2021年人教A版选修1-1数学第2章-圆锥曲线与方程单元测试卷含答案

2021年人教A版选修1-1数学第2章圆锥曲线与方程单元测试

卷含答案

学校：班级：姓名：考号:

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分，)

1.椭圆［+。=1焦点坐标是()

54

A.(±l,0)B.(±3,0)C.(0,±1)D.(0,±3)

2.已知双曲线/+my2=i的虚轴长是实轴长的两倍，则实数加的值是()

A.4B--JC.：D.-4

3.设椭圆《+、=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,上顶点为B.若旧尻|=

\FrF2\=2,则该椭圆的标准方程为()

22

A."=lv2v

B.-+y2=：1C.—+y=1D.y+y2=1

432,

X221

4.己知双曲线C:彳7=1，则C的渐近线方程为()

A.y=+^xB.y=±|xC.y=±|xD.y=:±x

5.准线方程为y:=2的抛物线的标准方程是()

A.x2—16yB.x2=8yC.x2=-16yD.x2:=—8y

6.己知椭圆的左右焦点分别为F2,过F2且垂直于长轴的直线交桶圆于A,B两点,

则AABFi的周长为()

A.4B.6C.8D.16

7.已知点4(0,1),抛物线C：V=ax(a>0)的焦点为凡射线凡4与抛物线相交于M,与

其准线相交于点N,若=2:遍，则a=()

A.2B.4C.6D.8

8.若双曲线/+三=1的渐近线方程为'=±：心则m的值为()

4—mm—23

A.1B.-C.-D.5

44

9.抛物线y=二2%2的通径长为()

A.2B.1D.i

4

10.若过点(一2,1)的圆M与两坐标轴都相切，则直线3x-4y+1=0与圆M的位置关系

是()

A.相交B相切C.相离D.不能确定

11.已知椭圆C:不三一+二=1的焦点在“轴上，且焦距为2VL则m=()

13-2mm-1

A.2B.3C.4D.5

12.已知椭圆C：l(a>b>0)的左焦点为F,过原点的直线，与C交于4,B不

同的两点，且4F1BF,延长AF,交C于点D,若伊用=2|DF|,则椭圆C的离心率是

()

A.iBKC.匹D.渔

2333

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分，)

士/I

13.双曲线42的渐近线方程是________.

14.已知点M(-4,0),椭圆9+\=1<0<b<2)的左焦点为F,过尸作直线，。的斜

率存在)交椭圆于力，8两点.若直线MF恰好平分々1MB,则椭圆的离心率为.

15.已知圆E：(x—a)2+y2=4&2(a>0)的圆心与抛物线C：/=2px(p>0)的焦点

F重合，过点F的直线/与抛物线C交于2,B两点，与圆E交于M,N两点，。为坐标原点,

若SAOAB=2Sh0MN=8V2,则实数a的值为.

222

16.已知双曲线C:^-3=l(a>0,b>0)的离心率为2,且双曲线C与椭圆±+y2=

1有相同的焦点.点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分

别为4B,则|4B|的最小值为.

试卷第2页，总19页

三、解答题(本题共计6小题，每题11分，共计66分，)

17.已知椭圆c[+5=l(a>b>0)的离心率e=$直线x+y-V5=0与圆M+

y2=b2相切.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点N(4,0)的直线2与椭圆交于不同两点4,B,线段4B的中垂线为匕求直线厂在

y轴上的截距m的取值范围.

18.设命题p：方程喘+三=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：

存在XWR,使得/一4%+Q<0.若〃PA(-)(?)"为真，求实数Q的取值范围.

19.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：摄+'=l(a>b>0)的右顶点为

4(2,0),焦距为2V1过点M(-4,0)的直线1(直线I的斜率不为零)与椭圆C交于P,Q

两点，直线AP,4Q分别交y轴于点E,F.

(2)求证:[。0|。可为定值.

20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:^+3=l(a>b>0)的长轴长为4,左准线1的

方程为x=-4

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线匕过椭圆E的左焦点Fi且与椭圆E交于4、B两点.

①若AB=g，求直线/的方程；

②过4作左准线I的垂线，垂足为41G(-1,0),求证：&B,G三点共线.

（第17fB7）

21.已知椭圆(：：■+2=l(a>b>0)的离心率是土椭圆C过点

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知FIJ2是椭圆C的左、右焦点，过点尸2的直线I(不过坐标原点)与椭圆C交于4,

B两点，求的取值范围.

22.已知双曲线的中心在原点，焦点Fi，尸2在坐标轴上，离心率为近且双曲线过点

P(4,-炳

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3,m)在双曲线上，(其中m<0),求麻「病的值.

试卷第4页，总19页

参考答案与试题解析

2021年人教A版选修1-1数学第2章圆锥曲线与方程单元测试

卷含答案

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）

1.

【答案】

A

【考点】

椭圆的定义

【解析】

根据椭圆的标准方程及基本量的平方关系，算出c=VH5F=i,即可得到它的焦点

坐标.

【解答】

解：•••椭圆的方程为1+胃=1,

54

椭圆的焦点在x轴上，（12=5且炉=4,可得c=7a2一炉=1.

因此可得椭圆的焦点坐标为（±1,0）.

故选4

2.

【答案】

B

【考点】

双曲线的标准方程

【解析】

双曲线=1的标准方程为一兰=1,由己知得2J1：=2X2,由此能求出

~m不

结果.

【解答】

2

解：:双曲线/+my?=1的标准方程为/一4=1,

m

虚轴长是实轴长的两倍，

2--=2x2,

ym

解得m=-i.

4

故选B.

3.

【答案】

A

【考点】

椭圆的标准方程

【解析】

由IBF2I=I&F2I=2,可得a=2c=2,即可求出a,b,从而可得椭圆的方程.

【解答】

解：；\BF2\=\F,F2\=2,

「•a=2c=2,

Q=2,C=1,

b=V3»

椭圆的方程为9+9=1.

故选a.

4.

【答案】

c

【考点】

双曲线的渐近线

【解析】

根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可.

【解答】

解：由题意可得，a=2,b=l,

则双曲线的渐近线方程为y=±^x=±|x.

故选C.

5.

【答案】

D

【考点】

抛物线的标准方程

【解析】

利用抛物线的简单性质求解抛物线方程即可.

【解答】

解：准线方程为y=2的抛物线的标准方程是：%2=-8y.

故选。.

6.

【答案】

C

【考点】

椭圆的离心率

【解析】

根据题意，由椭圆的方程求出a的值，结合椭圆的定义可得|AFi|+|AF2|=2a=4,

\BF1\+|BF2|=2a=4,而44B&的周长Z=|A&|+|B&|+|48|=(|40|+\AF2\)+

(|B&|+|BFz|),即可得答案.

【解答】

根据题意，椭圆，其中a2,

则有+|4F2|=2a=4,|8&|+|BF2|=2a=4,

△ABa的周长2=|4&|+田&|+\AB\

=(|4川+依眠|)+(伊瓦|+田/2|)=8,

7.

【答案】

D

试卷第6页，总19页

【考点】

斜率的计算公式

抛物线的性质

【解析】

无

【解答】

解：依题意尸点的坐标为（泉0），作MK垂直于准线，垂足为K，

由抛物线的定义知|MF|=\MK\,

因为=2：V5,

贝U|KN|:|KM|=1:2.

.0-147\KN\1

*=0=_%,七"=一两=一3,

所以一£=_；,求得a=8.

a2

故选D.

8.

【答案】

B

【考点】

双曲线的定义

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

9.

【答案】

C

【考点】

抛物线的定义

抛物线的性质

【解析】

抛物线y=-2%2,即工2=_.gy,可得2P.

【解答】

解：抛物线y=2/,

化为标准方程为/=|y,

可得2P=

因此通径长为今

故选C.

10.

【答案】

C

【考点】

直线与圆的位置关系

圆的标准方程

点到直线的距离公式

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为圆M与两坐标轴都相切，且点在该圆上,

所以可设圆M的方程为(x+a)2+(y-a/=a2,

所以(一2+a)2+(1—a)2=a2,

即a?—6a+5=0,

解得a—1或a-5.

当圆心坐标为(一1,1)时，圆的半径为1,

此时圆心到直线3x-4y+1=0的距离为3>1>

当圆心坐标为(-5,5)时，圆的半径为5,

此时圆心到直线3x-4y+1=0的距离为号>5.

故直线3x-4y+1=0与圆M相离.

故选C.

11.

【答案】

C

【考点】

椭圆的定义

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题意，a?=13-2m,b2=m—1,

2c=2>/2,c=V2,

由题意可得，a2-b2=c2,

即13-2m-(m-l)=2,

解得m=4.

故选C.

12.

【答案】

试卷第8页，总19页

c

【考点】

椭圆的离心率

椭圆的定义

【解析】

【解答】

解:设椭圆C的右焦点为F，,连接4P,BF',

设MF|=2m,则|DF|=/n,

\AF'\=2a-2m,\DF'\=2a-m.

由题意可知四边形4FBV是矩形，

则1(2a-2m)2+(2m)2=(2c)2,健得］a=3m,

'l(2a-2m)2+(3m)2-(2a—m)2,(c-y/5m,

故椭圆c的离心率是£=争=修

a3m3

故选c.

二、填空题(本题共计4小题，每题5分，共计20分)

13.

【答案】

y=±V2x

【考点】

双曲线的离心率

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

14.

【答案】

1

2

【考点】

直线与椭圆的位置关系

【解析】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系.

【解答】

解：如图，作点B关于x轴的对称点C,则点C在直线4M上.设l:y=k(x+

y=k(x+c),

22消去y得(4A：2+/)/+8攵2次+

1x

222xx,

4kc-4h=0,则％i1+不乙=4二k:2"+b：2，ix2乙=4k2+~bh22由角平分线的性质定理知

S=|S|，所以署=梵<*)'可得2g+(4+c)(Xi+x2)+8c=°，故

8b2(c—1)=0,所以c=1,故离心率e=2=：.

a2

故答案为：i.

15.

【答案】

2

【考点】

与抛物线有关的中点弦及弦长问题

圆与圆锥曲线的综合问题

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由题知a=导

因为底048=2S&0MN，

所以|4B|=2\MN\,

所以|MN|=4a=2p,|AB|=4p,

设直线，:x=ty+泉代入y2=2px(p>0)得

y2-2pty-p2=0,

2

所以%+y2=Zpt,%”=~P<

则|4B|=J(1+12)(4p2t2+4P2)—2P(1+t2)=4p,

即1+户=2,HPt=±l,

所以直线=y+a或x=-y+a,

△OMN的面积为

|x\MN\xd=|x4ax^=V2a2=4企,

解得a=2.

故答案为：2.

试卷第10页，总19页

16.

【答案】

V3

T

【考点】

圆锥曲线的共同特征

双曲线中的平面几何问题

基本不等式在最值问题中的应用

【解析】

无

【解答】

解：由题意可得「=£=2，则02=1,匕2=4一1=3,

lc==2

故双曲线C的方程为/一?=1,

其渐近线方程为6x±y=O.

设点PGo/o），IP*=小，\PB\=n,

iiiijh^o±zol,\^yA,

m=22n=

故=底辿.

4

因为点P在双曲线c上，

所以就一号=1,则nm=：.

因为渐近线百x-y=0的倾斜角为全

所以乙4。8=生，故

33

在△力PB中，

由余弦定理可得=m2+n2-2nmeosg

22、3

=m"+।九"一mn>mn=

4

当且仅当m=ri时等号成立，

则|4B|2日，即|4B|的最小值为,.

故答案为：f.

三、解答题（本题共计6小题，每题11分，共计66分）

17.

【答案】

解：⑴由题意得，e2=g=^=i,

&\ia2=-b2,

3

直线％+y-V6=0与圆/+y2=匕2相切，

得b=登=V3,a=2.

故椭圆的方程是。+4=1.

43

(2)由题意得直线I的斜率k存在且不为零,

设，：y=k(x-4),k丰0,4(%,yj,

B(x2,y2),AB中点QOo，%),

y=k(x—4),

联立消去y并整理得

J艺=1

43

(3+4k2)x2-32A2%+64k2-12=0.

32/

=

%1+%24H+3

由4=(-321)2-4(3+4k2)(641-12)>0,

解得-：<k<3

故一六仁<担心0.

+%216k2

Xo=~T~=4^3)

%=/0-4)=一箴.

得Q(黑，-蒜)，

由1:y-y0=一1(%—％o)，

即y+悬=一/一黑)，

化简得：，=-卜+儡

令x=0,得瓶=<k<；且kK°，

4k4+322

4k4

:，m=­；­=—3-

4H+34/c+yk

当0<k<三时，4/c+->8；

2k

当一gv/cCO时，4k+*V—8,

・,・<m<［且mH0,

综上，直线［'在y轴上的截距血的取值范围为

--<m<］且m工0.

22

【考点】

椭圆的离心率

直线与椭圆结合的最值问题

椭圆的标准方程

试卷第12页，总19页

直线与圆的位置关系

两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：(1)由题意得，e2=N=a—

即=，2,

直线x+y-V6=0与圆/+y2=〃相切,

得b=誓=V3,a=2.

故椭圆的方程是。+(=1.

43

(2)由题意得直线Z的斜率k存在且不为零,

设/：y=k(x-4),k手0,A01，%),

B(x2>%)，AB中点Q(&,y0)/

y=k(x-4),

联立"z消去y并整理得

匕+『1

(3+4k2)%2_32k2》+64k2-12=0.

32k2

Xi+%2=4k2+3'

由4=(-32/)2_4(3+4k2)(64/-12)>0,

解得一w

故-上上<阻心0.

+x216k2

X°=^~=4k^+3'

%=稔0-4)=一黑.

得Q(黑，-蒜)，

由I'：y7o=Y(*_*o)，

12k

即y+

3+4H沁-热)

化简得：、=一拉+热

令x=0,得?n=孩［-3<k<：且kK0,

4k4+322

4k4

m=——=—3-

4k2+34/c+yk

当0<k时，4k+§>8；

当一：<k<0时，4k+*V-8

・,・<m<沮小工0,

综上，直线2'在y轴上的截距小的取值范围为

111

——<m<一且m丰0.

22

18.

【答案】

解：命题p：(a+6)(a-7)<0,解得-6<a<7；

命题q：/=(-4)2-4a>0,解得a<4.

—iQ：a24.

"pA(rq)”为真，

p为真且rq为真，

4<a<7.

【考点】

逻辑联结词"或""且""非"

双曲线的标准方程

一元二次不等式的解法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：命题p：(a+6)(a-7)<0,解得-6<a<7；

命题q：4=(-4)2—4a>0,解得a<4.

—>q：a>4.

"p八Lq)”为真,

•・.p为真且「q为真，

4<a<7.

19.

【答案】

(1)解：由题意可知，a=2,焦距2c=2百，即c=Vl,

所以=a2—c2=1,

所以椭圆C的标准方程为?+y2=l.

(2)证明：点4的坐标为(2,0),

设直线/的方程为丫=40+4)伏,0),点「，Q的坐标分别为Qi，yi),(x2/y2),

联立方程亍+V=1，消去y后整理为

(y=k(x+4)

（4/c2+l）x2+32/c2x+64k2-4=0,

32d64k2-4

有％1+型=一，Xi%

4/c2+l24k2+1

由4=（32/）2_4（4fc2+i）（64U-4）=16（i_12k2）＞0,

可得一且

试卷第14页，总19页

直线4P的方程为：)/=恐0-2),

令x=。，可得点E的纵坐标为-悬=-鬻,

2双欠2+4)

同理可得点尸的纵坐标为-

X2-*2

4〃2|(占+4)(22+4)|

有|。图・|。?|=

|(X1-2)(X2-2)|

2

4fc|%1X2+4(%i+42)+16|

|X1X2-2(X1+X2)+4|

C2128k2

||674/^-~4一环+]614/.禺一

1

|64k2-4,64k2,I144k23

|4k2+1+4fc2+l+I4k2+1

故|0E|•|0F|为定值

【考点】

椭圆的标准方程

圆锥曲线中的定点与定值问题

【解析】

暂无

暂无

【解答】

(1)解：由题意可知，a=2,焦距2c=2百，即c=四,

所以i>2=a2—c2=1,

所以椭圆C的标准方程为?+f=1.

(2)证明：点4的坐标为(2,0),

设直线/的方程为丁=旗X+4)[40),点「,Q的坐标分别为(巧,％),(x2,y2),

7+y2=1，消去y后整理为

y=k(x4-4)

(4fc2+l)x2+32k2x+64k2-4=0,

64k2-4

有与+"2=一向，Xi%

2422+1

2

由A=(32/)2_4(4卜2+1)(64fe2-4)=16(1-12fc)>0,

可得一丫<k(左且

66

直线4P的方程为：)/=恐0-2),

令x=。，可得点E的纵坐标为-黑=-殁磬,

同理可得点尸的纵坐标为-吗尹,

旬OE|•\OF\=4dleI+4)(22+4)|

咯-2)(不一2)|

2

4fc\xrx2+4(%i4-x2)+16|

|X1X2-2(X1+X2)+4|

|64fc2-4128k2|

2

1/；.>..■•一RTT+164k-^-i

4k2+1_2

164k2—464k2,.I144k2-3，

++42

|^7r^7T|4k+1

故|0E|•I。用为定值

20.

【答案】

(2a=4ra=2

解：设焦距为2c由题意可知：j-y=-4,解得/=3,

\b2=a2—c2(C=1

椭圆的标准方程为：。+。=1;

43

(2)①由(1)可知：&(-1,0),故直线k不与x轴重合，设直线

匕方程为：x=my-l,AOi，yJB(x2,,y2),

联立方程：｛)^y2-12'消去x得:37n之+4)y2-6my-9=0,

2

八c3m±6Vm+l

2

△=144(m+1)>0,ylf2=334

•••MB|=](与一+(yi—+=2・1%一%|=累2r=半

解得：m=±1,

直线。的方程为：%±y-1=0；

②&=(-4,yJ,由①可知：乃+丫2=京=丫2=端为，

2yl_。2=2瓶打.2+3仇+?2)=0

kA]G-kBG

3x2+13my2+j

kA^G=kpG，由此，A1,B,G二点共线.

【考点】

圆锥曲线中的定点与定值问题

与椭圆有关的中点弦及弦长问题

直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆结合的最值问题

椭圆的标准方程

【解析】

(1)由题意列出a,b,c的方程组，解出a,b,c的值,即可求出椭圆的标准方程；

(2)①由(1)可知：&(一1,0),48=m彳4故直线1,不与x轴重合，设直线I,方程

为：x=my-1,以立力),与桶圆方程联立，利用弦长公式求出|4B|

的长，即可求出m的值，从而求出直线。的方程:②&=(一4疗］),由①可知：为+

》2=3^2+4，丫1=3m2+4,得到"道=MG，由此'&B,G二点共线，

【解答】

试卷第16页，总19页

’2”4e=2

解：〈1)设焦距为2c由题意可知：(一?=一4,解得炉=3,

<b2=a2—c2(C=1

椭圆的标准方程为：

43

(2)①由(1)可知：&(-1,0),4口二景4%故直线。不与x轴重合，设直

线。方程为：x=my-l,AO1,％)B(x2,,y^)<

联立方程：[[)1消去x得:(3m2+4)y2-6^-9=0,

LoX十4y—JLZ

r3m±6V?n2+l

△=144(jn2+1)>0%,2=3m2+4

•••|4B|=「01-物)2+31—%)2=+m2.1%一丫2|=,，

解得：m=±1,

直线Zi的方程为：x±y—1=0；

②为=(-4,yj,由①可知：丫1+丫2=靠彳、2=就了

2yl_y_2叩1-2+35+%)_0

kA]G-k2

BG3x2+13my2+1

kArG=kBG,由此，AltBfG三点共线.

【答案】

fa2-b2_1

解：(1)由条件知｛了一:‘解得C:二:‘

因此椭圆C的方程为<=1.

43

(2)设4(孙乃),「(%2，乃)，

=(%1+

则1,%),F]B=(x2+1，%)-

设直线/的方程为％=my+1,

代入椭圆。的方程消去工,得(3*+4)y2+6my-9=0,

由韦达定理得力+丫2=^，为、2=急，

2

&A•F】B=(与+l)(x2+1)+乃丫=(见为+2)(my2+2)+yxy2

=(1+巾2》,2+2nl(yi+、2)+4