2021年中考数学考点一遍过-考点20 图形的相似

考点20图形的相似

•考情分析与预测

该板块内容主要考查相似的性质和判定，2021年各地中考仍以考查基础为主，在选择题中单独考查,是广大

考生的得分点，相似应用的考查，主要体现在综合题中，作为综合题的一部分,在解决求线段长问题时和勾股

定理、三角函数一起运用，此时解答题的难度变大，综合性就较强了.分值在15分左右.为避免丢分，应扎

实掌握,灵活应用.

区知识整合

一、比例的相关概念及性质

1.线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比.

ah

2.比例中项：如果石=［即炉="，我们就把人叫做a,c的比例中项.

3.比例的性质

性质内容

ac

性质1-=——=ad=bc（。，b,c,dfO）.

bd

,ac5,a±bc±d

性质2如果m一二一，那么——=-----

bdbd

,acm、…a+c+・・・+m加,A、

性质3如果==,,•=（6+。+・・・+〃和），则=（不唯一）.

bdnZ?+d+・・・+〃〃

4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使一=—,那么点C叫做线段4C的黄金分割点，AC

ABAC

是3c与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比.

二、相似三角形的判定及性质

1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.

2.性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

3.判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边

对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）;

2）条件中若有一对等角，可再找一对等角］用判定（1）］或再找夹边成比例［用判定（2）］；

3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例.

三、相似多边形

1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相

似比.

2.性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相

似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.

四、位似图形

1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直

线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为A,那么位似图形对应点的坐

标的比等于k或*2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比.

3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即

是位似中心.

4.画位似图形的步骤：1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或

缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

立重点考向,

考向一比例线段及其性质

1.比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比

例的内项.

2.对于四条线段mb、c、d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如“：

反c：△（即加=儿），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

3.判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比

是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.

典例引领

L（2020•甘肃金昌市•中考真题）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部

以下。与全身b的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感，若图中人为2米，则。约为（）

A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米

【答案】A

【分析】根据。:庆0.618,且b=2即可求解.

【详解】解:由题意可知,a:欣0.618,代入b=2,.•.a=2x0.618=L236=n.24.故答案为:A

【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题.

2.（2020•四川泸州市•中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末

比”问题:点G将一线段MN分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN

的比例中项，即满足"£=空=正二1,后人把叵口这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段

MNMG22

MN的“黄金分割”点.如图，在DA5c中，已知A3=AC=3,3C=4,若D,E是边BC的两个“黄

金分割”点，则口4）£的面积为（）

A.10-475B.375-5C.D.20-875

2

【答案】A

【分析】作AFLBC,根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD

的长度，得到口4）£中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.

【详解】解：过点A作AF_LBC,VAB=AC,.\BF=—BC=2,

2

在RtQABF,AF=^AB12-BF2=^32-22=6，

D是边BC的两个“黄金分割”点，•••C2=避二1即—=叵4,

BC242

解得CD=26一2，同理BE=2后一2，

*/CE=BC-BE=4-（2逐-2）=6-2亚,；.DE=CD-CE=468,

SAABC=xDExAF=x（4^/5—8jx-75=10—4A/5>故选：A.

【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求

出DE和AF的长是解题的关键。

变式拓展

1.（2020•湖南娄底市•中考真题）若2=L（arc）,则"^=.

ac2a-c

【答案】:

【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可.

【详解】由2=4='（aHc）可得a=»，c=2d，

ac2

h-dh-db-d1i

代入a-c-2b-2d=2（b-d）=5,故答案为万，

【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键.

2.（2020•湖南湘潭市•中考真题）若则土二工=.

x7x

4

【答案】~

【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可;

v3

【详解】由）二一可设y=3攵，x=ik.k是非零整数,

x7

7k-3k4攵4...4

则q—=—■故答案为:

X7k7k77

【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键.

考向二平行线分线段成比例

典例引领

1.（2020•辽宁营口市•中考真题）如图，在AABC中，DE//AB,且J=—,则上上的值为（）

BD2CA

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.

【详解】解：•♦•DE//A8,——=——=—二J的值为三.故答案为A.

AEBD2CA5

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键.

〃

2.（2020•四川成都市•中考真题）如图，直线4〃，2/3,直线AC和。E被小12,4所截，AB=5,BC=6,

A.2B.3C.4D.—

3

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可.

【详解】解：：直线h〃l2〃b,—VAB=5,BC=6,EF=4,；.*=匹..•.DE=W.故选：D.

BCEF643

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此

题的关键.

变式拓展

1.（2020•山东临沂市•中考真题）如图，在RABC中，D,E为边的三等分点，EF//DG//AC,H

为A尸与。G的交点.若AC=6,则。”=.

【答案】1

【分析】利用平行线分线段成比例得到EF=2,再利用中位线得到DH的长即可.

【详解】解:；D,E为边A6的::等分点,EF//DG//AC，.•.EF:DG:AC=1:2:3

•••AC=6,；.EF=2,由中位线定理得到，在AAEF中,DH平行且等EV=1故答案是:1

2

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用和中位线的性质，熟悉平行线之间的性质是解题关键.

AC1

2.（2020•吉林中考真题）如图，ABHCDHEF.若——=—,BD=5,则.

CE2

【答案】10

［分析］根据平行线分线段成比例得到—,由条件即可算出DF的值.

CEDF

【详解】解：：ABHCDIIEF.—=

CEDF

又：---=一»BD—51---=—>DF=10,故答案为：1（）.

CE2DF2

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.

考向三相似多边形

1.如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形是相似多边形.

2.相似多边形对应边的比叫做相似比.

3.多边形的相似比为1的相似多边形是全等形.

4.相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等.

典例引领

1.（2020•山西中考模拟）宽与长的比是史二1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的

2

美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形A8CC,分别取

AD.8c的中点E、F,连接EF：以点尸为圆心，以尸。为半径画弧，交BC的延长线于点G；作

交AO的延长线于点“，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A.矩形ABFEB.矩形EFC。C.矩形EFG”D.矩形QCGH

【答案】D

【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG

与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形.

【详解】解：设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1在直角•:角形DCF中，==小

FG=>/5CG=V51CG=6-1...矩形DCGH为黄金矩形故选：D.

CD2

【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意，宽与长的比是

或二1的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形.

2

2.（2020•海南中考模拟）如图所示，在长为8cm,宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），

如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）

•

A.28cm2B.27cm2C.21cm2D.20cm2

【答案】B

【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得.

AEC

RFD

解：依题意，在矩形ABDC中裁取矩形ABFE,则矩形ABDCs矩形FDCE,

则设DF=xcm,得到：9=§解得：x=4.5,则剩下的矩形面积是：4.5x6=27cm2.

DFDCx6

【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键.

变式拓展

1.（2020•福建莆田市•中考模拟）下列四组图形中，一定相似的是（）

A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形

【答案】D

【分析】根据相似多边形的定义对各选项进行判定.

【详解】A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，，不一定相似；

B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，...不一定相似；

c中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，...不一定相似；

D中，正五边形的五条边都相等，五.个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，

一定相似.故选D.

2.（2020•贵州六盘水市•中考模拟）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（）

A.a=4,b="7^+2B.a=4,b=>/^-2C.a=2,b=-75+1D.a-2,b--y/5-1

【答案】D

【解析】黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即宽：长=避二1,只有选项D中b：a=^二1,故选D.

22

考向四相似三角形性质与判定

1.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似

比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角

形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相

似三角形面积的比等于相似比的平方.

2.相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三

角形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等

且夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

典例引领

1.（2020•浙江绍兴市♦中考模拟）如图，已知NZMB=NC4E，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定

的是（）

ABAC

A.--------D.ZC=ZA£D

ADAE

【答案】B

【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解.

【详解】解：VZDAB=ZCAE,/.ZDAE=ZBAC,

ABAC

A、若——=——，且/DAE=/BAC,可判定AABCSAADE,故选项A不符合题意：

ADAE

B、若丝=些，且NDAE=NBAC,无法判定AABCSAADE,故选项B符合题意；

ADDE

C、若NB=ND,且NDAE=NBAC,可判定AABCSAADE,故选项C不符合题意；

D、若NC=NAED,且NDAE=NBAC,可判定AABCS^ADE,故选项D不符合题意；故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关犍.

2.（2020•四川遂宁市•中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，NA8C的平分线交AC于点E,交AO于

BE

点F,交的延长线于点G,若AF=2"）,则=的值为（）

G

【答案】C

【分析】SAF=2DF,可以假设则A尸=2%,AD=3k,证明AB=AF=2hDF=DG=k,再利用平

行线分线段成比例定理即可解决问题.

【详解】解：由4尸=2。尸，可以假设。尸=%,则AF=2Z,A£>=3&,

•四边形ABC。是平行四边形，：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

；.NAFB=NFBC=NDFG,NABF=NG,

平分/48C,:.NABF=NCBG,；.NABF=NAFB=NDFG=NG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,：.CG=CD+DG=3k,

“BEAB2k2…

■：AB//DG,:.△AABEs/\CGE，：,——=——=一=-,故选：C.

EGCG3k3

【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行

四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键.

3.（2020•湖南长沙市•中考真题）在矩形ABCD中，E为。。上的一点，把AADE沿AE翻折，使点D恰

好落在BC边上的点F.（1）求证：AABF:AFCE（2）若A8=26,=4,求EC的长；

(3)若AE-DE=2EC,记NBAF=a,NFAE=。,求tana+tan/7的值.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）2叵；（3）2叵

33

【分析】（1）只要证明NB=/C=90。，/BAF=NEFC即可；（2）因为4AFE是4ADE翻折得到的，得到

AF=AD=4,根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABFs^FCE,得到——=——，从而

BFAB

BFEFCEEF

求出EC的长;（3）根据△ABFs/XFCE,得到NCEF=/BAF=a，所以tana+tanp=—+——=—+——，

ABAFCFAF

AQCF

设CE=1,DE=x,可得到AE,AB,AD的长，根据AABFSAFCE,得到——=—,将求出的值代入化

AFEF

简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE,CF,EF,AF的值，代入lanQ+lan

於三+变即可.

CFAF

【详解】（1）证明：：四边形ABCD是矩形，.•./B=/C=/D=90。，.,./AFB+/BAF=90。,

•..△AFE是^ADE翻折得到的，.,.ZAFE=ZD=90°,/.ZAFB+ZCFE=90°,

AZBAF=ZCFE,AAABF^AFCE.

(2)解：•.•△AFE是AADE翻折得到的，；.AF=AD=4,

：.BF=ylAF2-AB2=yj42-(2可=2，.,.CF=BC-BF=AD-BF=2.

CECFCE2o/a

由(1)MAABF^AFCE,——=——，：.——=-^=,AEC=^^.

BFAB22V33

(3)

解：由(1)得△ABFS/SFCE,・・・NCEF=NBAF=a,

BFEFCEEF

tanCt+tan/?=------1---=----1---,设CE=1,DE=x,

ABAFCFAF

■:AE—DE=2EC，:.AE=DE+2EC=x+2,AB=CD=x+1,AD二y/AE2-DE2-j4x+4

-AB-CF-x+i=&-i.(Vx+T)

'AFEF，..Ax+4—尤'..2«+1=%-

.1Jx+1

••—=-----x=2\/x-i，Ax2-4x+4=0,解得x=2,

2x

；.CE=1,=5EF=X=2,AF=AD=,松_DE?==2G，

CEEF12273

/.tana+tan/?=---+1-----卜----

CFAFG26

【点睛】本题考查「相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识.解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题.

变式拓展

1.（2020•广西贵港市•中考真题）如图，在F1ABC中，点。在边上，若8C=3,BD=2,且N&?

则线段AO的长为（）

59

A.2B.-C.3D.一

22

【答案】B

【分析】由NBCD=/A,NB=/B,可判定△BCDs^BAC,从而可得比例式，再将BC=3,BD=2代

入，可求得BA的长，然后根据AD=BA-BD,可求得答案.

BeBD

【详解】解：VZBCD=ZA,ZB=ZB,AABCD^ABAC,，——=—,

BABC

32995

VBC=3,BD=2,；.—=一，；.BA=一，AD=BA-BD=--2=—.故选：B.

BA3222

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

2.（2020•四川眉山市•中考真题）如图，正方形ABC。中，点F是边上一点，连接AE,以A尸为对

角线作正方形A£FG,边FG与正方形ABC。的对角线AC相交于点”，连接。G.以下四个结论：①

ZE4B=NG4D；②△AECSAAG。；®2AE2=AH-AC；®DG±AC.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，NEAB、NGAD与/BAG的和均为90。，即可证明

ACA.F

NEAB与NGAD相等；②由题意易得AD=DC,AG=FG,进而可得一=——，NDAG=/CAF,然后问

ADAG

ApAQ

题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAFs^FAC,则有——=—,然后

AHAF

根据等量关系可求解；④由②及题意知ZADG=NACF=45°,则问题可求证.

【详解】

解：①；四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形NEAG=NBAD=90。

又：ZEAB=90°-ZBAG,ZGAD=90°-ZBAG.\/EAB=NGAD.,.①正确

②,四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AD=DC,AG=FG

r-r—.ACnrAFrrACAF

AC—\/2,AD,AF=5/2AG=,-----=>/2即=

、vADAGADAG

XVZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC.\ZDAG=ZCAF/.^AFC^^AGD②正确

③：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线NAFH=NACF=45°

AbAC

XVZFAH=ZCAF.\AHAF^AFAC.-.——=——即AF2=AC-AH

AHAF

XVAF=V2AE.\2AE2=AH-AC.,•③正确

④由②知△AFC'SAAG。又：四边形ABCD为正方形，AC为对角线ZADG=ZACF=45°

.♦.DG在正方形另外一条对角线上；.DG，AC.•.④正确故选：D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找

到需要的相似三角形进而证明.

3.（2020•上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCO中，点£、尸分别在边AB、4,上，BE=DF,CE的延

长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

（1）求证：ABECS/XBCH；（2）如果求证：AG=DF.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先证明△CQF/ACBE,进而得到再由菱形对边得至

BEAE

进而NBCE=NH即可求解.（2）由的848%£得到•一=——，再利用AG〃BC,平行线分线段成比例定

ABEB

BEAG

理得到——=—7,再结合已知条件即可求解.

ABBC

【详解】解：（IB•四边形A8CQ是菱形，，CO=C8,/D=NB,CD//AB.

"：DF=BE,A△CDF^ACB£(SAS),:.NDCF=NBCE.

'.'CD//BH,：.ZH=ZDCF,：.ZBCE=ZH.且NB=N8,:.△BECsgCH.

.eBEAE.“AEAGBEAG

(2).BE^=AB・AE,•・-,.AG//BC,♦・=----

ABEBBEBCAB-ec

,;DF=BE,BC=AB,；.BE=AG=DF,B|JAG^DF.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识,

解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

考向五相似比相关问题

典例引领

1.（2020•云南中考真题）如图，平行四边形ABCO的对角线AC，BO相交于点。，E是的中点,

则口。£0与ABCD的面积的比等于（）

【答案】B

【分析】先证明OE//BC,再根据△DEOs/\DCB求解即可.

【详解】•••四边形ABCD是平行四边形，.•.BO=DO,

是CO的中点，，OE是4DCB的中位线，，OE〃BC,OE=—BC,

2

.•.△DEO^ADCB,.,.△DEO：ADCB=-.故选B.

4

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似

三角形的判定与性质是解答本题的关键.

2.（2020•广西中考真题）如图，在口43c中，BC=120,高40=60,正方形EFGH一边在BC上,

点分别在AB,AC上，AO交EF于点N,则AN的长为（）

C.25D.30

【答案】B

【分析】证明△AEFs^ABC,根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得.

EFAN

【详解】解：•.•四边形EFGH是正方形，，EF〃BC,.♦.△AEFS/^ABC,—=—.

BCAD

设AN=x,贝ijEF=FG=DN=60-x,二竺二=二解得：x=20所以，AN=20.故选：B.

12060

【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键.

变式拓展

1.（2020•吉林中考真题）如图，在中，D，E分别是边AB，AC的中点.若山S1E的面积为■.则

四边形DBCE的面积为.

3

【答案】-

2

【分析】先根据二甭形中位线定理得出再根据相似三角形的判定与性质得出

2

SADF/DE2

-7^=（—）,从而可得口ABC的面积，由此即可得出答案.

>ABC

【详解】・・•点。，E分别是边A3，AC的中点后〃8c

2

SDE]

出3口口..・•蔬=（於七-4sm

11133

又丁=不・'・则四边形DBCE的面积为川*一二大故答案为：

SnAur."2S/"ioCc=4x72=2/iovS.c-S2=2272

【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定

与性质是解题关键.

2.（2020•辽宁锦州市•中考真题）如图，在口4?。中，D是中点，DEHBC,若口45七的周长为6,

则口45。的周长为.

【分析】由D£〃5C,可知口45上口口48。，再由D是AB中点，可得到相似比，可求出口⑷?。的周长.

【详解】解：•••DE〃3C,.••□ADEDDABC,

An1

又YD是AB中点，，一=—，即口4医与「ABC的相似比为1:2,，口4万与QABC1的周长比为1:2,

AB2

•.•□AD石的周长为6,.••□A5C的周长为12,故答案为：12.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于周长比是解题的关键.

考向六相似三角形的实际应用

典例引领

1.（2020•四川凉山彝族自治州•中考真题）如图，AABC是一块锐角三角形的材料，边8c=120〃皿，高A。

=80加〃，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正

方形零件的边长是多少/»，〃.

【分析】设正方形的边长为x,表示出4/的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式,

然后进行计算即可得解.

【详解】设正方形的边长为xmm,MAl=AD-x=80-x9

EFA/x80—x

是正方形，：.EF//GH,：./XAEF^^\ABC,：.——=——，即——=——,

BCAD12080

解得x=48〃7〃7,二这个正方形零件的边长是48"“〃.

【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

2.（2020•甘肃天水市•中考真题）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE

高1.5加，测得45=1.2m，BC=12.8m,则建筑物CO的高是（）

I)

A.17.5/«B.VimC.16.5mD.18)

【答案】A

【分析】先求得AC,再说明AABEsaACD,最后根据相似三角形的性质列方程解答即可.

【详解】解：：AB=1.2加，BC=12.8w/.AC=1.2m+12.8m=14m

;标杆BE和建筑物CD均垂直于地面.•.BE//CD；.△ABEs4ACD

ABAC1.214

---=----，即un---=----.解得CD=17.5m.故答案为A.

BECD1.5CD

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答

本题的关键.

变式拓展

1.（2020•广西玉林市•中考真题）一个三角形支架三条边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与

其相似的三角形木架，而只有长为60cm,120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两

段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A.一种B.两种C.三种D.四种

【答案】B

【分析】设截成的两边的长分别为xcm、ycm,然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可.

【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm,若从60cm长的木条上截取，

,.'x+yW60<120,不符合题意；若从120cm长的木条上截取,

①当60cm与75cm是对应边时，：两三角形相似，3,解得x=80,y=96,

75100120

80+96=176cm>l20cm,.•.此种情况不符合题意；

②当60cm与100cm是对应边时，..♦两三角形相似，.;=±=,解得x=45,y=72,

10075120

V60cm<45+72=117cm<120cm,.•.从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条；

③当60cm与120cm是对应边时，•.•两三角形相似，.,.里=二=上，解得x=37.5,y=50,

12075100

V60cm<37.5+50=87.5cm<120cm,.•.从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条；

综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长

的木条截取37.5cm和50cm两根木条.故选B.

【点睛】本题考查J'相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于根据对应

边的不同分情况讨论.

2.（2020•湖北省直辖县级行政单位•中考真题）在平行四边形ABC。中，E为AD的中点，请仅用无刻度

的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

（1）如图1,在8c上找出一点M,使点M是的中点；

（2）如图2,在8。上找出一点N,使点N是BD的一个三等分点.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）连接对角线AC,BD,再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；

（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得维=匹=」,于是DN=1BD.

NBBC23

【详解】解：（1）如图1,点M即为所求：（2）如图2,点N即为所求.

【点睛】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点.

考向七位似

1.如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图

形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

2.位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为我,那么位似图

形对应点的坐标的比等于％或-上

典例引领

1.（2020•河北中考真题）在如图所示的网格中，以点。为位似中心，四边形ABC。的位似图形是（）

A.四边形NPMQB.四边形NPMRC.四边形D.四边形NHMR

【答案】A

【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案.

【详解】解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ.故选：A

【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位

似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，

确定位似图形.

2.(2020•辽宁丹东市•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度

的正方形，点A，B,C的坐标分别为A(l,2),B(3,l),C(2,3),先以原点。为位似中心在第三象限内

画一个与q,使它与A4BC位似，且相似比为2：1,然后再把AABC绕原点。逆时针旋转90。得到

AA282c2.(1)画出并直接写出点A的坐标；(2)画出△&与。2,直接写出在旋转过程中，点A

到点&所经过的路径长.

【分析】(1)连接AO、BO、CO,并延长到2AO、2BO、2CO,长度找到各点的对应点，顺次连接即可;

(2)根据网格结构找出点A、B、C绕点。逆时针旋转90°后的对应点A?、B?、C2的位置，然后顺次连接

即可，再根据勾股定理列式求出OA,然后利用弧长公式列式计算即可得解.

【详解】(1)如图所示，Ai(-2,-4)；

【点睛】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形.注意：画位似图形的一般步骤为：

①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的

位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

变式拓展

1.(2020•浙江嘉兴市•中考真题)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,

0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为L的位似图形△OCD,则点C坐标()

3

【答案】B

【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可.

3

14

【详解】；点。为位似中心，位似比为一，4(4,3),点的对应点C的坐标为(-一，-1).选：

33

【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那

么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

2.(2020•重庆)如图，在平面直角坐标