北师大版初中数学九年级下册3.3 垂径定理 同步课件

第三章圆3.3垂径定理1.理解垂径定理的推导。2.利用垂径定理解决实际问题。学习目标你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．创设情境，引入新知它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37.4m7.2m创设情境，引入新知核心知识点一：垂径定理及其推论OOO圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.自主合作，探究新知根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？并尝试证明？AM=A’M⌒⌒AC＝A’C，AD＝A’Ｄ⌒⌒已知：线段AA’是⊙O的一条弦，直径CD⊥AA’，垂足为M。求证：AM=A’M,⌒⌒AC=A’C,⌒⌒AD=A’D.OADCA'M自主合作，探究新知证明:设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上的点CD以外的任意一点.OADC

过A作AA'垂直CD，交于⊙O点A'，垂足为M，连接OA，OA'.A'M在△OAA'中，∵OA=OA'，∴△OAA'是等腰三角形.又∵AA'垂直CD∴MA=MA'即CD是AA'的垂直平分线.自主合作，探究新知从上面的证明过程中我们可以知道：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A'重合，AE与BE重合，AC和A'C,AD与A'D重合．⌒⌒⌒⌒∴MA=MA',AC=A'C,AD=A'D))))即直径CD平分弦AA'，并且平分AA',ACA'))自主合作，探究新知归纳总结垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．用几何语言表述为：如图，在⊙O中，归纳总结垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABO

DC归纳总结练一练：判断下列图形，能否使用垂径定理？CDABOCDEOCDABO定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦牛刀小试如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M（1）图是轴对称图形吗?如果是其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.CDABMO自主合作，探究新知连接OA、OB，易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC∴AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒即直径CD⊥AB，直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB⌒⌒CDABMO自主合作，探究新知归纳总结MCD垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。符号语言：在⊙O中，∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB，AC=BC，AD=BD⌒⌒⌒⌒归纳总结根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.归纳总结归纳总结例：如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中

,点O是

所在圆的圆心），其中CD=600m，E为

上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.EODCF└典例解析解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.●

OCDEF┗典例解析试一试：1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）.巩固练习解：如图，OD=OC–DC=R–7.2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2

，即

R2=18.72+（R–7.2）2解得R≈27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.AB=37.4，CD=7.2巩固练习1.已知⊙0的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到弦AB的距离为()A.8cmB.5cmC.9cmD.12cmBAO∟DD随堂练习2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（）CM=DMB.C.∠ACD=∠ADCD.OM=MDD

随堂练习3.如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点,若BC=6,AB=10,OD⊥BC于点D,则OD的长为______4随堂练习4.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长.随堂练习解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸.∵CD为直径，且CD⊥AB,∴寸.在Rt△AOE中，∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，解得r=13.∴CD=26寸.随堂练习5.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？解：AC=BD.理由如下:如图所示,过点О作OE⊥AB于点E.∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED,∴AE-CE=EB-ED,