2021年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学一模试卷（含解析）

2021年辽宁省葫芦岛市龙港区中考数学一模试卷

一、选择题（共io小题）.

1.如果2r=3y,那么三的值为（）

y

A.B.C.4D.-f-

3523

2.在RtZiABC中，/C=90°,NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c,下列等式中成

立的是（）

A.sinA=~B.cosB=~C.tanB=—D.tanC=^

bccb

3.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到AA'B'C,以下说法

中错误的是（）

A.△ABCsMB'C

B.点C、点。、点C'三点在同一直线上

C.AB//A'B'

D.AO-.AA'=1：2

4.如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方

体②的正上方，下列关于移动后儿何体的三视图说法正确的是（）

正面

A.左视图发生改变

B.俯视图发生改变

C.主视图发生改变

D.左视图、俯视图、主视图都发生改变

5.如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

6.如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线

BD=2CD,设斜坡AC的坡度为MC,坡角为NACD,斜坡AB的坡度为iAB,坡角为NABD,

则下列结论正确的是（）

A

CDB水平面

A.iAC=2iABB.ZACD^2ZABDC.2MC=MBD.2NACD=/ABD

7.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂b=「cosa,阻力臂L2=/,COS0,如果动力F

的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是

C.越来越大D.无法确定

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB,CD,EF,G”是正方形OP。/?边上的线段，点

M在其中某条线段上，若射线O例与x轴正半轴的夹角为a,且sina>cosa,则点M所

在的线段可以是（）

HGFEO

"■D

!c

IB

O

A.AB和CDB.ABEFC.CD和GHD.EF和GH

9.如图，Z1=Z2,要使只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是

AD_ABACBC

A.NB=NDB.NC=NEAE=ACAE"DE

10.正方形ABC。边长为3cm动点P从8出发，以3cs/s的速度沿B-Af£>-C向C运

动；同时动点Q以lcm/s的速度沿着BC向C运动.如果一个点到达终点，则另一个点

也停止运动.设运动时间为，秒，△PQQ的面积为Sc/,则大致反映S与，变化关系的

图象是（）

11.两个相似三角形对应角平分线的比为4：3,那么这两个三角形的面积的比是

.在AABC中，若乙4、满足|cosA-5|+(sinB-返)2=0,则NC=

12

22

13.如图是某个几何体的展开图，该几何体是.

14.如图，在平面直角坐标系中有一点P(6,8),那么。尸与x轴的正半轴的夹角a的余

15.某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7

个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室.为了解初三年级学生的答

疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率

为.

16.下列图形中，是中心对称的图形有.

①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形.

17.如图，在OA8CQ中，延长CO至点E,使。E=DC,连接BE与AC于点F,则器的

值是__________________

18.如图，在平面直角坐标系中，正方形481GA2与正方形A282c2A3是以。为位似中心的

位似图形，且位似比为点点4,A2,4在X轴上，延长A3c2交射线与点氏，以

A3B3A3B3C3A4；4C3,

为边作正方形延长交射线OBi与点B4,以A4BA为边作正方形

A484c4A5；…按照这样的规律继续作下去，若041=1,则正方形42021及021。202142022的面

积为

2

19.先化简，再求值：借-1）4■三萼①，其中x=&-L

X-lx"-l

20.我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学.某

校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：4非常满

意；民很满意；C.一般；D.不满意.将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完

整的统计表和统计图（如图所示）.请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题.

频数分布统计表

类别频数频率

A60n

Bm0.4

C900.3

D300.1

（1）接受问卷调查的学生共有人；机=,"=；

（2）补全条形统计图；

（3）若该学校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”

满意度为A类和B类的学生共有多少人；

（4）为改进教学，学校决定从选填结果是。类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随

机抽取两名学生参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率.

心分布条形统计图

21.某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，桥4B是水

平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬

停，此时测得桥两端A,B两点的俯角分别为60°和45°,求桥A8的长度.

22.点A是反比例函数y=2(x>0)的图象八上一点，直线AB〃x轴，交反比例函数y=

x

—(x>0)的图象/2于点B,直线AC〃y轴，交/2于点C,直线CO〃x轴，交人于点Q.

x

(1)若点A(1,1),求线段AB和C£>的长度；

(2)对于任意的点A(a,b),判断线段48和CO的大小关系，并证明.

五、(共12分)

23.如图，在△ABC中，点。是AB边上一点，OB=OC,NB=30°,过点A的。。切BC

于点£>,CO平分NACB.

(1)求证：AC是。0的切线；

(2)若BC=12,求。。的半径长;

(3)求阴影部分的面积.

六、(共12分)

24.某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服

装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10

的正整数倍.

(1)当100GW300时，y与x的函数关系式为.

(2)某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？

(3)零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x(100WxW400)件，服装厂的利润为w

元，问：x为何值时，卬最大？最大值是多少？

七、(共12分)

25.如图，在菱形A8C力中，NB=60°,P在8边上，。在BC的延长线上，CP=CQ,

射线AP交。。于连接MC.

(1)如图①，当点P是CO中点时，线段/C,MD,MA的数量关系是；

(2)如图②，当点P不是CQ中点时，(1)的结论是否成立？若成立，请写出证明过

程；若不成立，请说明理由；

(3)若A8=8,AP=7,直接写出。M的长.

26.如图，抛物线)，="2+笈+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与)，轴交于点C,

连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)尸是线段8C上一点，射线AP交抛物线于点F.

①连接FC,FB,若SAFPC=2S»PB,求点F的坐标；

②抛物线的顶点为。，当。P+返BP有最小值时，将沿x轴正方向平移f个单位

2

长度(0W/W4)得到△4'D'P',设OP与△BOC重叠部分的面积记为S,请直接

写出S与r的函数关系式.

备用图

参考答案

一、选择题（每题3分，共3（）分）

1.如果2x=3y,那么三的值为（）

y

A.4B.c.4D.4

3523

【分析】根据比例的性质即可得到结论，

解：V2x=3y,

.x_3

..———,

y2

故选：C.

2.在RtZVIBC中，ZC=90°,NA、/B、NC所对的边分别为〃、b、c,下列等式中成

立的是（）

A・sinA=--B.cosB=—C.tanB=—D.tanC=--

bccb

【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可.

解：在中，ZC=90°,NA、NB、NC所对的边分别为〃、b、c,

则sinA=且，A错误；

c

cosB=—,B正确；

c

tanB=—,C错误；

a

tanC不存在，。错误；

故选：B.

3.如图，以点。为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到△A'"Cf,以下说法

中错误的是（）

A.△ABCs/VL'B'C

B.点C、点0、点C'三点在同一直线上

C.AB//A'B'

D.AO：AA'=1：2

【分析】根据位似图形的概念判断即可.

解：；以点。为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△△'B'C,

」.△ABC与△?!'B'C是位似图形，

：2BCs〉NB'C,A选项说法正确，不符合题意；

点C、点0、点C'三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；

AB//A'B',C选项说法正确，不符合题意；

A。：AA'=1：3,。选项说法错误，符合题意；

故选：D.

4.如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方

体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（）

正面

A.左视图发生改变

B.俯视图发生改变

C.主视图发生改变

D.左视图、俯视图、主视图都发生改变

【分析】根据三视图的定义求解即可.

解：主视图发生变化，上层的小正方体由原来位于左边变为右边;

俯视图和左视图都没有发生变化，

故选：C.

5.如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）

【分析】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可.

解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：娓,

第二个三角形的三边的三边之比为：血：疾:疾，

第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：娓,

第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：五,

只有第一和第三个三角形的三边成比例，

所以只有第一和第三个三角形相似，

故选：A.

6.如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AZ）,

BD=2CD,设斜坡AC的坡度为%c，坡角为斜坡AB的坡度为MB,坡角为/A8D,

则下列结论正确的是（）

A.MC=2MBB.ZACD=2ZABDC.2UC=MBD.2ZACD=ZABD

【分析】根据坡度的概念分别表示出iAC、i",根据题意判断即可.

解：斜坡AC的坡度法=黑，斜坡AB的坡度褊=黑，

CDBD

<BD=2CD,

：・iAC=2iAB,A正确，C错误；

ZACD^2ZABD,B错误；

2ZACD^ZABD,。错误；

故选：A.

7.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂Li=L・cosa,阻力臂L2=/・cos|3,如果动力产

的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是

)

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定

【分析】根据杠杆原理及cosa的值随着a的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求

得答案.

解：•••动力X动力臂=阻力X阻力臂，

二当阻力及阻力臂不变时，动力X动力臂为定值，且定值>0,

,动力随着动力臂的增大而减小，

•••杠杆向下运动时a的度数越来越小，此时cosa的值越来越大，而p的度数越来越大，

COS0的值越来越小，

二阻力臂越来越小，而阻力不变，

•••动力X动力臂越来越小，而动力臂越来越大，

.•.此时的动力越来越小，

故选：A.

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB,CD,EF,G4是正方形OPQR边上的线段，点

M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为a,且sina>cosa,则点M所

在的线段可以是（）

叶

HGFEO

Ro----------------1~

U

!c

悟

__________I4—

-OPx

A.A8和COB.ABftEFC.CO和GHD.EF和GH

【分析】如图，当点M在线段AB上时，连接。M.根据正弦函数，余弦函数的定义判

断sina,cosa的大小.当点M在EF上时，作MJ_LOP于J.判断sina,cosa的大小即

可解决问题.

解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM.

—HGFEO•*-

"B

DUQD

Vsina=-cosa=--,OP>PM,

ONOM

.*.xzna<cosa,

同法可证，点M在C。上时，sina<cosa,

如图，当点M在E尸上时，作MALOP于，.

B

Vsina=-^-,cosa=^",OJVMJ,

OMOM

sina>cosa,

同法可证，点M在GH上时，sina>cosa,

故选：

9.如图，Z1=Z2,要使△ABCS/VIOE,只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是

AD_ABACJC

A./B=NDB.ZC=ZE・AE"ACD.AE"DE

【分析】根据N1=N2可得ND4E=N8AG再结合相似三角形的判定方法进行分析即

可.

解：VZ1=Z2,

JZ\+ZBAE=Z2+ZBAE,

：.ZDAE=ZBAC,

A、添加N8=NO可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABCs4

ADE,故此选项不合题意；

B、添加NC=NE可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABCs4

ADE,故此选项不合题意；

C、添加反黑可利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ABCs4

AEAC

ADE,故此选项不合题意；

D、添加日卓不能证明△ABCSAAOE,故此选项符合题意；

AEED

故选：D.

10.正方形ABCQ边长为3。〃，动点P从B出发，以3c”心的速度沿BfAf。一C向C运

动；同时动点Q以\cmls的速度沿着BC向C运动.如果一个点到达终点，则另一个点

也停止运动.设运动时间为f秒，△PZ5Q的面积为Sc,*,则大致反映S与「变化关系的

图象是（）

-

【分析】分点户在AB上运动、点P在A£＞上运动、点P在CD上运动三种情况，分别

求出函数表达式，即可求解.

解：(1)当点P在4B上运动时，则PB=3f,BQ=t,

贝ijAP=3-3f,CQ=3-t,

13

S-S正方形ABCD-SAPBQ-S^ADP-SACOQ=3X3--\t*3t+(3-3r)X3+3(3-t)]=--z2+6z,

该函数为开口向下的抛物线；

②当点P在AD上运动时，

1QQQ

则S=—XP£)XAB=—X(3f-3)=-t---；

2222

③当点P在C£＞上运动时，

同理可得S=-＞1(f-2)(r-3)为开口向下的抛物线；

故选：B.

二、填空题(每题3分，共24分)

11.两个相似三角形对应角平分线的比为4：3,那么这两个三角形的面积的比是16：9.

【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求得它们的相似比，又由

相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案.

解：：两个相似三角形对应角平分线的比为4：3,

,它们的相似比为4：3,

,它们的面积比为16：9.

故答案为：16：9.

12.在△A8C中，若乙4、NB满足|cosA-」|+(sinB-返)2=0,则NC=75°.

22

【分析】首先根据绝对值与偶次嘉具有非负性可知cos4-5=0,sinB-返=0,然后根

据特殊角的三角函数值得到/A、NB的度数，再根据三角形内角和为180°算出/C的

度数即可.

解：•:IcosA-《|+(sinB-返)2=0,

22

AcosA--=0,sinB-返=0,

22

.41.DV2

22

・・・N4=60°,NB=45°，

则NC=180°-ZA-ZB=180°-60°-45°=75°,

故答案为：75；

13.如图是某个几何体的展开图，该几何体是三棱柱.

【分析】由展开图可得，该几何体有三个面是长方形，两个面是三角形，据此可得该儿

何体为三棱柱.

解：由展开图可得，该几何体有三个面是长方形，两个面是三角形，

该几何体为三棱柱，

故答案为：三棱柱.

14.如图，在平面直角坐标系中有一点尸（6,8）,那么0P与x轴的正半轴的夹角a的余

【分析】如图作轴于”.利用勾股定理求出0P,根据cosa=^计算即可.

解：如图作轴于H.

:P(6,8),

，OH=6,PH=8,

•*-0P={62+82=1。，

故答案为：

5

15.某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7

个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室.为了解初三年级学生的答

疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为

廷

7--

【分析】根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率.

解：根据题意可知：

共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，

管理人员随机进入一个网络教室，

则该教室是数学答疑教室的概率为

故答案为：-y.

16.下列图形中，是中心对称的图形有①②④⑥.

①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形.

【分析】根据中心对称图形的概念解答.

解：根据中心对称图形的概念，是中心对称的图形有①正方形；②长方形；④线段；⑥

平行四边形.

故答案是：①②④⑥.

17.如图，在。ABC。中，延长至点E,使OE=OC,连接BE与AC于点凡则冬的

FE

值是4•

~2~

E

D

BC

【分析】在QABCD中，AB//CD,AB=CD,根据£>E=£>C,可得AB=CD=OE=^CE,

再由4B〃C£>,可得AABFSACEF,对应边成比例即可求得结论.

解：在口48。£）中，AB//CD,AB^CD,

•:DE=DC,

：.AB^CD=DE=-CE,

2

\'AB//CD,

:.△ABFsXCEF,

.BF=AB=1

故答案为：

18.如图，在平面直角坐标系中，正方形A1BC1A2与正方形A282cM3是以。为位似中心的

位似图形，且位似比为a，点4,A2,A3在x轴上，延长A3c2交射线。8|与点明,以

43%为边作正方形A383c3/U；延长/UC3,交射线0B1与点以,以4B4为边作正方形

A4B4C4A5：…按照这样的规律继续作下去，若OAi=l,则正方形A2021B2021C2021A2022的面

积为24丽.

【分析】根据位似图形的概念求出0A2,根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据

规律解答即可.

解：•.•正方形4BGA2与正方形A2&C2A3是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比

4

.AIBI1

••夏方

「轴，Ai&Lc轴,

：.0A\B\^/\0AIB2,

.QA1_A1B11

**0A2A2B22'

；04=l,

OA2~2,

.\A\A2=1,

，正方形A\B\C\Ai的面积=1=4°,

0Al=AIA2=AI8I=1,

・・・NB]04=45°,

.\OAI=A2B2=29

，正方形A282c2A3的面积=2X2=41

•・・A3&_Lx轴，

.,.OA3=A3B3=4,

，正方形A3B3C3A4的面积=4X4=16=42,

2021120204040

则正方形A20213202c202也022的面积为4-=4=2,

故答案为：24函.

三、（共22分）

2

19.先化简，再求值：%-1HX亨+1,其中X=&-1.

xTx-1

【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把工的值代入计算即可.

XZ1)二(x+11

解：原式=(一

x-1X-1(x+1)(x-1)

=1乂X1

X-1x+1

1

x+1'

1<2

当X=&-1时，原式=

&-1+12

20.我市各学校积极响应上级“停课不停教、停课不停学”的要求，开展了空中在线教学.某

校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A.非常满

意；8.很满意；C.一般；D.不满意.将收集到的信息进行了统计，绘制成如下不完

整的统计表和统计图（如图所示）.请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题.

频数分布统计表

类别频数频率

A60n

Bm0.4

C900.3

D300.1

（1）接受问卷调杳的学生共有300人:，"=120,〃=0.2；

（2）补全条形统计图；

（3）若该学校共有学生3000人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”

满意度为A类和B类的学生共有多少人；

（4）为改进教学，学校决定从选填结果是。类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随

机抽取两名学生参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率.

心分布条形统计图

【分析】（1）用C类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数乘以0.4

得到，〃的值，由A类的人数即可求出〃的值；

（2）由（1）可知机的值，进而补全条形统计图即可；

（3）求出满意度为A类和B类的共占的百分比即可估计该校对“网络直播课”满意度为

A类和8类的学生数；

（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲、乙两名学生同时被选中的结果

数，然后根据概率公式求解.

解：（1）接受问卷调查的学生共有90・0.3=300（人），，*=300X0.4=120（人），60

+300=0.2,

故答案为：300,120,0.2；

（2）补全条形统计图如下:

人数分布条形统计图

(3)3000X(0.2+0.4)=1800(人)，

答：估计该校对“网络直播课”满意度为A类和8类的学生共有1800人;

（4）画树状图为:

共有12种等可能的结果数,其中甲、乙两名学生同时被选中的结果数为2,

所以甲、乙两名学生同时被选中的概率

12o

四、（共24分）

21.某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，桥AB是水

平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬

,求桥的长度.

【分析】过点C作CDLAB,垂足为根据在C处测得桥两端A,B两点的俯角分别

为60°和45°,可得NC4D=NMC4=60°,NCBD=NNCB=45°,利用特殊角懂得

三角函数求解即可.

解：如图示：过点C作COL48,垂足为

由题意得，/MCA=/A=60°,NNCB=NB=45°,CD=120(米)，

在Rt^ACO中，AD=-^^=犁=40«(米)，

tan60V3、°

在Rt^BCC中，

'：ZCBD=45°,

：.BD^CD=]20(米)，

：.AB=AD+BD=(4073+120)(米).

答：桥A8的长度为(40«+120)米.

22.点A是反比例函数(x>0)的图象/i上一点，直线A8〃x轴，交反比例函数)，=

X

Q

—(x>0)的图象/2于点'直线AC〃y轴，交/2于点C,直线CQ〃无轴，交h于点D.

x

(1)若点A(1,1),求线段AB和CD的长度；

(2)对于任意的点A(mb),判断线段AB和8的大小关系，并证明.

【分析】(1)根据题意求得8(3,1),C(1,3),D(得，3),即可求得AB和CD

的长度;

(2)根据题意得到A(〃，—),B(3a,—).C(a,—)，D,进一■步求

aaa3a

9

得CD巧■4.即可求得A3>CD

o

解：(1)-：AB//x^,A(1,1),8在反比例函数yV(x>0)的图象上,

：.B(3,1).

同理可求：C(1,3),D3).

2

：.AB=2,CD=—.

3

(2)AB>CD.

证明：:A(mb),A在反比例函数y+(x>0)的图象上,

.♦.A(a,—).

a

・・・A8〃x轴，8在反比例函数y-1"(x>0)的图象上，

:.B(3m—).

a

同理可求：C(a,—),D.

a3a

2

：.AB=2a,CD=—^,

3

•・•〃>(),

9

2。>—a.

3

：.AB>CD,

*

jr

五、(共12分)

23.如图，在AABC中，点。是AB边上一点，OB=OC,NB=30°,过点A的。0切BC

于点力，CO平分/AC8.

(1)求证：AC是。0的切线：

(2)若BC=12,求。。的半径长；

(3)求阴影部分的面积.

A

o

BDC

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出/OC8=NB=30°.由角平分线的定义以及

切线的判定定理即可得到结论；

（2）连接0。，设0C交。。于点F.得出NCOC=N8OD=60°,CD=yBC=6,解

直角三角形即可得到结论；

（3）由三角形的面积公式和扇形的面积公式可得出答案.

【解答】（1）证明：'COB^OC,ZB=30°,

AZ0CB=ZB=30°.

又：CO平分NAC8,

AZACB=2ZOCB=60°.

：.ZBAC=90°.

J.OAVAC,

；.AC是。。的切线；

（2）解：如图，连接。£>,设。C交。。于点F.

QO切BC于点D,

：.OD±BC.

XVOB=OC,NB=30°,BC=12,

.•.NCOD=/8OD=60°,CD=-BC^6,

2

；tan/COD=WC"D,

OD

(3)解：V00=273-ZDOF=60°,

6071.(273)2

SBI5&oco-SaigODA=-^-X6X2-y3-

®-.=6如-2n.

360

六、（共12分）

24.某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服

装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10

的正整数倍.

（1）当100WxW300时，y与x的函数关系式为y=-击.计110.

（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元?

（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100WxW400）件，服装厂的利润为卬

元，问：x为何值时，卬最大？最大值是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可;

（2）当x=200时，代入y=-上产+110,确定批发单价，根据总价=批发单价X200,

进而求出答案;

（3）首先根据服装厂获利卬元，当100WxW300且x为10整数倍时，得出卬与x的函

数关系式，进而得出最值，再利用当300<xW400时求出最值，进而比较得出即可.

解：（1）当100WxW300时，设y与x的函数关系式为：y^kx+b,根据题意得出:

（100k+b=100

l300k+b=80'

解得：｛10,

b=110

与x的函数关系式为：y=-焉x+110,

故答案为：y=~-^-x+110；

(2)当x=200时，y=-20+110=90,

.*.90X200=18000(元)，

答:某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元;

(3)分两种情况：

①当100WxW300时，卬=(-击x+110-71)x=-卷x2+39x=-需(x-195>+3802.5,

•••批发件数x为10的正整数倍，

.•.当x=190或200时，w有最大值是：-需(200-195)2+3802.5=3800；

②当300VxW400时，w=(80-71)x=9x,

当x=400时，卬有最大值是：9X400=3600,

,一次性批发A品牌服装x(100WxW400)件时，x为190或200时，卬最大，最大值

是3800元.

七、(共12分)

25.如图，在菱形ABC。中，ZB=60°,P在C。边上，Q在BC的延长线上，CP=CQ,

射线AP交QQ于仞，连接

(1)如图①，当点P是CD中点B寸，线段MC,MD,MA的数量关系是MC+MD=MA；

(2)如图②，当点尸不是C。中点时，(1)的结论是否成立？若成立，请写出证明过

程；若不成立，请说明理由；

(3)若AB=8,AP=7,直接写出QM的长.

【分析】(1)连接AC,PQ,根据菱形A8CD,48=60°,可得△AC。是等边三角形,

再由点尸是C£>中点，可得AP_LCC,/CAP=ND4尸=30°,进而可得△CP。是等边

三角形，可得出/PO0=NPQ£)=3O°,ZADM^ZADC+ZCDQ^90Q,结论可证;

(2)在AM上截取AN=MZ),构造全等三角形：△ACN四△QCM,再证明是等

边三角形，即可证得结论;

(3)分两种情况：DP<CP^DP>CP,过点A作A”,CO于点H,构造直角三角形,

运用解直角三角形或勾股定理求出OP,再证明△CPASAMPD,运用相似三角形性质列

方程求解即可.

解：(1)MC+MD=AM.理由如下：

连接AC,PQ,

「菱形ABC£>,NB=60°,

.•.△AC。是等边三角形，AB〃C£),

；.NDCQ=NB=60°,

♦.•点「是8中点，

J.AP1.CD,ZCAP=ZDAP=-ZCAD=30<,,

2

：.MC=MD,

•：CP=CQ,

.•.△CPQ是等边三角形，

：.ZCPQ=ZCQP^60°,PQ=CP,

,:PD=CP,

：.PD=PQ,

J.ZPDQ^ZPQD,

'：ZPDQ+ZPQD=ZCPQ=60°,

:.NPDQ=NPQD=30°,

ZADM=ZADC+ZCDQ=90°,

：.MC=MD=­MA,

2

：.MC+MD=MA；

故答案为：MC+MD=MA；

(2)成立.理由如下：

在AM上截取AN=MD,

:四边形A8CD是菱形，ZB=60°,

：.DA=DC,ZADC=ZB=60°,AB//CD,

...△AC。是等边三角形，ZDCe=ZB=60°,

：.CA=CD,ZACD=ZCAD=f>0°,

ZACD^ZDCQ,

YCP=CQ,

.,.△ACP^ADCG(SAS),

：.ZCAP=ZCDQfCA=CDt

:•△ACNQADCM(SAS),

:・CN=CM,NACN=NDCM,

：./ACN+/DCN=/DCM+/DCN=NMCN,

：.ZMCN=ZACD=60°,

•••△MCN是等边三角形，

:・MC=MN,

：.MC+MD=MN+AN=MA：

(3)如图③过点A作4H_LC£>于点，，

丁四边形ABC。是菱形，ZB=60°,AB=8,

：.DA=DC=AB=SfNADC=NB=60°,AB//CDf

・・・△ACO是等边三角形，NDCQ=NB=60°,

•；AH_LCD,

：.CH=DH=—CD=4,

2

AU

V—=sinZA£>C,

AD

/.AH=AD9sinZADC=S•sin60°=4^/3,

・・・AP=7,

22=2

•*-W=VAP-AH77-(W3)2=L

:・DP=DH-PH=3,

9

：ZCAP=ZCDQfZCPA=ZMPD,

:.XCPAsXMP。,

.DMACnnDM8

DPAP37

如图④，过点4作A”_LCD于点H,

:四边形A8C£>是菱形，NB=60°,AB=8,

：.DA^DC=AB=S,/ADC=NB=60°,AB//CD,

.'.△ACO是等边三角形，NDCQ=NB=60°,

:AH_LCD,

：.CH=DH=—CD=4,

2

AH

・・•妥=sinNAOC

AD

.\AH=AD9sinZADC=S*sin60°=4^/3,

VAP=7,

•*-PH=dhP2fH2r於_（娟）2=1,

：.DP=DH+PH=5f

'：ZCAP=ZCDQfNCPA=NMPD,

：・/\CPAsXMPD,

.DMACRnDM8

DPAP57

AD

26.如图，抛物线>="2+云+3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与)，轴交于点C,

连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)尸是线段8C上一点，射线AP交抛物线于点F.

①连接FC,FB,若SAFPC=2S»PB,求点F的坐标；

②抛物线的顶点为。，当。P+返BP有最小值时，将△△£>/>沿x轴正方向平移f个单位

2

长度(0W/W4)得到△4'D'P',设OP与△BOC重叠部分的面积记为S,请直接

写出S与r的函数关系式.

【分析】(1)4(-1,0),B(3,0)RAy=ax2+bx+3可得解析式；

(2)①过P作