重难专题01 全等三角形的倍长中线模型（原卷版）

重难专题01全等三角形的倍长中线模型如图，在中，为边上的中线．(1)按要求作图：延长到点E，使；连接．(2)求证：．(3)求证：．(4)若，，求的取值范围．【分析】（1）根据题目中语言描述画出图形即可；（2）直接利用证明即可；（3）根据，得，从而得出，再根据三角形三边关系即可得出，即可得出结论；（4）根据三角形三边关系得，又由，，，，代入即可求解．【详解】（1）解：如图所示，

（2）证明：如图，

∵为边上的中线，∴，在和中，，∴．（3）证明：如图，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．（4）在中，，由（3）得，，∵，，∴，∴，∴．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形三边的关系是解题的关键．“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，是的中线，延长到，使，连接，构造出和．求证：．【分析】由是的中线，可得，再由，，即可证明．【详解】证明：如图所示：

，是的中线，，在和中，，．【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键．如图，在中，是边上的中线．延长到点，使，连接．(1)求证：；(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得；(2)由，可得，，据此即可解答；(3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答．【详解】（1）证明：是BC边上的中线，，在与中，；（2）解：，，，，故答案为：，；（3）解：证明：，，，，在和中，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）延长至，使，连接，证明，根据三角形三边关系即可求解；（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，证明在中，由三角形的三边关系得，即可得证；（3）延长至点，使，连接，证明，，根据求的三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示：∵是边上的中线，∴，在和中，∴，∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴，即，∴；故答案为：；（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示同（1）得，，，，，在中，由三角形的三边关系得，（3）证明如下：延长至点，使，连接，如图所示，在和中，，，，，在和中，，．，【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到M，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．问题：(1)依据小明的做法，请你补全图形，并写出的取值范围；(2)根据你补全的图形，写出与的数量关系和位置关系，并加以证明．【分析】（1）延长到，使得，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可；（2）由（1）知，，可知，，进而可知；【详解】（1）解：如图，延长到，使得，连接，∵是的中线，∴，在和中，，∴，∴，在中，，∴，，∴，故答案为：；（2），且，理由是：由（1）知，，∴，，∴【点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．【探索应用】如图2，在中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；【拓展提升】如图3，在中，的延长线交于点F，求证：．【分析】（1）证明△ABC≌△DEC，由全等三角形的性质即可得AB＝DE；（2）延长到点E使，再连接，由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE＝3，由三角形三边关系可得1＜AD＜4；（3）在BC上截取BG＝AF，易证△ABG≌△ADF，可得DF＝AG和∠DFA＝∠BGA，即可求证△ACG≌△EAF，可得GE＝AF，即可解题．【详解】（1）解：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE＝AB=100米；故答案为：100米（2）延长到点E使，再连接如图所示∵AD＝DE，CD＝BD，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE＝3，∵在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故答案为：1＜AD＜4；（3）证明：在BC上截取BG＝AF，∵∠BAD＝∠CAE＝∠ACB＝90°∴∠BAC+∠ABC＝∠BAC+∠DAF＝90°∴∠CBA＝∠DAF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF，（SAS）∴DF＝AG，∠DFA＝∠BGA，∴∠EFA＝∠CGA，∵在△ACG和△EAF中，，∴△ACG≌△EAF（AAS）∴EE＝AG＝FD．∴【点拨】考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．一、单选题1．是的中线，，则的取值可能是（

）A．3 B．6 C．8 D．122．已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（

）A．1 B．2 C．5 D．84．如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（

）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4二、填空题7．在中，，是边上的中线，则的取值范围是__．8．如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________．9．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC的中点，且AD⊥AC，若AC＝3，则AB的长为________．三、解答题11．如图，在中，是边上的中线，，，求的取值范围．12．规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题：(1)求证：和是兄弟三角形．(2)取的中点P，连接，请证明．13．在中，，，垂足为，点是延长线上一点，连接．(1)如图①，若，，求的长；(2)如图②，点是线段上一点，，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：．14．（1）已知：如图，△ABC和△DEF，，，AP、DQ分别是BC和EF边上的高，且．求证：；（2）如果（1）中的条件不变，“如图”二字去掉，那么△ABC与△DEF全等吗?如果全等请证明，如果不全等请举出反例．（3）如果把（1）中的条件“AP、DQ分别是BC和EF边上的高”改为“AP、DQ分别是BC和EF边上的中线”，请证明：．15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，交BC于点D．(1)如图①，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．求证：△ACD≌△EBD；(2)如图②，若∠BAC＝90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．16．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．17．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝1