2024届高考物理一轮总复习第五章机械能第3讲机械能守恒定律第1课时机械能守恒定律的理解及应用教师用书

第1课时机械能守恒定律的理解及应用一、机械能1．重力做功与重力势能(1)重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关。(2)重力做功与重力势能变化的关系。定性关系重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加定量关系物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－ΔEp(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。2．弹力做功与弹性势能(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系。(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大。二、机械能守恒定律1．内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。2．表达式3．机械能守恒的条件(1)系统只受重力或弹力，不受其他外力。(2)系统除受重力或弹力外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。(3)系统内除重力或弹力做功外，还有其他力做功，但其他力做功的代数和为零。(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化。情境创设如图所示，在地面上以速度v0斜向上抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力。微点判断(1)物体在运动过程中动能越来越大。(×)(2)物体在运动过程中重力势能越来越大。(×)(3)重力对物体做的功为mgh。(√)(4)物体在海平面上的势能为mgh。(×)(5)物体在海平面上的动能为eq\f(1,2)mv02－mgh。(×)(6)物体在海平面上的机械能为eq\f(1,2)mv02。(√)(7)物体在轨迹最高处的机械能为eq\f(1,2)mv02。(√)(8)物体重力势能的大小与零势能参考平面的选取有关。(√)(9)物体重力势能的变化与零势能参考平面的选取有关。(×)(10)物体克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(√)(11)若物体所受的合外力为零，则物体的机械能守恒。(×)(一)机械能守恒的判断(固基点)[题点全练通]1．[机械能守恒条件的理解]关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是()A．只有重力和弹力作用时，机械能才守恒B．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒C．当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒解析：选C机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A错误；物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可能不守恒，如拉一物体匀速上升，合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，D错误；由机械能守恒定律的特点知，C正确。2．[单物体机械能守恒的判断]载人飞行包是一个单人低空飞行装置，如图所示，其发动机使用汽油作为燃料提供动力，可以垂直起降也可以快速前进，若飞行包(包括人)在竖直方向上匀速上升的过程中(空气阻力不可忽略)，下列说法正确的是()A．发动机对飞行包不做功B．飞行包的重力做正功C．飞行包的动能不变D．飞行包的机械能不变解析：选C飞行包(包括人)在竖直匀速上升的过程中，发动机的动力向上，则发动机对飞行包做正功，A错误；高度上升，飞行包的重力做负功，B错误；飞行包(包括人)在竖直方向上匀速上升，故飞行包的动能不变，C正确；飞行包在上升过程中动能不变，重力势能变大，故机械能变大，D错误。3．[系统机械能守恒的分析与判断]如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是()A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒解析：选C小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但由于墙壁对半圆形槽的作用，半圆形槽实际上没有动，整个系统中只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；小球过了半圆形槽的最低点以后，小球对槽的作用力斜向右下方，对槽做正功，槽向右运动，槽对小球的作用力斜向左上方，槽对球做负功，该过程中除了重力做功外，槽对小球的弹力也做功，故小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，在A点，小球竖直方向上只受重力作用，加速度方向竖直向下，处于失重状态，在最低点，小球的加速度方向竖直向上，处于超重状态，所以小球先失重，后超重，B错误；小球与槽组成的系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒，C正确。4．[含弹性物体的系统机械能守恒的分析与判断]2021年7月30日，东京奥运会蹦床女子决赛中，中国包揽女子蹦床金、银牌。在运动员蹦床训练中，从运动员下落到离地面高h1处开始计时，其动能Ek与离地高度h的关系如图所示。在h1～h2阶段图像为直线，其余部分为曲线，h3对应图像的最高点，运动员的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。下列有关说法正确的是()A．整个过程中运动员的机械能守恒B．从运动员的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先增大后减小C．运动员从h1降到h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm＝mgh1D．运动员处于h＝h4高度时，蹦床的弹性势能为Ep＝mg(h2－h4)解析：选D运动员与蹦床组成的系统机械能守恒，A错误；运动员的脚接触蹦床到弹力等于重力的过程中有mg－kx＝ma，运动员下降过程中x增大，则a减小，当弹力等于重力到蹦床被压缩至最低点的过程中有kx－mg＝ma′，运动员下降过程中x增大，则a′增大，则从运动员的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先减小后增大，B错误；运动员从h1下降到h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm＝mg(h1－h5)，C错误；运动员处于h＝h4高度时，根据机械能守恒有mg(h2－h4)＝Ep，D正确。[要点自悟明]1．对机械能守恒条件理解的三个角度2．判断机械能守恒的三种方法(二)单个物体机械能守恒定律的应用(精研点)1．基本思路2．三点提醒(1)物体在运动过程中只有重力做功，机械能守恒。(2)单个物体在竖直光滑圆轨道上做圆周运动时，因只有重力做功，机械能守恒。(3)单个物体做平抛运动、斜抛运动时，因只有重力做功，也常用机械能守恒定律列式求解。[多维训练]考查角度1单物体单过程机械能守恒1.(2021·河北高考)一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)()A.eq\r(2＋πgR) B.eq\r(2πgR)C.eq\r(21＋πgR) D．2eq\r(gR)解析：选A当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度为h＝πR－eq\f(π,2)R＋R＝eq\f(π＋2,2)R，小球下落过程中，根据机械能守恒有mgh＝eq\f(1,2)mv2，联立以上两式解得v＝eq\r(2＋πgR)，故A正确，B、C、D错误。考查角度2单物体多过程机械能守恒2．(2021·海南高考)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0m，末端到水面的高度h＝1.0m。取重力加速度g＝10m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为()A．4.0m B．4.5mC．5.0m D．5.5m解析：选A设人滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝4eq\r(5)m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝eq\f(1,2)gt2，可知落水时间为t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×1.0,10))s＝eq\r(\f(1,5))s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x＝vt＝4.0m。考查角度3单物体多过程机械能守恒中的极值问题3．如图所示是一竖直固定在水平地面上的可伸缩细管，上端平滑连接四分之一细圆弧弯管，管内均光滑，右管口切线水平。竖直细管底部有一弹射装置(高度忽略不计)，可以让静止在细管底部的小球(可视为质点)瞬间获得足够大的速度v0，通过调节竖直细管的长度h，可以改变上端管口到地面的高度，从而改变小球平抛的水平距离，重力加速度为g，则小球平抛的水平距离的最大值是()A.eq\f(v02,g) B.eq\f(v02,2g)C.eq\f(v02,3g) D.eq\f(v02,4g)解析：选B设管口到地面的高度是H，小球从管口射出的速度为v，由机械能守恒定律得eq\f(1,2)mv02＝mgH＋eq\f(1,2)mv2，小球离开管口后做平抛运动，则x＝vt，H＝eq\f(1,2)gt2，联立方程，可得x＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v02,g)－2H))×2H)＝eq\r(－4H2＋\f(2v02,g)H)，由二次函数的特点可知当H＝eq\f(v02,4g)时x取最大值，xmax＝eq\f(v02,2g)。(三)非质点类机械能守恒问题(融通点)eq\a\vs4\al(模型一“液柱”类问题)像“液柱”“链条”“过山车”类物体，在其运动过程中会发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。[例1](多选)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中()A．水柱的重力做正功B．大气压力对水柱做负功C．水柱的机械能守恒D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是eq\f(1,4)ρgS(h1－h2)2[解析]把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高eq\f(h1－h2,2)的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降eq\f(h1－h2,2)，重力所做正功：WG＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h1－h2,2)))ρgS·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h1－h2,2)))＝eq\f(1,4)ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确，B错误。[答案]ACDeq\a\vs4\al(模型二“链条”类问题)[例2]如图所示，有一条长为L＝1m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10m/s2)()A．2.5m/s B.eq\f(5\r(2),2)m/sC.eq\r(5)m/s D.eq\f(\r(35),2)m/s[解析]设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)sin30°－eq\f(1,2)×2mg·eq\f(L,4)＋0＝－eq\f(3,8)mgL，链条全部下滑出后，动能为Ek′＝eq\f(1,2)×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·eq\f(L,2)，由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′，即－eq\f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5m/s，故A正确，B、C、D错误。[答案]Aeq\a\vs4\al(模型三“过山车”类问题)[例3]如图所示，露天娱乐场中过山车是由许多节完全相同的车厢组成，过山车先沿水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形轨道，若过山车全长为L(L＞2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，为使整个过山车安全通过固定的圆形轨道，那么过山车在运行到圆形轨道前的速度至少为(车厢间的距离不计，忽略一切摩擦)()A.eq\r(gR) B.eq\r(3πgL)C.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L)))) D.eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(πR,L))))[解析]当过山车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时速度最小，设此时的速度为v，过山车的质量为M，圆形轨道上那部分过山车的质量M′＝eq\f(M,L)·2πR，由机械能守恒定律可得：eq\f(1,2)Mv02＝eq\f(1,2)Mv2＋M′gR，又因圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝meq\f(v2,R)，可求得：v0＝eq\r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4πR,L))))。故C正确。[答案]Ceq\a\vs4\al([思维建模])(1)物体虽然不能看成质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。(2)在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。(3)非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为eq\f(1,2)mv2。[课时跟踪检测]一、立足主干知识，注重基础性和综合性1.如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和物块A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是()A．子弹射入物块B的过程B．子弹射入物块B后，物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量达到最大的过程C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达到最大的过程解析：选A子弹射入物块B的过程中，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化为内能，所以系统机械能不守恒；子弹和物块B达到共同速度以后一起向左压缩弹簧、弹簧推着带子弹的物块B向右运动过程中，以及物块A离开墙壁整体向右运动的过程中，系统内部只有弹簧弹力做功，系统动能与弹性势能相互转化，系统机械能守恒，故B、C、D过程机械能均守恒，A过程机械能不守恒。2.(2023·广东广州期末)北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区的国家跳台滑雪中心举行，跳台由助滑道、起跳区、着陆坡和停止区组成，如图所示。跳台滑雪运动员在助滑道获得高速后从起跳区水平飞出，在着陆坡落地，不计空气阻力。起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，用Δv、P、Ek、E分别表示运动员在空中运动的速度变化量、重力的瞬时功率、动能、机械能，t表示运动员在空中的运动时间，下列图像中正确的是()解析：选B由题意，可认为运动员从起跳区水平飞出到着陆坡的过程中做平抛运动，根据平抛运动规律速度改变量Δv＝gt可知Δv∝t，故A错误；平抛运动是理想运动模型，由于只受重力且只有重力做功，机械能守恒，则运动员在空中运动的E-t图像应是一条平行于t轴的直线，故D错误；从水平飞出开始，经过时间t，对运动员应用动能定理得mgh＝mg·eq\f(1,2)gt2＝Ek－eq\f(1,2)mv02，解得此时运动员的动能Ek＝eq\f(1,2)mv02＋eq\f(1,2)mg2t2，故C错误；根据P＝mgvy＝mg2t可知，重力的瞬时功率P与t成正比，故B正确。3.(2022·济南模拟)如图所示，光滑的eq\f(1,4)固定圆弧槽的槽口与一个固定半球顶点相切，半球底面水平，小滑块(可视为质点)从圆弧槽最高点由静止滑下，滑出槽口时速度沿水平方向。已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，若要使小滑块滑出槽口后不沿半球面下滑，不计空气阻力，则R1和R2应满足的关系是()A．R1≤R2 B．R1≥R2C．R1≥eq\f(R2,2) D．R1≤eq\f(R2,2)解析：选C滑块沿光滑的eq\f(1,4)圆弧槽下滑过程只有重力做功，由机械能守恒有mgR1＝eq\f(1,2)mv2，要使小滑块滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平抛运动，则mg≤meq\f(v2,R2)，由以上两式解得R1≥eq\f(R2,2)，故C正确。4.如图甲所示，视为质点的小球用不可伸长的轻绳连接，绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT。拉力FT与速度的平方的关系如图乙所示，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球从最高点运动到最低点的过程中动能的变化量为()A.eq\f(2ab,g)B.eq\f(ab,4g)C.eq\f(ab,2g)D.eq\f(4ab,g)解析：选A小球在最高点时有FT＋mg＝meq\f(v2,r)，即FT＝eq\f(m,r)v2－mg，由题图乙可知eq\f(m,r)＝k＝eq\f(b,a)，mg＝b，解得m＝eq\f(b,g)，r＝eq\f(a,g)，小球从最高点运动到最低点的过程中重力所做的功等于其动能的变化量，即ΔEk＝2mgr＝eq\f(2ab,g)。5．(2022·全国乙卷)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于()A．它滑过的弧长B．它下降的高度C．它到P点的距离D．它与P点的连线扫过的面积解析：选C如图所示，设小环下降的高度为h，圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根据机械能守恒定律得mgh＝eq\f(1,2)mv2。由几何关系可得h＝Lsinθ，sinθ＝eq\f(L,2R)，联立可得h＝eq\f(L2,2R)，可得v＝Leq\r(\f(g,R))，故C正确，A、B、D错误。6.荡秋千是人们喜欢的一项娱乐活动。荡秋千者通过做功，逐渐增加自身的机械能，从而逐渐“荡”高。其原理如下：人向下摆动过程中逐渐“下蹲”使重心下降，而在秋千上摆过程中，人又逐渐站起使重心升高，机械能增加，从而逐渐“荡”高。有一个正在“荡”秋千的运动员质量为75kg，身高为1.8m，在水平地面上站立时重心高1.0m，蹲坐时重心高0.6m。秋千摆长为5.0m。若该运动员从与竖直方向成37°角位置开始下摆。(忽略空气阻力、秋千的质量，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)(1)求运动员到达秋千下摆的竖直最低位置时的速度大小；(2)求运动员在秋千下摆的竖直最低位置时受到秋千的作用力大小。解析：秋千摆长L0＝5.0m，运动员在水平地面上站立时重心高H1＝1.0m，蹲坐时重心高H2＝0.6m，以秋千下摆的最低位置处为零势能点。(1)秋千下摆过程中运动员机械能守恒，mg[L0－(L0－H1)cos37°]＝mgH2＋eq\f(1,2)mv2，解得v≈4.9m/s。(2)设运动员在秋千下摆到最低位置时受到秋千的作用力大小为F，则F－mg＝meq\f(v2,L0－H2)，解得F≈1159N。答案：(1)4.9m/s(2)1159N二、强化迁移能力，突出创新性和应用性7．(2021·广东高考)(多选)长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有()A．甲在空中的运动时间比乙的长B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mghD．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh解析：选BC甲、乙两颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它们的运动时间相等，A错误。落地前瞬间，PG＝mgvy＝mg2t，由于运动时间相等，故重力的瞬时功率相等，B正确。从投出到落地，重力做功为mgh，故重力势能减少mgh，C正确。从投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误。8．(多选)如图所示，用长度为s的金属丝绕制成高度为h的等距螺旋轨道，并将其竖直固定。让一质量为m的有孔小球套在轨道上，从顶端无初速度释放。已知重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是()A．下滑过程中轨道对小球的作用力逐渐增大B．小球的运动可以分解为水平方向的匀速圆周运动和沿轨道斜向下的匀加速直线运动C．小球运动到螺旋轨道底端时，重力的功率为mgeq\r(2gh)D．小球从顶端运动到螺旋轨道底端的时间为eq\r(\f(2s2,gh))解析：选AD由于不计一切摩擦，故小球在下滑过程中机械能守恒，小球沿轨道斜向下的速度不断增大，故小球下滑过程中的运动可分解为水平方向速率不断增大的圆周运动和竖直方向的匀加速直线运动，B错误；又小球下滑过程中，水平方向做圆周运