如何理解新课标中数学

如何理解新课标中的数学定位首都师范大学张饴慈如何理解新课标中的数学定位这次课改涉及的内容很多，如，选择性问题、学生自主学习问题、评价问题、信息技术应用等。许多问题是各科共同的问题。这里不想多谈。也不想抽象地谈理念。只想结合数学的具体内容来看看为什么要课改，改些什么。如何理解新课标中的数学定位我想主要谈两个问题。一原有的内容，在定位上有哪些变化，为什么这样变。二新增加的内容的定位。（以‘矩阵与变换’为例）这里贯穿的思想是：整体把握数学抓住数学本质如何理解新课标中的数学定位在谈这两个问题之前。想先谈谈为什么要学数学。一个人从小学到高中毕业，要学12年的数学。到了大学，大部分学生还要继续学数学。在有的大学里，中文、历史等系的学生也还要再学数学。一个人一生为什么要念这么长时间的数学？每一个数学老师都应该认真思考这个问题。如何理解新课标中的数学定位一种回答是，数学的应用十分广泛，数学很有用。有的老师甚至能上一堂生动的课来介绍数学的广泛应用。从早期海王星的发现到近代CT扫描；从气象预报到两伊战争。听得学生心潮澎湃。但过后，学生却仍感觉不到数学对他本人有任何用处。对他来说，学数学唯一的用处就是为了考试，为了升学。如何理解新课标中的数学定位还有一种说法是，学数学是打基础。是为了将来的应用。到了大学就知道数学有什么用了。但到了大学，老师会告诉你，现在还是在打基础。虽然现在数学的应用越来越广泛；越来越多的问题要靠数学来解决。但目前的实际情况是，即使是科学家，也有许多人把他们大学所学的数学都忘的差不多了。有不少科学家在他们的科研中所用数学并不多。更何况搞人文的学者，何况一般人呢。如何理解新课标中的数学定位在我们的数学教育中，确实有一个问题，就是忽视了数学应用的教育。对中学生，我们不能仅仅说学数学是打基础，将来才有用。而应该让学生感到，数学在我们的日常生活中就有用，现在就有用。让学生认识到，我们周围有许多问题可以用自己学到的数学思想去讨论、去分析。如何理解新课标中的数学定位目前有许多中学在这方面做了许多探索，取得了很好的成绩。例如，北京市坚持了10年的数学应用竞赛。学生的论文涉及的领域，有：交通（讨论公交车发车间隔，红绿灯设计，缓解交通拥挤的单双行道设计，停车场设计等）、经济（储蓄，住房贷款，家庭种植计划，手机话费，商场打折等）、生活（社区绿化，暖气，保安巡视等）、学校、体育……。如何理解新课标中的数学定位对这些参加应用竞赛的学生来说，能提出并讨论这些问题使得他们对数学的兴趣大增，学习数学的积极性空前提高。由被动地做一个数学的题目，变成主动找问题，时时想用自己所学的数学知识来解决实际问题。如何理解新课标中的数学定位

当然，对于‘为什么学数学？’这一问题的回答，决不仅仅是，因为数学在实际生活中有用。数学之所以成为世界各国教育的基础课程，所以要学这么长时间的数学，最主要的原因是，数学是培养人们的理性思维的最佳课程。如何理解新课标中的数学定位

在古希腊的年代，人们惊奇地发现，过去靠实验得到的许多几何上的事实，如‘三角形的三个高交于一点’等，可以从一些基本的命题出发，靠人们的思维、论证而得到。人们发现我们自己的思维居然有如此大的力量。能够用它来解决如此众多的问题。也就是说，人们认识到理性有着巨大的力量。而学数学最重要的就是培养人们理性思维的能力。如何理解新课标中的数学定位数学追求一种完美的理性认识。它要求，对研究的对象有确切无误的刻画；从简单而明确的命题出发，以准确而令人信服的逻辑推理得到结论。数学追求的是这种真、善、美的理性精神。正是这种精神使得人类的思维得以运用到最完美的程度，也正是这种精神试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活，试图回答有关人类自身存在的问题。如何理解新课标中的数学定位通俗地说，‘理性精神’就是说，要讲道理，凡事都要问一个为什么。说，学数学能培养这种理性精神，一方面是指，数学中的推理论证对培养人们理性思维的作用，这一点人们都有所认识。但还有另一方面，即批判性地提出问题的精神。因为在理性精神中，要讲道理，其中重要的一点就是，不迷信，不盲从，要有批判精神。而数学提供的这种有特色的思考方式，能使人们批判地阅读，识别谬误，探索偏见，估计风险，提出变通办法。数学能使我们更好地了解我们生活在其中的世界。如何理解新课标中的数学定位但目前我们的中学数学教育，偏重于推理论证和计算的训练，而很少能引导和鼓励学生提出问题。缺乏一种问为什么的精神，缺乏批判精神。举个例子，在讲直线拟合时，老师介绍教材中的‘最小二乘法’。其过程大概是，先讲这个方法的思想，再推导公式，最后讲应用。课后让学生套用公式做题。老师在讲课时，不先提出：如何拟合直线？这个最基本的问题。而是直接介绍‘最小二乘法’的思想。由于‘最小二乘法’是书上给出的方法，老师在大学只学过这种方法，也没有听说过别的方法。不少老师就错误地以为，‘最小二乘法’是解决直线拟合的唯一方法或最好方法。如何理解新课标中的数学定位先讲原来内容定位的变化。举几个例子。高中数学一开始安排的就是“集合”，按照新的课程标准，讲授这部分内容大约需要4学时。许多老师反映学时不够。有的地方用到8学时，甚至更多。之所以出现这种情况，主要是老师对这部分内容的定位不够清楚；另外，也有教学上的原因。如何理解新课标中的数学定位“集合”这部分内容的定位。这部分内容不是试图讲授集合的基本理论，不是“集合论”初步。我们在高中一开始引进集合的概念，目的是：希望学生在今后三年的高中数学学习中，对所遇到的数学问题和概念、问题的解答等等，能用集合语言来描述，例如，会用集合语言来表述函数的单调区间、不等式的解集、线形规划中的区域等等。也就是说，在高中数学中，我们是把集合作为一种数学的语言——一种符号语言——来要求的。而且这个要求要贯穿在整个高中三年课程的始终。作为高中数学一开始的这部分内容，我们只介绍集合最基本的概念（集合的基本关系和运算），并不是系统地讲授集合的理论。如何理解新课标中的数学定位从内容上讲，我们用描述性的方法给出集合的概念后，要求学生掌握：元素和集合的‘属于’关系。（这里比较困难的是：一个元素与由这个元素组成的单元素集的区别）集合的‘包含’关系以及由此引出的子集合、空集、全集和集合‘相等’的概念。（这里比较困难的是：空集。比如，空集和集合的区别等。）集合的表示法。特别地会用图来表示集合及其关系。如数轴上的区间、韦恩图等。一些常用集合的符号：自然数集N、有理数集Q、实数集R等集合的三种基本运算：并、交、补。（我们没有要求学生掌握这些运算的性质，如，交换律、结合律等等）如何理解新课标中的数学定位现在许多老师花了大量时间讲集合的‘三性’：确定性、无序性、互异性。这里所说的‘三性’，只是人们在研究集合时的三个‘规定’。告诉学生有这样的规定并让学生遵循就够了。在数学中我们有许多规定，如，在平面直角坐标系中的四个象限中，规定哪个是第一象限、哪个是第二象限等等；在集合的表示中，用大写字母表示集合，小写字母表示元素等。这些规定应该让学生知道并遵循，但这些规定本身并没有任何数学含义和内容，不是数学研究的对象。

如何理解新课标中的数学定位讲授了超出中学课程标准要求的内容。这主要有：系统讨论并证明集合运算的性质：集合交、并的结合律、交换律、分配律等。包括德摩根律。讨论集合的幂集，包括有限集合的幂集中元素的个数（即有限集合的子集的个数）。这些内容，除了子集合的个数问题可以在后面所讲的计数原理中涉及外，都超出了高中数学标准的范围。如何理解新课标中的数学定位我们在教学中经常谈一桶水和一杯水的关系，即要想让学生得到一杯水，老师要有一桶水。因此，老师能掌握上述内容是应该的。但是，这并不意味着高中学生应该掌握这些内容。有的老师心很好，恨不得把自己知道的所有东西都告诉学生，让他们掌握。但这是不对的。对一个高中学生的数学要求，不同于对一个高中数学教师的数学要求。不应该用大学数学系学生或高中数学教师的标准来要求一个普通的高中学生，这即是不必要的，也是不应该的。如何理解新课标中的数学定位把学生容易理解的内容讲难了。特别是，把后面要讲授的内容提前到这部分来讲授（这主要表现在例题的选取上）。

举例来说，我们在讲集合的并、交、补运算时，我们选取的例题如果是学生已经掌握的内容，比如，设全集是整数组成的集合，求集合和的并、交、补集等。这种题对刚上高一的学生来说，不难掌握。另外，学生在初中已学过一元一次不等式组的求解问题。此时，若设全集是一个区间或整个实轴，讨论集合和集合的并、交、补等问题。学生都应该能够掌握。而且学生能通过这类题很好地理解集合的并、交、补集的概念和运算。如何理解新课标中的数学定位但目前我们的例题和习题中出现的集合，有平面的直线方程、圆的方程或平面区域。讨论这些集合的‘交’等。有人说，这些问题学生都应该会做，求集合和的交是一个解方程组的问题，而且问题转化为解一个一元二次方程，没有超出学生的认知范围。如何理解新课标中的数学定位这里的问题不是学生能不能做，而是为什么要在这里做这种题目。这类题目放到后面学生学解析几何和一元二次不等式时，再让他们去做，对他们来说，问题变得非常简单，没有任何困难。而放在这里来处理，由于学生缺乏解析几何的知识和对一元二次不等式的理解，会变得比较形式，不易掌握其实质；而且我们这里的教学目的是：掌握集合的性质和运算，并不是解方程和不等式。做这些题目不仅使问题变得困难，而且并不能提高学生对集合的性质、运算的理解。如何理解新课标中的数学定位作为一个老师，要想让你的学生很好地掌握数学，就应该让学生感到你教给他的数学很容易，他觉得他能掌握的很好，题目都会做。这样他才会有兴趣、有信心。如果你的学生觉得高中数学一点都不难，他都能很好地掌握。这是多好的事啊！但目前有些老师喜欢出一些难题为难学生，让他们觉得数学很难、很抽象，以为只有这样才能激励学生刻苦学习，我想这是不对的。如何理解新课标中的数学定位一个好老师的本事是：把难懂的内容讲容易了，把学生不容易理解的内容让学生能很好的理解；而不是相反，把容易的内容讲难了。对刚从初中升入高中的学生来说，在学习上有一个不适应的过程。教师有一个如何做好初高中衔接的问题。“集合”是高中数学的第一个内容。特别要注意，不能讲难了，讲深了。何况，我们的‘深’和‘难’都不是“集合”这部分内容所要求的。如何理解新课标中的数学定位习题和练习题定位不当。目前在“集合”这部分，有大量的题目是关于参数的讨论。这里的关键之处是：大多数问题所涉及的内容和“集合”的内容无关，是其它的数学问题。这类问题无助于我们对“集合”的学习。目前存在的状况是：大量的这类问题，都集中在后面对参数的讨论，有些问题参数还不止一个。这种讨论偏离了“集合”内容的定位，干扰了学生对“集合”这部分内容的掌握。如何理解新课标中的数学定位有人说，对参数的这种讨论非常有助于培养学生的逻辑思维能力，这些题目非常好。应该让学生做这类题。对这个问题，我想我们还是应该弄清“集合”这部分内容教学的定位。能培养学生逻辑思维能力的好题目有很多，不可能把所有这种题目都拿来讲。关键是，我们在“集合”这部分教学中要教给学生的是什么，要达到什么目的。如何理解新课标中的数学定位

看一看目前高考的题目，以教育部考试中心命题的全国统一试卷来看，有关集合的试题都是最基本的，没有超出课程标准和大纲的要求。其定位是明确的。问题是我们有不少教师没有把握好其定位，造成了学生负担加重、学时紧张、而且其效果往往适得其反。如何理解新课标中的数学定位贯穿高中数学中的几条主线：函数、几何、运算、算法、统计概率、应用。函数的概念在小学讲正比例、反比例等问题时（如，时间、路程和速度的问题）已经有所渗透。在中学中，对函数的研究我们最关心的是：当一个量变化时，另一个量是如何随之变化的。如何理解新课标中的数学定位因此，突出了函数的单调性，减弱了函数的奇偶性。淡化了函数的定义域和值域。我们强调从具体到抽象、从个别到一般。这符合人们的认知规律。我们教学的目的，不是建立公理体系。因此，我们先给出函数概念，后出现映射概念。后者不是高中数学的重点。如何理解新课标中的数学定位课标中出现‘幂函数’一词，但只要求讲5个学生熟知的简单幂函数。我们要学生对幂函数（主要是多项式函数）、指数函数、对数函数的增长有所比较。不要求讨论一般的幂函数性质。作为必修的我们减弱了反函数的概念。如何理解新课标中的数学定位明确几何学的定位几何学最根本的任务是了解空间的形式，即了解人类生存的空间的特性和规律。它是所有其它科学的基础；是发展最早的科学。高中几何要求学生很好地把握图形、认识图形。如何理解新课标中的数学定位由于几何学有着图形特有的直观、清楚的优势，使得几何学成为培养推理论证能力的一个很好的载体。但培养推理论证能力是学习数学各个分支共同的目标之一，不能认为只有几何才具有这一功能。在几何证明中，对一些明显成立的事实，过分强调其证明无助于提高学生的能力。如何理解新课标中的数学定位如何看待推理论证的‘严格性’‘标准’中没有关于‘严格性’的论述培养推理论证的能力和建立公理体系是两回事。建立公理体系关心的是：公理的完备性、相容性和独立性。中学数学强调的是培养推理论证的能力。如何理解新课标中的数学定位数学中的严密性是相对的，对不同的人有不同的要求；物理学家一般不需要掌握实数理论；大部分数学家也不需要掌握皮亚诺公理，不需要会证明自然数乘法满足交换律。如何理解新课标中的数学定位在高中，我们对人们认为明显的事实或经过归纳后认为正确的事实，通常不给出证明。我们的教学是要化难为易，而不是相反，把容易的东西讲难了。对人们已经认为是对的结论，要求学生证明，往往使学生不知所云，无助于提高学生推理论证的能力。如何理解新课标中的数学定位在高中数学中，像‘二次函数的图像是一条连续的曲线’等说法，都是很自然的，一般人不会提出疑问。对这样的问题提出质疑，是数学家的事，不是我们在高中向学生讲的事，‘严格’是相对的。如何理解新课标中的数学定位类似的问题还有很多。例如：指数运算的性质、指数函数和对数函数的单调性。甚至函数y=x²的值域的讨论，都没有给出严格的证明。这些明显正确的结论，有些是用高中知识无法证明。比如，指数运算的性质；指数函数、对数函数的单调性等。如何理解新课标中的数学定位有些结论，虽然用高中知识可以证明。例如，有理指数运算的性质。但这些证明对一个不是专门学数学的高中学生来说，是不必要的。如何理解新课标中的数学定位在培养学生推理论证的能力时，应突出数学本质；充分利用图形和直观显示其推理论证的基本思想；然后，让学生用逻辑论证的语言表述其论证的过程。如何理解新课标中的数学定位强调通性通法。例如，求值域的方法。中学讨论的函数基本上是连续的或分段连续的；用导数方法确定极值，再比较函数在区间端点的值，得到最大、最小值（包括趋于无穷的情形）。这是通性通法。如何理解新课标中的数学定位在几何中，有人喜欢综合几何证明，觉得这才能培养推理论证能力。不喜欢向量，觉得向量运算太容易，没意思。其实，正相反，就是因为向量的运算极其容易，像实数的运算那样，而用它又能解决几乎一切几何问题。它是数学中最基本、最重要的概念。抓住向量的运算及其几何意义，才是抓住数学的本质。如何理解新课标中的数学定位老师要认识到，在中学引入向量并不仅仅是因为向量给出了通性通法，简单好用（因为就个别问题而言，综合的方法可能更好）。而是‘向量’在现代数学中和函数一样，处于中心地位。‘向量’是数学中最重要的概念之一。在向量的教学中要淡化枝微末节，如零向量的讨论。高中数学中的定位避免一些‘垃圾’题目。例如，已知求要利用到如何理解新课标中的数学定位如何看待数学中猜想、归纳和推理论证的关系等周问题。救火问题。细胞生长问题。如何理解新课标中的数学定位导数的重点是概念和应用重点是让学生认识从平均变化率到瞬时变化率的过渡；让学生体会到在自然界和我们的生活中导数处处存在。由于我们不系统地介绍极限，特别地不讲两个重要的极限，因此，不推导指数函数、对数函数和三角函数的导数公式。如何理解新课标中的数学定位在讲平均变化率向瞬时变化率过渡时，我们讨论的函数其形式主要是：多项式、分式和部分根式。在这里要求先把平均变化率化简，使其不出现零比零的形式，然后再过渡到瞬时变化率。当需要对较复杂的函数（如复合函数）求导数时（如在应用问题中），我们采取查表的方法。不把计算作为重点。先在必修课中讲古典概率，后面再在选修内容中讲排列组合。因为排列组合是计数的方法，它和概率的概念无关。目前的问题是把古典概率讲成了计数。而忽视了对随机现象的理解。我们讲概率是要学生对随机现象有较好的认识。特别是对我们生活中一些常见的现象能有所认识。如何理解新课标中的数学定位统计概率目前的主要问题是：理解不当。在数学上，概率的概念是用公理化的形式定义的。即使是大学数学系的学生，由于他们大都不学‘测度论’，也无法完整地理解这种公理体系的意义。这里希望教师了解的是，在各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质。如何理解新课标中的数学定位我们要清楚上述定义只是描述性的。而且它有循环定义之嫌。因为定义中出现了‘可能性’。这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’)。你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免。高中数学中的定位概率的统计定义的数