2024年高考数学复习：25 轨迹八类求法(原卷版)

25轨迹一般情况下，求轨迹题，多在解析几何大题第一问，小题不太多。本专题例题所选大题，大多把第二问隐去。第二问放到下一个专题中归纳细讲。【题型一】直接法求轨迹【典例分析】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（）A． B．C． D．【经验总结】可以直接列出等量关系式解题步骤：1.根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。）2.根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。3.注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件【变式演练】1.若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（）A． B． C． D．2.已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且，则动点的轨迹C的方程为（）A． B．C． D．已知M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝6|eq\o(NP,\s\up6(→))|.(1)求动点P的轨迹C的方程；【题型二】相关点代入法【典例分析】已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程．【经验总结】一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或者两个多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻求代换关系。求谁设谁，设所求点坐标为（x，y）所依赖的点称之为“参数点”，设为或等“参数点”满足某个（些）方程，可供代入寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值。代入方程，消去参数值【变式演练】1.已知抛物线的焦点为.(1)点满足.当点在抛物线上运动时,求动点的轨迹方程;2.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.（1）求动点的轨迹曲线的方程；3.设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(PF,\s\up6(→))，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．【题型三】定义法【典例分析】已知动圆过定点，且与圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程．【经验总结】若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义直接求．椭圆，双曲线，抛物线的定义一些特殊图像的定义，如阿波罗尼斯圆两个圆内外切情况下，较多与圆锥曲线定义有关【变式演练】1、已知两个定圆O1:(x+2)2＋y2＝1：和O2(x-2)2＋y2＝4，它们的半径分别是1和2，.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，求动圆圆心M的轨迹方程，2、已知点，直线，点是直线上动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是（）双曲线B、抛物线C、椭圆D、圆3.已知点满足条件.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；【题型四】交轨法【典例分析】如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;【经验总结】交轨法，即轨迹交点法。所求点满足条件方程1所求点满足条件方程2动点是两轨迹方程，则满足两个轨迹所组成的方程组，通过两个方程选择适当的技巧消去参数得到轨迹的普通方程参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.【变式演练】1.已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。2.由圆外一定点向圆做割线，交圆周于A、B两点，求弦AB中点的轨迹【题型五】参数法【典例分析】如图3所示，过双曲线C：的左焦点F作直线l与双曲线交于P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求点M的轨迹方程。【经验总结】解题步骤：1引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标；2.消去参数，得到关于的方程，即为所求轨迹方程。【变式演练】1.已知抛物线y2＝4px(p>0)，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程．2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；3.设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．【题型六】立体几何中的轨迹本方法可参考立体几何专题对应的轨迹题型和方法总结【典例分析】已知正方体的棱长为a，定点M在棱上（但不在端点A，B上），点P是平面内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为，则点P的轨迹所在曲线为（）A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线【经验总结】立体几何内的轨迹，，尝尝从以下方向切入建系，利用空间坐标系求出方程。通过转化，把空间关系转化为平面关系，把空间轨迹转化为平面轨迹求解。【变式演练】1.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，并且平面，则动点的轨迹是（）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．线段2.在棱长为6的正方体中，点是线段的中点，是正方体（包括边界）上运动，且满足，则点的轨迹周长为________.3.如图，正方体中，为边的中点，点在底面和侧面上运动并且使，那么点的轨迹是（）A．两段圆弧 B．两段椭圆弧C．两段双曲线弧 D．两段抛物线弧【题型七】向量与轨迹【典例分析】已知O，A，B为平面上三点，若，，动点P和实数，满足，，，则动点P轨迹的测度是__________.（注：当动点的轨迹是曲线时，其测度指其长度；当动点的轨迹是平面区域时，其测度指该区域面积.）【经验总结】向量背景下求轨迹1.向量几何意义2.向量坐标运算或者数量积运算【变式演练】1.已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为___________.2.如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且，则下列结论正确的是（）A．当P在C点时，，B．当时，C．若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D．当P是线段CE的中点时，，3.已知是所在平面内一点，以下说法正确的是（）A．若动点满足，则点的轨迹一定通过的重心．B．若点满足，则点是的垂心．C．若为的外心，且，则是的内心．D．若，则点为的外心【题型八】复数中的轨迹（新高考）【典例分析】已知复平面内点对应的复数为，点对应的复数为，．若，在的轨迹上任取一点，求的面积取值范围．【经验总结】复数中的轨迹，基本是转化为解析几何来求利用复数的模运算转化利用复数的几何意义【变式演练】1.若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（）A． B． C． D．2.已知复数满足，则的轨迹为（）A．线段 B．直线C．椭圆 D．椭圆的一部分3.设非零复数是复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（）A．双曲线 B．圆 C．一条直线 D．抛物线模拟题1．设是定直线的法向量，定点在直线上，定点在直线外，为一动点，若点满足，则动点的轨迹为（）A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线2.已知O是所在平面内的一定点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心3.已知两定点，，动点与､的距离之比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（）A． B． C．0 D．44.已知椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为F1，F2，设Р为椭圆上一动点，角的外角平分线所在直线为l，过点F2做l的垂线，垂足为S，当点Р在椭圆上运动时，点S的轨迹所围成的图形的面积为：（）A．a2 B．4a2 C．' D．5.试运用类似上面的解法解下列问题：求函数的值域．6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体中，，点E在棱AB上，，动点P满足.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若点P在长方体内部运动，F为棱的中点，M为CP的中点，则点M到平面的距离的最小值为___________.7.满足的点的轨迹是（）A．圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线8.已知定点、，是动点且直线、的斜率之积为，则动点的轨迹可能是（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分9.如图，设点