任意角的三角函数(三角函数线)

1.2.1任意角的三角函数2021/5/91设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:y叫α的正弦x叫α的余弦叫α的正切yOx一、任意角的三角函数的定义1:2021/5/92一、任意角的三角函数的定义2:O2021/5/93三角函数的定义域:三角函数定义域2021/5/94终边相同的角的同一三角函数值相等：公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求00到3600角的三角函数值。2021/5/95三角函数的符号三角函数在各象限内的符号：oxy上正下负横为02021/5/96oxy三角函数在各象限内的符号：左负右正纵为02021/5/97oxy三角函数在各象限内的符号：交叉正负2021/5/98yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线,垂足为M.|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|三角函数线——正弦线和余弦线

【思考】为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致?2021/5/99【定义】有向线段*带有方向的线段叫有向线段.*有向线段的大小称为它的数量.在坐标系中,规定:

有向线段的方向与坐标系的方向相同.即同向时,数量为正;反向时,数量为负.2021/5/910yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)当角α的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向

时,MP的方向为正向,且有正值y;

当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向,且有负值y.

MP=y=sinα有向线段MP叫角α的正弦线2021/5/911yxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)|MP|=|y|=|sinα||OM|=|x|=|cosα|当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定:

当线段OM与x轴同向

时,OM的方向为正向,且有正值x;

当线段OM与x轴反向时,OM的方向为负向,且有负值x.

OM=x=cosα有向线段OM叫角α的余弦线2021/5/912TTTyxxyyyxxMMMMOOOOPPPPα的终边α的终边α的终边α的终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)(Ⅳ)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)T过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与α的终边或其反向延长线相交于点T.有向线段AT叫角α的正切线2021/5/913这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线yxTMOPα的终边A(1,0)当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余

弦线变成一个点,正切线不存

在,此时角α的正切值不存在.三角函数线的意义：方向表示三角函数值符号，长度表示三角函数值的绝对值.2021/5/914xyoxyoxyoxyoα的终边α的终边α的终边α的终边TPMPMPMPMTAATATA(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)同学们实践：

2021/5/915例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．2021/5/916例在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:xOy-1-111PM例题2021/5/917-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:2021/5/918-1xy11-1O例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:2021/5/919变式：写出满足条件≤cosα＜的角α的集合.xOy-1-111＜α≤≤α＜虚线2021/5/920课堂练习1.已知

是第三象限且，问是第几象限角？2.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号

2021/5/921课堂练习3.若lg(sintan)有意义，则是（）A第一象限角B第四象限角C第一象限角或第四象限角D第一或第四象限角或x轴的正半轴C4.已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos<0,sin>0,则a的取值范围是

。-2<a<32021/5/9225.利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：sinα<cosα;课堂练习2021/5/9231.内容总结：(1)