则a+x=b+2x，解得，x=a-b，空白部分面积与未被覆盖的阴影部分面积的差为：=原式=8．某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为acm的正方形纸板制作出如图所示的无盖长方体盒子，制作过程如下：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚线折合起来．则该无盖长方体盒子的体积可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意得，这个长方体的底面是边长为（a-2b）的正方形，高为b，所以体积为（a-2b）（a-2b）×b=b（a-2b）2（cm3），9．如图，用大小不同的9个长方形拼成一个大长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是（

）A．ab+3a+b+3 B．ab+a+3b+3 C．ab+4a+b+4 D．ab+a+4b+4【答案】B【详解】解：由平移可知，图中阴影部分的长为（a+3），宽为（b+1），则图中阴影部分的面积是（a+3）（b+1）=ab+a+3b+3．10．八张如图所示的长为a，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在矩形中，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足的关系式为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，由题意可知：DE=a，BF=5b，∵AD=BC，∴EH+3b=a+GF，∴EH-GF=a-3b，S=DE×EH-BF×FG=a×（FG+a-3b）-5b×FG=（a-5b）FG+a2-3ab∵S始终保持不变，∴a-5b=0，即a=5b，【知不足】11．用如图所示的，，类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则，，类卡片一共需要___________张．【答案】10【详解】解：由题可知：，，类卡片的面积分别为，，，长方形的长为，宽为，长方形的面积：，，，类卡片一共需要张，12．如图，将边长为的小正方形与边长为的大正方形放在一起，则的面积是______．【答案】【详解】解：由题意知，，13．已知有甲、乙两个图形，等边三角形是三角形的高，线段长如图所示，长方形边长如图所示，记的面积和长方形的面积分别为、，且请比较与的大小：___________．（用“>”、“<”、“=”填空）【答案】>【详解】解：∵为等边三角形，∴，，，，∵，∴，∴，∴，14．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要A类卡片______张，B类卡片______张，C类卡片______张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称）【答案】

2

1

3；图见解析（答案不唯一）【详解】解：长为，宽为的矩形面积为：，A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为，则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．15．如图，是一张工程设计图纸，上面作了相应的标识．（图中长度单位：cm）（1）用式子表示图中阴影部分的面积___________；（2）当时，图中阴影部分的面积为___________；【答案】

44【详解】解：（1）=，（2）当x=3时，==44，16．现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形．如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠地放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外.若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为_______．【答案】42【详解】解：∵图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，∴ab=80，b[b-（a-b）]=b（2b-a）=48，解得a=10，b=8，∴图2中阴影部分的面积为10×10+8×8-10×10÷2-（10+8）×8÷2=42．17．如图，在大长方形ABCD中放入5张相同的小长方形（图中空白部分）．若大长方形的周长是48，图中阴影部分的面积是78，则一张小长方形的面积是___________．【答案】12.5【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，则得阴影部分的面积=即18．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为5的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为，长方形ABCD的面积记为，已知：，则长方形ABCD的周长为______．【答案】30【详解】解：设KF=a，FL=b，由图可知EK=BH=LJ=GD=5-a，KH=EB=GL=DJ=5-b，∴=2（5-a）(5-b)+ab=25-5a-5b+3ab，=（5+5-b）(5+5-a)=100-10a-10b+ab，∵，∴3（100-10a-10b+ab）-（25-5a-5b+3ab）=150，整理得a+b=5，∴长方形ABCD的周长为2（AB+BC）=2(5+5-b+5+5-a)=30，19．如图，长方形的长为，宽为，横向阴影部分为长方形，另一阴影部分为平行四边形，它们的宽都为，则空白部分的面积是___．【答案】【详解】解：原图形可化为图1，将阴影部分平移得到图2，所以空白部分的面积为：．20．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是______．【答案】【详解】如图所示，对需要的交点标注字母：，，，∴，，∵，∴，化简得：，∴，【一览众山小】21．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割为8小块，除阴影A、B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为acm．(1)从图可知，每个小长方形较长一边长是_____cm（用含a的代数式表示；(2)求图中两块阴影A、B的周长和（可以用x的代数式表示）；(3)若cm时用含x的代数式分别表示阴影A、B的面积，并比较A，B的面积大小．【答案】(1)(2)4x(3)，，【详解】（1）解：由图可知：每个小长方形较长一边长是．（2）解：由图可知：的长的宽cm，的宽的长cm，∴、的周长和（的长的宽）(的长的宽)（的长的宽）(的长的宽)cm；（3）解：，，，，．22．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题：(1)用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：____________；方法二：____________．(2)写出图2中所表示的数学等式：____________．(3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值．【答案】(1)；(2)=(3)【详解】（1）方法一：方法二：

（2）因为方法一和方法二表示同一个长方形的面积，因此可=故答案为：=（3）根据（2）中所的结论=得=把代入得

解得23．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)图3中给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长分别为，的长方形纸片．请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到关于的数学等式.【答案】(1)(2)(3)见解析【详解】（1）根据题意，大矩形的面积为：，各小矩形部分的面积之和，∴等式为，（2）∵∵，∴．（3）∵如图所示：24．如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，其中，，且．(1)图1中阴影部分的面积为．（用代数式表示）(2)如图2，分别连接，试比较的面积与的面积的大小，并说明理由．(3)求图2中阴影部分的面积，写出解题过程．（用代数式表示）【答案】(1)(2)，理由见详解(3)【详解】（1）解：根据图示可知，，∴阴影部分的面积为：，（2）解：根据图示可知，，，，，，∵，∴．（3）解：，，，∴阴影部分的面积为，即，∴阴影部分的面积为．25．“数形结合百般好”．在代数式的学习过程中我们可以结合图形理解相关公式的产生，如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：．请结合以上知识，解答下列问题：(1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式；(2)根据图3得到的结论，解决下列问题：若，，求代数式的值；(3)小明同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为的长方形，求代数式的值．【答案】(1)(2)26(3)55【详解】（1）拼成的大长方形面积之和，各个小图形面积之和，∴图2所表示的数学等式是．（2）图（3）中大正方形的面积＝，各个小图形面积之和＝∴．∵，．∴，即，∴．（3）大长方形的面积为：，∵小图形的面积分别为，∴．∴．26．我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．【I】如图，请你用“数形结合”的思想．(1)求的值为；(2)请你利用（1）结论，求下列各式的值：①=；②计算：【II】将若干个同样大小的小长方形纸片拼成如图形状的大长方形（小长方形纸片宽为a，长为b），请你仔细观察图形，解答下列问题：(3)a和b之间的关系满足．(4)图中阴影部分的面积与大长方形面积的比值是．(5)请你仔细观察图中的一个阴影部分，根据面积的不同表示方法，请你写出与，三个代数式之间的等量关系；(6)应用：根据探索中的等量关系，解决如下问题：，，求的值．【答案】(1)(2)；(3)(4)(5)(6)11或【详解】（1）解：（2）①分析得：．②分析得：．（3）由大长方形的长的不同拼图可得，即，（4）由于，大长方形的长为，宽为，因此面积为；阴影部分的面积为；因此其比值为，（5）如图，阴影正方形的边长为，因此面积为，正方形ABCD的边长为，因此面积为，四个小矩形的面积为，因此有，（6）∵，，∴，∵，∴或．27．阅读材料并解答问题：我们已经知道，公式可以用平面图形面积来表示．为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形组合如图3所示的网格．他发现图1中阴影部分的面积可以用来表示代数恒等式．(1)请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式：________；(2)仿照图2，请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示；(3)图4的矩形面积能表示：，（p，q为正整数）直接写出m的值______．【答案】(1)(2)图见解析(3)25，14，11，10【详解】（1）解：由矩形的面积公式可得：通过数正方形和长方形的面积可得矩形的面积为：则．（2）解：如图：画出长为，宽为的矩形即为所求．（3）解：∵∴∴、∵p，q为正整数∴或或或∴10，11，14，25．28．如图，正方形ABCD与正方形ECGF的边长分别为a，b．(1)分别写出△BGF与△DEF的面积：（用含a，b的代数式表示）(2)求图中阴影部分的面积；(3)若a＝2不变，当b的取值分别是4和6时，阴影部分的面积是否会发生变化？若b取任意一个正数呢？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出阴影部分的面积．【答案】(1)△BGF的面积为ba+，△DEF的面积为(2)(3)阴影部分的面积不会发生变化，当a=2时，=2（1）解：在正方形ABCD与正方形ECGF中，∠A=∠E=∠G=90°，AD=AB=BC=CD=a，CE=EF=FG=CG=b，∵BG=a+b，DE=b-a，∴=FG•BG=b（a+b）=ba+，，∴△BGF的面积为ba+，△DEF的面积为；（2）解：=；（3）解：由（2）可知，=，∴阴影的面积与b的值无关，当b的取值分别是4和6时，阴影部分的面积不会发生变化，若b取任意一个正数，阴影部分的面积不会发生变化，当a=2时，===2．29．（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为的正方形，请用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积，为常数）①因式的积的形式：；②关于的二次多项式的形式：；由①与②，可以得到一个等式：．（2）由（1）的结果进行应用：若对的任何值都成立，求，的值（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为的正方体挖去一