专题03 二次函数图像与系数关系的三种考法（解析版）（人教版）

专题03二次函数图像与系数关系的三种考法类型一、函数图像与a，b，c关系例．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断③，根据时，y的值的正负可判断④．【详解】∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴①正确；∵抛物线与x轴相交于点，，∴抛物线的对称轴为，，，∴②正确；观察图像可知当时，，∴③正确；由得，时，，由图知，时，，∴，

∴④错误．综上，正确的有3个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形结合思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键．【变式训练1】已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（

）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】D【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，，，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，∴，，，∴，∴，故①不符合题意；∵对称轴为直线，∴当与时的函数值相等，∴，故②符合题意；∵当时函数值最大，∴，∴；故③不符合题意；∵点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴．故④符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．【变式训练2】如图，已知抛物线与直线交于和两点，现有以下结论：①；②；③；④当时，；⑤当时，，其中正确的序号是（

）

A．①②⑤ B．①③④ C．②③④ D．②③⑤【答案】C【分析】根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴大于0，得出，即可判断①；由抛物线与轴无交点，可得，判断②；当时，，即可判断③；当时，二次函数值小于一次函数值，可得来求解④；把和两点代入求出抛物线解析式，进而求出抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象限内和第三象限内来求解⑤．【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴大于0，得出，∴，故①不正确；∵抛物线与x轴无交点，∴，故②正确；当时，，即，故③正确；∵当时，二次函数值小于一次函数值，∴，∴，故④正确；把和两点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为，当时，，，抛物线和双曲线的交点坐标为，∴当时，或，故⑤不正确．综上所述，正确的有②③④．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，二次函数与反比例函数图象综合，注意掌握数形结合思想的应用，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【变式训练3】如图，二次函数的图像关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的对称性即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点有两个即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断④．【详解】解：∵对称轴为直线，，∴，①正确，∵=1，∴，∴，∵，∴，②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴，∴，即④错误．故选C．【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系、二次函数图像的性质等知识点，掌握数形结合思想以及二次函数图像与系数的关系是解答本题的关键．【变式训练4】如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论：①；②；③；④若m为任意实数，则，其中正确的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向，判定；对称轴的位置，判定；抛物线与y轴的交点，判定，从而判定；根据对称轴是直线，确定；根据，得，求出点B的坐标，从而得到，确定，可以判定②③；计算函数的最小值为：，从而得到，代入化简，判定④．【详解】解：因为抛物线的开口方向，所以；因为对称轴是直线，所以，；因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，所以，所以；故①错误；因为，

所以，，所以，即，所以，所以，所以，即②正确；所以，即③正确；根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：，所以，所以，所以，所以，④正确．故选B．【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．类型二、二次函数与一次函数关系例．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）

B．

C．

D．

【答案】D【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函数系数对比，即可得到答案．【详解】解：A选项中，开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴，，而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，∴A选项不符合题意；B选项中，开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴，，而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，∴B选项不符合题意；C选项中，开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴，，而函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴，，∴C选项不符合题意；D选项中，开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴，，而函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴，，∴D选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的性质，从而完成求解．【变式训练1】一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的的符合，即可求解．【详解】解：A.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；B.一次函数中，二次函数中，，符合题意；C.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；D.一次函数中，二次函数中，，矛盾，不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．【变式训练2】函数与的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据一次函数图象与系数的关系，二次函数图象和系数的关系进行判断；【详解】解：当时，，二次函数开口向上，当时一次函数过一，二，四象限，当时一次函数过二，三，四象限；当时，，二次函数开口向下，当时一次函数过一，二，三象限，当时一次函数过一，三，四象限．所以B正确．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象，二次函数的图象，熟练掌握函数的性质是解题的关键【变式训练3】在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是(

)A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案.【详解】解：二次函数为，，二次函数的开口方向向上，排除C选项.一次函数，，一次函数经过轴正半轴，排除A选项.当时，则，一次函数经过一、二、四象限，二次函数经过轴正半轴，排除B选项.当时，则，一次函数经过一、二、三象限，二次函数经过轴负半轴，D选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.【变式训练4】函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可．【详解】解：∵，∴经过一、三象限；当时，二次函数开口向上，与y轴的交点在负半轴上，当时，二次函数开口向下，与y轴的交点在正半轴上，∴只有选项C符合题意；故选：C．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．类型三、二次函数与反比例函数例．已知二次函数的图像如图，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据二次函数图像与系数的关系，确定二次函数中系数的符号，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，二次函数中，，对称轴，∴，∴，∵二次函数与轴有交点，∴，从图像可知时，二次函数，∴一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数的图像经过第二、四象限，∴选项，一次函数图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；选项，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意；选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数，反比例函数图像的综合，掌握二次函数图像、一次函数图像、反比例函数图像与系数的关系是解题的关键．【变式训练1】若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴，∴∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴，∴直线经过第一，三，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象可能是（

）

A．B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数图象可得，根据反比例函数可得，据此即可求解．【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限，∴，∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴，∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴交于负半轴，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解题的关键．【变式训练3】如图，二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据可知，二次函数图象与y轴交点为时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即，时结合二次函数中a，b同号对称轴在y轴左侧，a，b异号对称轴在y轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．【详解】解：①当时，二次函数开口向上，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；②当时，二次函数开口向下，过原点，对称轴在y轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限，观察图象可知只有D符合，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a的取值确定二次函数以及反比例函数的图象．【变式训练4】如图，一次函数和反比例函数图像，则二次函数的图像可能是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．【详解】解：观察图象可得：，二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交点在负半轴，则二次函数的图象可能是

，故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的性质是解本题的关键．课后训练1．已知抛物线经过点和，下列结论：①；②；③当时，抛物线与x轴必有一个交点在点的右侧；④抛物线的对称轴为．其中结论正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】把点代入抛物线的解析式即可确定①，根据的值的情况即可确定②，根据抛物线的对称轴和即可确定③，根据抛物线的对称轴的公式即可确定④．从而可得答案.【详解】解：把点代入中，得：，故①正确，由，得，即a＝，②错误，当时，抛物线开口向下，而，∴抛物线的对称轴，又∵抛物线经过，∴另一个交点到y轴的距离大于1，∴抛物线与x轴必有一个交点在的右侧，∴③正确，④正确，正确的为①③④，共个故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．2．某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（

）①；②；③；④．

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①函数的对称轴在轴右侧，则，抛物线与轴交于负半轴，则，则，故①正确；②函数的对称轴为，函数和轴的一个交点是，则另外一个交点为，当时，，故②错误；③函数的对称轴为，即，故③错误；④由②③得，，，故，而抛物线开口向上，则，即，故，故④正确；故选：B．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键．3．某足球队在某次训练中，一队员在距离球门处挑射，正好射中了高的球门横梁．若足球运动的路线是抛物线，如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】C【分析】根据二次函数的性质得出a，b的符号，再利用图上点的坐标得出a，b关系，进一步即可作出判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，即，∴，，由抛物线过点，，代入得：，，得，而，解得：，故此选项①正确，②错误；，∵，∴，∴无法判断与0的大小关系，故③错误；由图象可知，抛物线的对称轴的横坐标小于6即，∵，∴，∴，故此选项④正确；综上可知，①④正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出图象上的点进而得出a，b的关系是解决问题的关键．4．如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据一次函数图象确定，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即可得到答案．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴，∴，∴二次函数的图象的开口向上，∵二次函数的对称轴为直线，∴二次函数的对称轴在y轴左侧，∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出是解题的关键．5．二次函数（）的图象如图所示，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次函数的图象可得：，，，可得一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，从而可得答案．【详解】解：由二次函数的图象可得：，，，∴一次函数的图象经过一，三，四象限，的图象在二，四象限，∴B，C，D不符合题意，A符合题意；故选A【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．6．如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是填序号．

【答案】②③⑤【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，据此可判断①；根据图当时所对应点的位置可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤．【详解】解：