山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共8小题，24分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（）A． B． C． D．2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，OC⊥AD，延长AB，CD在⊙O外相交于点E，若∠ACD＝100°，则∠E的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°3．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（）A．4 B．6 C．9 D．184．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（）A． B．30 C．40 D．505．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，请添加一条件使△BCD∽△BAC，则下列条件中不正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•BA C．∠A＝∠BCD D．∠ADC+∠BCA＝180°6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（）A． B． C． D．7．如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1 B． C． D．﹣18．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A． B． C．2 D．3二．填空题（共6小题，18分）9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是cm．10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，∠ADE＝60°，如果BD＝4DC，DE＝4，那么AD＝．11．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为米．（结果精确到1米，参考数据）12．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，CE与AD相交于点F，DG是△CDF的高，若BD＝2，CD＝4，则DG的长等于．13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠ACB＝67°．则∠EBC的度数等于度．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，分别以AB、AD的长为半径作弧，两弧分别交CD、AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共10小题，78分）15．计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．16．如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AE＝4，DE＝6，求菱形ABCD的边长．17．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交射线AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝2，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPC的度数；（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．（1）求证：AB•CD＝CP•BP；（2）若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求tan∠BAD的值．21．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？22．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．（1）求证：DA是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．23．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），（1）用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm．（2）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．24．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．如图1，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6．请解答下面的问题：观察猜想：（1）如图1，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△NMC，连接BM，则△BCM的形状是；探究证明：（2）如图2，点D，E分别是边BC，AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转60°得到△CMN，连接MB，AN．①求证：△ACN∽△BCM；②求AN的长．山东省青岛市莱西市三校联考2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝（）A． B． C． D．【分析】先利用平方公式求出cosA的值，然后利用tanA＝求解．【解答】解：∵∠C＝90°，sin2A+cos2A＝1；∴cosA＝＝＝，∴tanA＝＝＝．故选：D．2．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，OC⊥AD，延长AB，CD在⊙O外相交于点E，若∠ACD＝100°，则∠E的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】连接BD，根据圆内接四边形，得出∠ABD＝180°﹣∠ACD＝80°，根据AB是直径得出BD⊥AD，则BD∥OC，根据垂径定理得出，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质，即可求解．【解答】解：连接BD，∵四边形ABDC是⊙O的内接四边形，∴∠ABD＝180°﹣∠ACD＝80°，∵AB是直径，∴BD⊥AD，∵OC⊥AD，则，∴BD∥OC，∴∠EDB＝∠DCO＝50°，∴∠E＝∠DBA﹣∠BDE＝80°﹣50°＝30°，故选：B．3．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且AE＝2ED，CE交对角线BD于点F，若S△DEF＝2，则S△BCF为（）A．4 B．6 C．9 D．18【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解决问题．【解答】解：∵AE＝2ED，∴＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝＝，∴＝（）2＝，∵S△EDF＝2，∴S△BCF＝18．故选：D．4．如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离是（）A． B．30 C．40 D．50【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠EBC＝30°，AD∥EB，从而可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图，由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB+∠ABE＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE﹣∠DBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故选：D．5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，请添加一条件使△BCD∽△BAC，则下列条件中不正确的是（）A．AC2＝AD•AB B．BC2＝BD•BA C．∠A＝∠BCD D．∠ADC+∠BCA＝180°【分析】根据相似三角形的判定定理求解判断即可．【解答】解：由AC2＝AD•AB，∠CBD＝∠ABC，不能判定△BCD∽△BAC，故A符合题意；∵BC2＝BD•BA，∴＝，又∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故B不符合题意；∵∠A＝∠BCD，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故C不符合题意；∵∠ADC+∠BCA＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠BCA，又∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，故D不符合题意；故选：A．6．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE＝30°，，则BD的长度是（）A． B． C． D．【分析】根据等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH＝30°，再根据∠BAD+∠EAC＝30°，可得∠DAH＝∠EAC，从而可得tan∠DAH＝tan∠EAC＝，利用锐角三角函数求得AH＝ABsin60°＝3，即可求解．【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝60°，∵AH⊥BC，∴∠BAH＝∠BAC＝30°，∴∠BAD+∠DAH＝30°，∵∠DAE＝30°，∴∠BAD+∠EAC＝30°，∴∠DAH＝∠EAC，∴tan∠DAH＝tan∠EAC＝，∵BH＝AB＝3，∵AH＝ABsin60°＝6×＝3，∴＝，∴DH＝，∴BD＝BH﹣DH＝3﹣，故选：A．7．如图，MN是⊙O的直径，A，B，C是⊙O上的三点，∠ACM＝60°，B点是的中点，P点是MN上一动点，若⊙O的半径为1，则PA+PB的最小值为（）A．1 B． C． D．﹣1【分析】点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON＝60°，然后求出∠BON＝30°，再根据对称性可得∠B′ON＝∠BON＝30°，然后求出∠AOB′＝90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′＝OA，即为PA+PB的最小值．【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值＝AB′，∵∠ACM＝60°，∴∠AOM＝2∠ACM＝2×60°＝120°，∴∠AON＝60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°，由对称性，∠B′ON＝∠BON＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝60°+30°＝90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′＝OA＝×1＝，即PA+PB的最小值＝．故选：C．8．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A． B． C．2 D．3【分析】连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，根据切线的性质得到CQ⊥PQ，根据勾股定理求出PQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．【解答】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴PQ＝＝，当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴CH＝BC•sinB＝2，∴PQ的最小值为：＝3，故选：D．二．填空题（共6小题）9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是20cm．【分析】过B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，设BC＝3xcm，AC＝4xcm，则AB＝5xcm，即可求解．【解答】解：如图，过B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，设BC＝3xcm，AC＝4xcm，则AB＝5x＝25，解得x＝5，∴AC＝4×5＝20（cm）．故答案为：20．10．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AB上，∠ADE＝60°，如果BD＝4DC，DE＝4，那么AD＝5．【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质即可求出AD的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴＝，∵BD＝4DC，设DC＝x，则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴＝，∴AD＝5，故答案为：5．11．如图，湖的旁边有一建筑物AD，某数学兴趣小组决定测量它的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为30°，然后沿BD方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为45°．请你帮助该小组同学，计算建筑物AD的高度约为16米．（结果精确到1米，参考数据）【分析】根据题意可得：AD⊥BD，BC＝12米，然后设CD＝x米，则BD＝（x+12）米，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AD⊥BD，BC＝12米，设CD＝x米，∴BD＝BC+CD＝（x+12）米，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝BD•tan30°＝（x+12）米，在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴AD＝CD•tan45°＝x（米），∴x＝（x+12），解得：x＝6+6，∴AD＝6+6≈16（米），∴建筑物AD的高度约为16米，故答案为：16．12．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AB上，AE＝BD，CE与AD相交于点F，DG是△CDF的高，若BD＝2，CD＝4，则DG的长等于．【分析】证明△CAE≌△ABD（SAS），由全等三角形的性质得出∠ACE＝∠BAD，证明△EAF∽△DAB，得出，过点D作DH∥CE，交AB于点H，求出EH＝BE＝，设AF＝3x，则AD＝7x，则3x•7x＝12，解方程求出DF的长，由直角三角形的性质可求出答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAE＝∠ABD＝60°．在△CAE与△ABD中，，∴△CAE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠BAD，∴∠AFE＝∠ACE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠AFE＝∠ABD，又∵∠EAF＝∠BAD，∴△EAF∽△DAB，∴，∴，过点D作DH∥CE，交AB于点H，∴，∵AE＝BD＝2，AB＝BC＝6，∴BE＝4，∴EH＝BE＝，∵EF∥DH，∴＝，∴，设AF＝3x，则AD＝7x，∴3x•7x＝12，∴x＝（负值舍去），∴AF＝，∴DF＝，∵∠AFE＝∠DFG＝60°，∴DG＝DF•sin60°＝＝．故答案为：．13．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠ACB＝67°．则∠EBC的度数等于23度．【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABC＝67°，∠BAC＝46°，再根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，则利用互余可计算出∠ABE＝44°，然后计算∠ABC﹣∠ABE即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠ACB＝67°，∴∠ABC＝∠C＝67°，∴∠BAC＝180°﹣2∠C＝46°，∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣46°＝44°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝67°﹣44°＝23°．故答案为：23．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，分别以AB、AD的长为半径作弧，两弧分别交CD、AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为2+．【分析】根据S阴影＝S△ADE+S扇形AEB﹣S四分之一圆求解即可．【解答】解：连接AE．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠D＝90°，∵AE＝AB＝2AD，∴∠AED＝30°，∵CD∥AB，∴∠EAB＝∠AED＝30°，DE＝AD＝2，∴S阴影＝S△ADE+S扇形AEB﹣S四分之一圆＝×2×2+﹣π×22＝2+π﹣π＝2+．故答案为：2+．三．解答题（共10小题）15．计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．【解答】解：（1）原式＝2×﹣+×＝﹣+＝；（2）原式＝﹣1+2×﹣++（）2＝﹣1++3＝2+．16．如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED＝∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；（2）若AE＝4，DE＝6，求菱形ABCD的边长．【分析】（1）根据菱形的对边平行，∠AED＝∠B即可证明两三角形都得相似．（2）根据（1）的结论可得出＝，进而代入可得出AB2的值．【解答】（1）证明：如图．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB，又∵∠B＝∠AED，∴△ABE∽△DEA；（2）解：∵△ABE∽△DEA，∴＝，∴AE•DE＝AB•DA．∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD，∴AB2＝AE•DE＝24，∴AB＝2或﹣2（舍去）．∴菱形ABCD的边长为2．17．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交射线AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝2，∠F＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°，则∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，因为∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2，则OD＝4，利用全等证出△ANC≌△NOD（AAS），则阴影部分的面积＝扇形COD的面积．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：连接OC交AD于N，∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∠M＝60°，∴∠EDM＝30°，∴△ABM是等边三角形，∴BD＝MD＝2ME＝2，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2，∴OD＝4，∵AO＝OC，∴AC＝OD，∴△ANC≌△NOD（AAS），∴阴影部分的面积＝扇形COD的面积＝＝π，18．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是45°，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPC的度数；（2）求该铁塔PC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，≈1.41）【分析】（1）延长PC交直线AB于点F，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PC＝x米，根据AF＝PF，构建方程求出x即可．【解答】解：（1）延长PC交直线AB于点F，则PF⊥AF，依题意得：∠PAF＝45°，∠PBF＝60°，∠CBF＝30°，∴∠BPC＝90°﹣60°＝30°；（2）设PC＝x米，则CB＝CP＝x米，在Rt△CBF中，BF＝x•cos30°＝x米，CF＝x米，在Rt△APF中，FA＝FP，∴9+x＝x+x，∴x＝9+3，∴PC＝9+3≈14.2（米），即该铁塔PC的高度约为14.2米．19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点P从B运动到C，且∠APD＝∠C．（1）求证：AB•CD＝CP•BP；（2）若AB＝6，BC＝10，求当BP长为多少时，PD∥AB．【分析】（1）先根据得出∠B＝∠APD，证明∠DPC＝∠BAP，得出△ABP∽△PCD，根据相似三角形性质得出，即可证明结论；（2）根据平行线的性质得出∠BAP＝∠APD＝∠C，证明△BAP∽△BCA，得出，根据AB＝6，BC＝10，求出，即可得出当时，PD∥AB．【解答】（1）证明：∵∠B＝∠C，∠APD＝∠C，∴∠B＝∠APD，∵∠APC＝∠APD+∠DPC，∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠DPC＝∠BAP，∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB⋅CD＝CP⋅BP．（2）解：如图，PD∥AB，∴∠BAP＝∠APD＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴，∵AB＝6，BC＝10，∴，∴，即当时，PD∥AB．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，tan∠DAC＝．（1）求边AC的长；（2）求tan∠BAD的值．【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得AC的长；（2）根据（1）中的结果，可以得到AC、CD的长，然后根据勾股定理可以得到AD的长，再根据等面积法可以求得DE的长，从而可以求得AE的长，然后即可得到tan∠BAD的值．【解答】解：（1）设AC＝3m，∵BD＝6，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，∴CD＝2m，∴4m＝2m+6，解得m＝3，∴AC＝3m＝9；（2）作DE⊥AB于点E，由（1）知，AB＝5m＝15，AC＝9，BD＝6，∵，∴，解得DE＝，∵AC＝9，CD＝2m＝6，∠C＝90°，∴AD＝，∴AE＝＝，∴tan∠BAD＝，即tan∠BAD的值是．21．某市唐朝古塔（图1）所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度AB，如图2：在地面上D处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，塔的塔尖点A正好在同一直线上，测得DE＝3米，将标杆CD沿BD方向平移14米到点H处（DH＝14米）．这时地面上的点F，标杆的顶端点C，塔尖点A正好又在同一直线上，测得FH＝4米，点F，H，E，D与塔底处的点B在同一直线上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？【分析】根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴＝，∵∠HFG＝∠BFA，∴△HFG∽△BFA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝42，∴＝，∴AB＝30（米），答：此塔的高度有30米．22．如图，BC是⊙O直径，点A是⊙O上一点，∠ABC＝22.5°，点D为BC延长线上一点，且AD＝OB．（1）求证：DA是⊙O的切线；（2）过点A作AE⊥BD交⊙O于点E，EO的延长线交AB于点F，若⊙O的直径为4，求线段EF的长．【分析】（1）连接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，从而得到∠OAD＝90°，得证DA是⊙O的切线；（2）由AE⊥BD和直径为4结合垂径定理求得∠OAE、∠E和AE的长度，再结合∠ABC的度数求出∠AFE和∠FAE的大小，从而求出线段EF的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，∵OA＝OB，AD＝OB，∴OA＝AD，∴∠AOD＝∠D＝45°，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切线．（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，∵直径为4，∴OA＝OE＝2，∴AE＝2，∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，∴∠OAB＝ABC＝22.5°，∴∠FAE＝∠OAB