安徽省芜湖市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷

芜湖市2023～2024学年度第一学期期中普通高中联考试卷高二数学（答案写在答题卡上）（满分150分，时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，已知，则的模为（）A．1 B． C． D．32．如图，空间四边形中，，点在线段上，且，点为中点，则（）第2题图A． B． C． D．3．若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则的值是（）A． B． C．2 D．4．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（）A． B．6 C．4 D．105．已知圆关于直线对称，则（）A．0 B．2 C．4 D．66．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（）A． B． C． D．7．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A．或 B．C．或 D．8．已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知直线，则下列结论正确的是（）A．直线的倾斜角是B．若直线，则C．点到直线的距离是1D．过点与直线平行的直线方程是10．已知圆，下列说法正确的是（）A．圆心为 B．半径为2C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）A．点到右焦点的距离的最大值为9 B．焦距为10C．若，则的面积为9 D．的周长为2012．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）第12题图A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为第П卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线的斜截式方程为______．14．两圆与的公切线有______条．15．如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为______．第15题图16．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（14分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，和为正三角形，为的中点．第17题图（1）证明：平面．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．18．（14分）．如图，在直三棱柱中，．第18题图（1）求证：；（2）求点到平面的距离．19．（10分）已知的三个顶点分别为．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程．20．（16分）已知圆和定点，直线．（1）当时，求直线被圆所截得的弦长；（2）若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围．21．（16分）若椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点（均与不重合），证明：直线的斜率之和为定值．芜湖市2023～2024学年度第一学期期中普通高中联考试卷高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CADABDCB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案ACDBDACABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13． 14．3 15． 16．四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）证明：连接，交于点，连接．因为为菱形，所以为的中点．因为为的中点，所以为的中位线，所以．因为平面平面，所以平面．（2）在正中，连接，则．因为，所以，所以．因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面，平面平面，过点作于点平面，则平面．，所以，又，则．如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，因为，，所以令，得．设平面的法向量为，因为，所以令，得．因为，所以平面与平面夹角的余弦值为．18．（1）如图建立直角坐标系，其中为坐标原点．依题意得，因为，所以．（2）设是平面的法向量，由得所以，令，则，因为，所以到平面的距离为．19．（1）由题意得，且，所以．则边上的高所在直线的方程为，化简得：．（2）由题知的中点，所以，则边上的中线所在直线的方程为，化简得：．20．（1）圆，圆心，半径，当时，直线的方程为，所以圆心到直线的距离，故弦长为．（2）设，则，由，得．化简得：，所以点的轨迹是以为圆心，8为半径的圆．又因为点在直线上，所以与圆有公共点，所以，解得，所以的取值范围是．21．