2023-2024学年湖南省株洲市高一上学期第二次适应性检测数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年湖南省株洲市高一上学期第二次适应性检测数学质量检测模拟试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，，则A∩（∁RB）的子集个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．82．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．当时，函数的最小值为（

）A． B． C． D．4．已知、、是互不相等的正数，则下列不等式中正确的是（

）A． B．C． D．5．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．6．下列命题中，正确命题的个数为（

）①当时，的最小值是5；②与表示同一函数；③函数的定义域是，则函数的定义域是；④已知，，且，则最小值为．A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（

）A． B． C． D．8．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选対的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．设函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数C．函数为奇函数 D．函数的图像关于点中心对称11．已知，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为12．已知函数，，则下列结论正确的是（）A．，恒成立，则实数a的取值范围是B．，恒成立，则实数a的取值范围是C．，，则实数a的取值范围是D．，，三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，，若成立的一个必要不充分条件是，则实数m的取值范围是.14．函数的定义域是，则实数a的取值范围为．15．幂函数，满足，的解析式16．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请完成：（1）写出函数的一个共鸣区间；（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合，试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．①函数的定义域为集合；②不等式的解集为．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围．18．（1）若，求证：；（2）利用（1）的结论，求下列问题：已知，求的最小值，并求出此时的值.19．已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值(2)求的值域；(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的范围.20．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展.更多新产品､新技术､新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金4000万元.现每千台空调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？（注：利润=销售额一成本）21．已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；(2)当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；(3)若不等式的解集为D，若[﹣1，1]⊆D，求m的取值范围．22．已知定义域为的函数满足对任意都有．(1)求证：是奇函数；(2)设，且当x＞1时，，求不等式的解．1．D【分析】解不等式得集合，由集合的运算求出，根据集合中的元素可得子集个数．【详解】，或，所以，其子集个数为．故选：D．本题考查集合的综合运算，考查子集的个数问题，属于基础题．2．D【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解即可.【详解】命题“”的否定是.故选：D3．B【分析】由，利用基本不等式求解即可.【详解】∵，∴∴当且仅当时，即等号成立∴函数的最小值为故选：B.4．D【分析】通过举反例可判断选项A、B、C错误；作差化简，从而判断成立，可判断D.【详解】当，，时，，，故选项A错误；当时，，，故选项B错误；当，时，，，故选项C错误；∵，∵，∴，即，故成立，故选项D正确故选：D5．A【分析】由一元二次不等式的解集可得且，确定a、b、c间的数量关系，再求的解集.【详解】由题意知：且，得，从而可化为，等价于，解得或.故选：A.6．B【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；【详解】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；对于②与表示同一函数，故②正确；对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；对于④已知，，且，所以，则，当且仅当，即，时取等号，故④正确；故选：B7．A【分析】根据二次函数对称性求和即可．【详解】解：当时，，∴对称轴为，为奇函数，，，关于中心对称，设为图像上任意一点，则在上，，即，对称轴为．作出图像如下：由图像知有4个根，不妨设，由二次函数的对称性知，，∴所有根的和为．故选：A．8．A【分析】由可得或，数形结合可方程只有解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.【详解】由可得或，当时，；当时，.作出函数、、的图象如下图所示：由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.故选：A.9．ACD【分析】将c改写成，利用和的单调性，分别与a，b比较大小.【详解】因为，，又，是减函数，所以，即，故A正确；因为，又，是增函数，所以，即，故B不正确；由于，所以，故C正确；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正确.故选：ACD.10．ABD【分析】求得的值判断选项A；求得函数的解析式判断选项B；求得函数的奇偶性判断选项C；求得函数的对称中心判断选项D.【详解】由，可得，则选项B判断正确；则，则选项A断正确；由定义域不关于原点对称，可知函数不为奇函数，则选项C断错误；由的图像关于原点中心对称，可得函数的图像关于点中心对称，则选项D断正确.故选：ABD11．BC【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；【详解】，且，，对于A，利用基本不等式得，化简得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，，，故D错误；故选：BC12．AC【分析】对于选项A，B，C求出函数和的最值，即可判断出正误；对于选项D，根据函数和函数值域间的包含关系判断正误．【详解】解：对于A选项，，恒成立，又为减函数，所以，A选项正确；对于B选项，，恒成立，即，又为减函数，所以，B选项不正确；对于C选项，函数的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，若，，则实数a的取值范围是，C选项正确；对于D选项，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确；故选：AC.13．先依题意判断集合B是集合A的真子集，再讨论集合B是否空集求参数m的取值范围即可.【详解】因为成立的一个必要不充分条件是，所以推不出，且可推出，故集合B是集合A的真子集.当时即，集合A的真子集，符合题意；当时即，要使集合B是集合A的真子集，则需，即，故；综上，实数m的取值范围是.故答案为.结论点睛：本题考查必要不充分条件的应用，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．14．【分析】由题知不等式恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为函数的定义域是.所以不等式恒成立．所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；当时，则有，即，解得.综上，实数a的取值范围为.故答案为:15．##【分析】解，且，即得解.【详解】解：由幂函数满足（2）（4），所以函数在上是增函数，可得，且，由得或.不满足，满足.所以，故．故16．或或（1）设是区间上的共鸣区间，由解得结果即可得解；（2）根据题意转化为方程在上有两个不等的实根，然后换元，令，转化为在上有两个不等的实根，令，利用二次函数的性质列式可解得结果.【详解】（1）设是区间上的共鸣区间，因为在上递增，且在上的值域也为，所以，即，因为，所以或或，函数的共鸣区间为或或.（2）因为函数在上单调递增，若存在共鸣区间，则，即，也就是方程在上有两个不等的实根，令，得，所以在上有两个不等的实根，令，则，即，解得，故实数k的取值范围是关键点点睛：第二问利用等价转化思想将问题转化为二次函数的零点问题求解是解题关键.17．(1)，(2)【分析】（1）分别选择①②，求得集合，结合集合交集、并集和补集的运算，即可求解；（2）由（1）得到，根据题意转化为，分和，两种情况，结合集合的包含关系，列出不等式（组），即可求解.【详解】（1）当时，集合，若选①：函数有意义，满足，解得，即集合，所以，或，则.若选②：由不等式，可得，可得，所以，或，则.（2）由（1）知，集合，若，则，当时，可得，解得，此时满足；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.18．（1）证明见解析；（2）当时取得最小值，最小值为25.【分析】（1）由可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（2）时，即可求出.【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号，；（2）当时，，由（1）可知，，当且仅当，即时取等号，即当时，取得最小值.本题考查基本不等式的应用，属于中档题.19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用，解出值，检验即可；（2）令，得到，最后得到，则求出值域；（3）首先根据函数单调性的判定方法得到为减函数，再结合为奇函数，最终得到对恒成立，求出不等式右边的最小值即可.【详解】（1）因为函数是上的奇函数所以即:,解得，此时，，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数.（2），令，根据指数函数图像知，故，则，，，故的值域为.（3）设，根据指数函数单调性知，在上为增函数，故在上为减函数，故在上也为减函数.又因为为奇函数，所以不等式恒成立即恒成立，即恒成立所以对恒成立，即对恒成立，因为函数所以综上所述，的范围是.20．(1)；(2)2022年产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）.【分析】（1）根据已知数据，先求得参数；再根据关于的关系，即可求得函数关系式；（2）根据（1）中所求函数关系式，求函数的最大值即可.【详解】（1）因为当生产10千台空调需另投入的资金4000万元，故，解得；则，即（2）当时，，当时，取得最大值为；当时，，当且仅当，即时，取得最大值为；综上所述，当时，取得最大值，即2022年产量为（千台）时，企业所获年利润最大，最大利润为（万元）.21．(1)的取值范围为；(2)当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；(3)．【分析】（1）分和两种情况求解即可，（2）分三种情况解不等式，（3）由条件知对任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最大值即可【详解】（1）当时，即，则由，得，不合题意，当，即时，由不等式的解集为得，解得，所以的取值范围为；（2）因为，所以，即，当，即时，解得，所以不等式的解集为，当，即时，，因为，所以不等式的解集为，当，即时，，因为，所以，所以，所以不等式的解集为，综上，当，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（3）