专题03 与圆有关的角和圆内接四边形（题型专练）（解析版）

专题03与圆有关的角和圆内接四边形（4个考点6大类型）【题型1直径所对圆周角为90°的运用】【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【题型3圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】【题型4利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】【题型5圆内接四边形的综合运用】【题型6运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】【题型1直径所对圆周角为90°的运用】1．（2023•香坊区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（）A． B． C．1 D．【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3，∴AC＝．故选：A．2．（2022秋•建昌县期末）如图，以AB为直径的半圆O上有C，D的两点，，则∠BDC的度数为（）A．30° B．35° C．45° D．60°【答案】C【解答】解：∵弧AC＝弧BC，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴，故选：C．3．（2023•湖北）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C＝20°，∠BPC＝70°，则∠ADC＝（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【解答】解：∵∠C＝20°，∠BPC＝70°，∴∠BAC＝∠BPC﹣∠C＝50°＝∠BDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB﹣∠BDC＝40°，故选：D．4．（2023•天河区校级三模）如图，AC是⊙O的直径，点B、D在⊙O上，，∠AOB＝60°，则CD的长度是（）A． B． C．3 D．6【答案】C【解答】解：∵AB＝AD，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，∵OD＝OC，∴，在Rt△ACD中，，即，∴CD＝3，故选：C．5．（2023•安徽模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，三个顶点A，B，C均在⊙O上，BD过圆心O，连接AD．当∠OBC＝40°时，∠ADB的度数是（）A．45° B．55° C．65° D．75°【答案】C【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵∠CAD＝∠OBC＝40°，∴∠BAC＝50°，∵AB＝AC，∴，∴∠ABD＝25°，∴∠ADB＝65°．故选：C．6．（2023•香洲区校级三模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠ABC＝30°，则∠D的大小为（）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】D【解答】解：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（2023•西安三模）如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且AC＝CD，若∠CAD＝28°，则∠DAB的度数为（）A．28° B．34° C．56° D．62°【答案】B【解答】解：∵AC＝CD，∠CAD＝28°，∴∠CAD＝∠CDA＝28°，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝124°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣∠ACD＝56°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝34°，故选：B．8．（2023•湖北模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（）A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠BAC＝40°，∵∠ABC的平分线是BD，∴∠CBD＝45°，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+45°＝85°．故选：B．【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】9．（2023•蒲城县二模）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是的中点，点B是的中点，若AB＝10，BG＝2，则BE的长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【解答】解：连接OD，如图，∵点C是的中点，点B是的中点，∴＝＝，CD⊥AB，∴BE＝CD，CG＝DG，∵AB＝10，AB是⊙O的直径，∴OB＝OD＝5，∵BG＝2，∴OG＝OB﹣BG＝3，在Rt△ODG中，OG＝3，OD＝5，∴DG＝＝4，∴CD＝2DG＝8，∴BE＝8，故选：D．10．（2023•通榆县三模）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，C是劣弧AB的中点，P是优弧APB任意一点，连接AP，BP，则∠APC的度数是（）A．30°或60° B．60° C．40° D．30°【答案】D【解答】解：在⊙O中，∠AOB＝120°，∴∠APB＝＝120°＝60°，∵C是劣弧AB的中点，∴∠APC＝APB＝60°＝30°．故选：D．11．（2023•凤翔县三模）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝32°，则∠CDE的度数为（）A．34° B．29° C．32° D．24°【答案】B【解答】解：连接OE，如图，∵∠ABC＝32°，∴∠AOC＝2∠ABC＝64°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝116°，∵点E是劣弧的中点，∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC＝58°，∴∠CDE＝∠COE＝29°．故选：B．12．（2023•德惠市模拟）如图，在⊙O中，点C在上．若°，则∠BCD的度数为（）A．55° B．70° C．110° D．250°【答案】A【解答】解：∵°，∴∠BCD＝∠AOB＝×110°＝55°．故选：A．13．（2023•城厢区校级模拟）如图，在直径为AB的⊙O中，点C，D在圆上，AC＝CD，若∠CAD＝29°，则∠DAB的度数为（）A．29° B．32° C．58° D．61°【答案】B【解答】解：∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠CAD＝29°，∴∠ACD＝180°﹣29°﹣29°＝122°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝122°﹣90°＝32°，∴∠DAB＝∠BCD＝32°，故选：B．14．（2023•鹿城区校级二模）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠EDC＝25°，则∠ACD的度数是（）​A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【解答】解：连接AD，∵CD是圆的直径，∴∠DAC＝90°，∵B是的中点，∴∠CDE＝∠EDA＝25°，∴∠ADC＝50°，∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝40°．故选：C．15．（2023•石景山区一模）如图，在⊙O中，C是的中点，点D是⊙O上一点．若∠ADC＝20°，则∠BOC的度数为（）A．10° B．20° C．40° D．80°【答案】C【解答】解：∵C是的中点，∴，∵∠ADC＝20°，∴∠BOC＝2∠ADC＝40°，故选：C．16．（2023春•仓山区校级期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．70°【答案】B【解答】解：连接OB，如图，∵B是弧AC的中点，即＝，∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×140°＝70°，∵∠D和∠AOB都对，∴∠D＝∠AOB＝35°．故选：B．【题型3圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半的运用】17．（2023•长沙一模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝48°，∠C＝15°，则∠B＝（）A．48° B．78° C．63° D．49°【答案】C【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝15°，∵∠BAC＝48°，∴∠OAB＝48°+15°＝63°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝63°．故选：C．18．（2023•乾安县二模）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．45° B．55° C．45°或155° D．55°或155°【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝50°，∠ACB＝∠AOB，∴∠AOB＝100°，∴∠AOP+∠BOP＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°．故选：A．19．（2023•临潼区三模）如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，若四边形ABCO为平行四边形，连接BD与CD，则∠BDC的度数为（）A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：连接OB，∵四边形ABCO为平行四边形，∴OA＝BC，∵OA＝OB＝OC，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠BDC＝∠BOC＝30°．故选：C．20．（2023•绥中县一模）如图⊙O的半径为3，AB是弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（）A． B．3 C． D．【答案】D【解答】解：连接OA、OC，OC与AB交于点D，∵点C为的中点，∴OD⊥AB，AB＝2AD，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，在Rt△OAD中，，∴．故选：D．21．（2023•新城区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，∠ACD＝35°，则∠BOD的度数是（）A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：∵∠ACD与∠AOD都对着，∴∠AOD＝2∠ACD，而∠ACD＝35°，∴∠AOD＝70°，∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．故选：B．22．（2023•潮南区二模）如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】B【解答】解：∵BD⊥AC，∠AOC＝100°，∴∠BOC＝∠AOC＝50°，则∠BDC＝∠BOC＝25°，故选：B．23．（2023•平原县二模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，若∠CDB＝28°，则∠AOC的度数为（）A．28° B．56° C．58° D．62°【答案】B【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴＝，∵∠CDB＝28°，∴∠AOC＝2∠CDB＝56°，故选：B．24．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠BOD＝80°，则∠ABC的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．80°【答案】B【解答】解：∵∠BOD＝80°，∴∠BCD＝∠BOD＝40°，∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝40°．故选：B．25．（2023•宜都市二模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC＝140°，则∠BDC＝（）A．20° B．40° C．55° D．70°【答案】A【解答】解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠AOC＝140°，∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，∴∠BDC＝∠BOC＝20°．故选：A．26．（2023•白山一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【答案】B【解答】解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°．∴∠D＝∠AOC＝25°．故选：B．【题型4利用半径相等构成的等腰三角形有关运用】27．（2023•郧西县一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB另一侧半圆的中点，若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径长为（）A．2 B． C．2 D．2【答案】B【解答】解：连接AD，过点B作BE⊥CD于点E，∵AB是⊙O的直径，D是的中点，∴∠ADB＝90°，AD＝DB，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠A＝∠ABD＝45°，∴∠C＝∠A＝45°，∴△EBC是等腰直角三角形，∵BC＝4，∴EC＝EB＝2，∵CD＝3，∴DE＝，∴BD＝＝＝，在等腰直角△BDA中，AB＝＝2，∴⊙O的半径长为，故选：B．28．（2023春•汉寿县期中）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是（）A．90° B．70° C．60° D．40°【答案】B【解答】解：∵AO＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∵∠BAO＝20°，∴∠OBA＝20°，即∠AOB＝140°，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠ACB＝70°．故选：B．29．（2023•阜新模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝40°；∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝100°；∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故选：D．30．（2023•新城区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若OB＝AB，∠BAC＝110°，则∠ABC的度数为（）A．60° B．40° C．30° D．20°【答案】B【解答】解：连接OA，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∠OAB＝60°，∵∠BAC＝110°，∴∠OAC＝∠OCA＝50°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝80°，∴∠ABC＝∠AOC＝40°．故选：B．31．（2023•靖边县二模）如图，⊙O中，，连接AB，AC，BC，OB，OC，若∠ACB＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．115° C．100° D．150°【答案】C【解答】解：∵，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，故选：C．32．（2023春•叙州区期中）如图，已知⊙O的直径CD⊥弦AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6，则AB的长为（）A．4 B． C． D．【答案】C【解答】解：连结OA，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∵⊙O的直径CD⊥弦AB，∴AE＝BE，∴△OAE为等腰直角三角形，∴AE＝OA•sin45°＝OA，∵CD＝6，∴OA＝3，∴AE＝，∴AB＝2AE＝．故选：C．33．（2023•姜堰区二模）如图，在⊙O中，CD为直径，弦AB∥CD，∠AOB＝40°，连接AC，则∠BAC等于（）​A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝40°，∴∠OAB＝70°，∵弦AB∥CD，∴∠AOD＝∠OAB＝70°，∴∠C＝∠AOD＝35°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠C＝35°．故选：B．34．（2023•袁州区校级二模）如图，点A、B、C在⊙O上，，则⊙O的半径为（）A． B． C．6 D．9【答案】C【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则，∵，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，则∠OAB＝30°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴AD＝DB，在Rt△AOD中，∴∴，故选：C【题型5圆内接四边形的综合运用】35．（2023•泸县校级二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADB的度数是（）A．65° B．70° C．75° D．80°【答案】D【解答】解：∵＝，∠BDC＝50°，∴∠ABC＝∠BDC＝50°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°，∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝130°﹣50°＝80°，故选：D．36．（2023•市北区三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（）A．130° B．100° C．120° D．110°【答案】A【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，故选：A．37．（2023•灞桥区校级模拟）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，且BD经过圆心O，连接AB，AE，CE，若∠B+∠E150°，则弧CD所对的圆心角的度数为（）A．​30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【解答】解：连接BC、OC，∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠E＝180°，∵∠ABD+∠E＝150°，∴∠CBD＝30°，∴∠COD＝60°，即弧CD所对的圆心角的度数为60°，故选：D．38．（2023•南关区校级模拟）如图，四边形ADBC内接于⊙O，四边形ADBO是平行四边形，则∠ABD的度数是（）A．45° B．50° C．20° D．30°【答案】D【解答】解：∵四边形ADBC内接于⊙O，∴∠C+∠D＝180°，∵四边形ADBO是平行四边形，∴∠AOB＝∠D，∵∠C＝∠AOB，∴∠D+∠D＝180°，解得∠D＝120°，∵四边形ADBO是平行四边形，OA＝OB，∴四边形ADBO是菱形，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠BAD＝×（180°﹣120°）＝30°．故选：D．39．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝105°，∴∠A＝75°，∴∠BOD＝2∠A＝150°，∵∠BOC＝2∠COD，∴∠BOD＝3∠COD＝150°，∴∠COD＝50°，∴∠CBD＝∠COD＝25°，故选：A．40．（2023•金华模拟）在⊙O中，点A，B，C，D都在圆周上，OB∥DC，OD∥BC，则∠A的度数为（）​A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】D【解答】解：∵点A，B，C，D都在圆周上，∴∠C+∠A＝180°，∵OB∥DC，OD∥BC，∴∠C+∠OBC＝180°，∠BOD+∠OBC＝180°，∴∠C＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠A，∴∠C＝2∠A，即3∠A＝180°，∴∠A＝60°，故选：D．【题型6运用圆周角、圆心角和圆内接四边形的性质求边长】41．（2023•雁塔区校级模拟）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D＝120°，AB＝AC＝6，则点O到BC的距离是（）A．3 B． C． D．【答案】B【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，连接OB、OC，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠A+∠D＝180°，∵∠D＝120°，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，OE⊥BC，∴∠COE＝∠BOE＝60°，∵AB＝AC＝6，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝6，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝3，∴，即，解得：，即点O到BC的距离是，故选：B．42．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【答案】C【解答】解：∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．43．（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（）A． B．5 C． D．10【答案】A【解答】解：如图所示，连接BD，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，∴，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠BCD＝90°，∵．∴BC＝CD＝，故选：A．44．（2023•安次区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．4 B．2 C． D．4【答案】B【解