2021年上海高考数学填空题压轴题 讲次1 函数（教师版）

备战2021高考黄金30题系列之数学填空题压轴题【上海版】

专题1函数

1.(2021上海闵行区•高三一模)已知函数/(x)=X+J,给出下列命题：①存在实数。，使得函数

y=〃x)+/(x—a)为奇函数；②对任意实数。，均存在实数山，使得函数g(x)="x)+/(x-a)关于

x=m对称；③若对任意非零实数a,/(x)+/(x—都成立，则实数人的取值范围为(—8,4］；④

存在实数左，使得函数y=/(x)+/(x-a)-Z对任意非零实数”均存在6个零点.其中的真命题是

.(写出所有真命题的序号)

【答案】②③

【分析】利用特殊值法可判断①不正确；验证g(a—x)=g(x),可判定②正确；利用基本不等式可判定③

正确：当a>0时，分析出函数g(x)在3,田)上现递减再递增，即g(x)1n^=8小)，可得出

44

Z>max{a+—,g(x())},利用女Na+—不恒成立，可判定④错误，同理可得，当avO时，命题④也不成

aa

立，从而得到④为假命题.

【解析】由题意，令g(x)=/(x)+/(x-a),

函数/(x)的定义域为{幻xw0},则/(-%)=|-X--Hx+-\=/(%),

XX

函数/(X)为偶函数.

对于①，若a=0,则g(x)=2x+4，则g⑴=2=g(-l),此时函数g(x)不是奇函数;

X

a2+4

若。。()，则函数g(x)的定义域为{xlxxo且XX。},g^)=2吗)>0,

Id

/a、a23。2八a

8(一5)=5+/》+豆皿显然8(一产田井

综上所述，对任意的aeR，函数g(x)=/(x)+/(x—a)都不是奇函数;

对于②，g(a-％)=于(a-x)+/(-%)=于(x-ci)+/(x)=g(x),

.,.函数g(x)=/(x)+/(x-a)关于直线x对称.

因此，对任意实数。，均存在实数加，使得函数g(x)=/(x)+/(x—a)关于x=m对称，.•.②正确;

对于③,当且仅当工=±1时，等号成立,

当且仅当x=a±l时，等号成立,

•4-g(x)=/(x)+/(x-a)“,

Va^O,当％=9时，两个等号可以同时成立，.•.上《4.

因此，实数A的取值范围是(一8,4],③正确；

对于④，假设存在实数上，使得直线丁=左与函数g(无)的图象有6个交点,

若。>0,当()VX<Q时,

g(x)=x+—+Q-九+----=Q+-------

xa-xx{a-x)

此时，函数g(x)在区间(0,微)单调递减，在区间(£,a)上单调递增,

当0<xva时',

当时，任取西£(。，+8),且即须＞工2＞。，

则g(%)—g(工2)=(^---1■尤]—。+-----)-(X2H---F工2一。+------)

%]x]-ax2x2-a

-2(百-x)+(------)+(-------------)-2(%-%)+~2\/1r

2x~+7

%2xx-ax2-axtx2(Xj-ci)[x2-a)

=ar)[2-直飞7；七田],

•/x1>x2>a随着冷々的增大而增大,

rc11

当且时，[2-瓦飞一矶y)]-—00,

当X1f+8且々->+8时，[2------------------；]—2,

xtx2(x,-a)[x2-a)

：.x0>a,使得当a<无2<%/时，12-------------:-----;1<0,

X^2(X]—Cl~Cl]

则g(%)<g(巧)，，函数g(x)在区间(a,x())上单调递减；

当…2>/时，[2-'一(…上一产,则g(%)>g(w)，

二函数g(x)在区间(4,+8)上单调递增，

.♦.当x>a时，g(x)n.n=.g(x0).

若存在实数左，使得函数8(力=/(力+/(%-/-左对任意非零实数。均存在6个零点，

即直线y=々与函数g(x)的图象有6个交点，

由于函数g(x)的图象关于直线x=^对称，

则直线V=左与函数g(力在直线x=5右侧的图象有3个交点，

44

k>max{ad--,g(x())}■一・

aa

4

由于人为定值，当且当々逐渐增大时，。+一也在逐渐增大，

a

4

・・・%>。+—不可能恒成立，

a

...当a>0时，不存在实数女，使得函数g(%)=/(x)+/(x—。)—左对任意非零实数。均存在6个零点；

同理可知，当a<0时，不存在实数&,使得函数g(x)=〃x)+/(x—a)一左对任意非零实数。均存在6

个零点，故命题④错误.故答案为：②③.

【点睛】己知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：

1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从/(x)中分

离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取

值范围；

2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函

数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的

参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.

2.(2021上海奉贤区.高三一模)已知y=/(x)是奇函数，定义域为［T1］,当x>0时，

/*)=--X”-1(e>0,aeQ),当函数g(x)=/(x)T有3个零点时，则实数，的取值范围是

【答案】口一；U{o}U

【分析】首先根据函数y=-x“xe(O］］的单调性和端点值画出函数的图象，再根据函数的性质

画出函数y=/(x)的图象，根据数形结合求t的取值范围.

(1、2XT

【解析】当X£(0,l］时，易知函数丁=-单调递减，且x30时，yf2,工=1时・，y=--f

\2J

其大致图象如下,

V

V

又函数/(X)是定义在[-1,1]上的奇函数，故函数/(X)的图象如下,

要使函数g(x)=/(X)—，有3个零点，只需函数y=/(x)的图象与直线y=，有且仅有3个交点，

由图象可知，U｛o｝U故答案为：(―L—gU｛O｝U

【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解

方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域

问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察

求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.

3.(2021上海虹口区•高三一模)已知数列｛4｝满足6=-2,且5.(其中S“为数列｛%｝前〃项

和)，/(X)是定义在R上的奇函数，且满足/(2-x)=/(x),则/(出021)=.

【答案】0

【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列｛4｝的通项公式，即可得到生=1-32°2i,再根

据二项式定理判断32°21被4除的余数，即可计算可得；

【解析】，/。)是定义在R上的奇函数，且满足/(2-x)=/(x),

/(-x)=/(x+2)=-/(x),/(x+4)=-〃x+2)=/(x),二/(x)的最小正周期为4,

又数列｛%｝满足％=-2,且s〃=为+n①；

3

当〃22时，=耳。〃_]+"一1②；

33

①减②得一耳。"_1+1，，=3。〃_]一2,-1=3(。〃.1-1)

.•.{%—1}以一3为首项，3为公比的等比数列，•••“”一1=一3",即。"=1一3",=1-32021

又32⑼=(4一1产=42021+…+G⑼•(—1>423一1,32M被4除余3,

•••/(。2021)=/(1_3202)=_/(32⑼_1)=_/(_1_1)=/(2)=/(0)=0,故答案为：0.

【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数T，若对定义域内任意的X都有了(X+T)=/(%),

则T为函数的周期.

4.(2021上海市奉贤区曙光中学高三期中)已知函数/(x)定义在H上的偶函数，在［0,+c。)是增函数，且

f(x2+ax+b)<f(2x2+4x+l)恒成立，则不等式/呜*2后一乜的解集为

【答案】{1}

【分析】由题意可得出+ar+^|<|2x2+4x+l］,可知方程f+以+/,=()与方程2/+4》+1=0同解,

可解得。=2,b=~,进而由所求不等式得出炉-2%+245出？工，再由V一2%+2=(%—+121,

22v'

-2x+2=1

TTY

-l<sin—<1,可得出《nx，即可得出原不等式的解集.

2sin——=1

2

【解析】由于函数/(力定义在R上的偶函数，在［O,y)是增函数，

由+ax+b^<f(2x2+4x+l)可得+办+〃|)〈川2x?+4x+l|j,

-2+V2-2-V2

：.\x2+ca+b\<\2x2+4x+}\,解方程2f+4x+l=0可得%=

22

'2+&、2—VT

令g(x)=%2+"+匕，则g

-2-40，gI2)<0,

\/

x,="+,%=----是方程f+办+人=0的两根,

'22

—ci=须+/=-2a=2

由韦达定理可得L1,解得L1

b=xxx2=-b=—

2

由丁吟&〃**一2可得2®喙2犬2-2X+2，，x-2x+2<sin胃,

[x2-2x+2=1

:丁—2x+2=(x—+121,-1<sin--1»*冗x»解得了=1.故答案为：{1}.

2sin^=l

I2

【点睛】对于求值或求解函数不等式的问题，•般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单

调性脱去函数的符号“/"，转化为解不等式(组)的问题，若"X)为偶函数，则〃—x)=/(x)=/(|x|).

5.(2021.上海市实验学校高三开学考试)已知4、生与白、4是4个不同的实数，若关于x的方程

\x-al\+\x-a2\=\x-b[\+|x-的解集A不是无限集，则集合A中元素的个数构成的集合为

【答案】{1}

【分析】将该题转化为两个函数的交点问题，为了简化问题，特殊化成研究关于了的方程

|x|+|x-l|=\x-a\+\x-b\,也即是函数7(x)=|x|+|x-l|和g(x)=|x-a|+|x-切的的交点问题.画

出分段函数的，通过取特殊值可以判断出有1个交点，而0个交点和2个交点都是不可能的，需要用反证

法去证明.设点40,1),8(1,1),C(a,b-a),D(b,h-a),借助斜率公式、绝对值三角不等式以及不等式

的性质，导出矛盾，从而说明0个交点和2个交点是不可能的，最终得出集合A只能有1个元素.

【解析】转化为/(x)=|x-q|+|x-%|和g(x)=|x-6||+|x-包|交点，

为了简化问题，我们可以研究|x|+|x-l|=\x-a\+\x-b\,

—2.x+1,x<0

/(x)=|x|+|x-l|-<1,0<x<1,

2x-l,x>1

-lx+a+b,x<a

设a<Z?,^(x)=|x-a|+|x-^|=<b-a,a<x<b,

2x-a-b,x>b

设A(0,l),8(1,1),C(a,b-a),D(b,b-a),

153

①由易知，1个交点容易得到，如a=5，>=2时，可求得唯一一个交点为(彳,：

J'

而0个交点和2个交点都是不可能的.

②假设有0个交点,

,,.\b-a—11\b-d—11l«l」1^-11,1

由题思I心cl=f->2'7‘2,------------<—,-------------<—

\b-a-\\2\b-a-\\2

1口।18-1|〈］|4|।附-1|II

而由三角不等式,

\b-a-\|\b-a-\\\b-a-\\\b-a-\\\b-a-\\

故矛盾，.••不可能有0个交点;

③假设有2个交点,

b_a_1b_ci_1—a1h-11

k=----------e(-2,0),k=—~—G(0,2),----------〉一

ACciBDb-\b-a-l2b-a-l2

b~Cl~X>\,明显矛盾，...不可能有2个交点.

b-a-\

其他0个交点和2个交点的情况均可化归为以上两类.

综上所述，解集A不是无限集时，集合A的元素个数只有1个，故答案为：{1}.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是将方程的解的个数转化为两个函数的交点个数，其中两个分段函数可

以用特值法固定一个，再讨论另一个函数的情况.

2

6.（2021上海市洋泾中学高三期中）已知/（力=口•-卜-4在（-1』）上有且仅有1个零点，则4的取值

范围为.

【答案】（一8,0）°{2夜—l}u[2,y）

【分析】令/（尤）=0得，-=-^=\x-a\,令弘=喜，%=k一4,在同一坐标系中作出两函数的图象，

分a的范围分别作出图象可得范围.

92

【解析】令f（x）=。得,----=|x-d,令凹=-----，y2Tx一

x+1X+1

2

当a=0时，乂=卜|，在同一平面直角坐标系中作出y=-^（T<X<1），%=|x-a|的图象（如下图

1所示），从图象看出，当。<0时，y1=-（-1<X<1）,y2Tx—a|两个图象在（T，l）上有且只有一个

2

交点，即函数/（力=在一,一4在（T』）上有且仅有1个零点，故a<0满足题意；

9

当。>0时，当x=——（-1<X<1）,%=卜一4两图象相切时，两函数图象有且只有一个交点（如下图

X+1

V.=^—（-1<X<1）9\八

2所示），又XVQ时，y2=a-x,由彳x+1'，,得工+（1—。）1+2—〃=。，

y2=a-x

△=（l—a）2_4（2—a）=/+2a_7=0,解得a=2夜-1（负值舍去），

当a>0时，且%=0一％过点（U）时，两函数y=m（T<x<l），%=k一4的图象有且只有一个交

点（如图3所示），此时l=a-l,解得。=2,

当以>2时，由图4所示，由图象得出，此时两函数y=n（-1<X<1）,%=卜一”|的图象有且只有一

个交点，综上可得0的取值范围为（—,0）D{2拒一1}D[2,+8），

故答案为：（―OO,0）D{2\Z^—1}D[2,+OO）.

【点睛】方法点睛：函数的零点可以转化为方程的根，继而转化为两函数的图象的交点，运用数形结合的

思想是常采用的方法.

7.（2021宝山区•上海交大附中高三月考）函数y=」一的与函数y=2sin乃x（xe]—左一2,%+4],左eZ）的

1-x

所有交点的横坐标之和等于2020,则满足条件的所有整数k的值是.

【答案】1006或1007.

【分析】由题意可得函数y=-的与函数y=2sin心（一3<x<5）的所有交点成对出现，

且每一对关于点（1,0）对称，结合所有横坐标之和等于2020即可得到k的值.

【解析】函数y=—!—的关于点（以））对称，函数y=2sin7Lx（-Z:-2<x<k+4）的也关于点（1,0）对称,

1-x

•.•两个的所有交点的横坐标之和等于2020,当彳>1时，它们共有1010对交点，,&+4=1010或

出+4=1011,解得&=1006或1007.故答案为：1006或1007.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，考查学生的数形结合思想.

8.（2021上海黄浦区•格致中学高三月考）若函数-1|-|x|+l恰有三个零点，则实数，”的取

值范围是

【答案】（—3+2立,0）U（0,D

【分析】•••f（o）*o，/（1）=0时，...X=1是函数/（X）的一个零点，当XH0且时，令

—,x>1—,A>1

XX

f(x)=mx|x-l|—|x|+l=0^,m=<--,0<x<\,令〃(x)=<--,0<x<l,y=/z(x)与y=m

XX

X+lAX+ln

(1yx<o(2%<0

x[x-l)x(x-l)

有两个交点即可，先研究0<x<l和x>l部分交点情况，再讨论相=—二（x<0）部分根的情况，转化

x（x-l）

成二次方程研究根的分布即可，最终结合这两部分求解阳的取值范围.

【解析】由函数的解析式得，/(0)#0,而/(l)=o，，x=l是函数/(X)的一个零点;

当X工0且X。1时，只需/(X)=〃四IX-1I一IXI+1=0有两个零点即可,分离参数得,

一,X>1

X

有两个根,令/?(•¥)=«—,0<x<1则y=〃(x)与y=m有两个交点.先作图

X

X+ln

x(x—1)

0<x<l和x>l部分，如下:

易见，mw(YQ,—l)U(O,l)时，y=/z(x)的0<x<l和x>l部分与y=加有有一个交点，

me[-l,0]U[l,+oo),没有交点.

下面研究相=—=(》<0)根的情况，化简得见2一(m+1»-1=0(》>0),易见，相=o,无解.

A=(m+1)2+46>0

，乳+1

若该二次方程有两个不同负根，贝1卜<°，解得一3+26<根<0，此时0<%vl和x>l

m

—>0

m

部分没交点，故符合题意y=A(x)与y=加仃两个交点;

若该二次方程只有一个负根，则根的情况是两个相等的负根或者一正一负根，则

22

△=(〃z+l)~+4m-0△=(/72+1)~+4m>0

m+1八或'即机=一3+2百或桃>0，此时0<x<l和x>l部分

----<0—<0

m、m

需要有一个交点，即we(-8,-i)U(0,i)，故0(加＜1时y=/?(x)与丁=机有两个交点.

综上，要使函数y=/(x)有三个零点，则机的取值范围是—3+2&＜加＜0或0(加＜1.

故答案为：(-3+20,O)U(O,l).

【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围，难度较大，解题关键在于先数形结合解决0＜x＜l

和x＞1部分的交点情况，再利用方程思想研究m=x高产＜0)部分根的情况，转化成二次方程研究根

的分布问题，即突破难点.

9.(2021上海浦东新区•华师大二附中高三月考)已知x,ye[l,3],x+y=4,则“无+1—Jy+的最

大值为________

,令，=◎=宜4-x）,/w[3,4],结合函

数的单调性即可得出结果.

令r=D=x（4—x）je[3,4],则（*）式=4+&—2、|+1+2,其在/e[3,4]上单调递减,

.•.当/=3时,即x=l,y=3或x=3,y=l时，(*)式取得最大值,

的最大值为2-竽，故答案为：2-半.

【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求最值，利用整体代换思想是解题的关键.

x2+（4。-3）x+3a,x<0

10.(2021上海市建平中学高三月考)已知函数=＜八（。>0且awl）在7?

log”（x+1）+1,x.O

上单调递减，且关于X的方程=2-尤恰有两个不相等的实数解，则。的取值范围是

【答案心泅T

【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出4的大致范围，再根据/（“为减函数，得到不

等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出。的范围.

x2+(4a-3)x+3a,x<0

【解析】函数〃x）=<(。>0且。wl),

log„(x+l)+l,x..O

』0

2

I3

在R上单调递减，则：〈0<a<l，解得，一领h—.

34

02+(4a-3)0+3«>log„(0+l)+l

由图象可知，在［0,+°。）上，|/（x）|=2—x有且仅有一个解,

故在（-8,0）上，|/（x）|=2-x同样有且仅有一个解，

-'-13a>2即a>大时，联立|x2+（4。一3）x+34=2—x,

93

则△=（4a—2）——4（3〃-2）=0,解得。二^或1（舍去），

当143。<2时，由图象可知，符合条件，

综上:a的取值范围为大行卜

【点睛】本题考查函数的单调性和方程的零点，对于分段函数在定义域内是减函数，除了每一段都是减函

数以外，还要注意右段在左段的下方，经常会被忽略，是一个易错点；复杂方程的解通常转化为函数的零

点，或两函数的交点，体现了数学结合思想，属于难题.

11.(2021华东师范大学附属天山学校高三开学考试)若直角坐标系内AB两点满足：(1)点48都在f(x)

的上；(2)点A3关于原点对称，则称点对(A3)是函数/(x)的一个“姊妹点对”，点对(A,B)与(8,4)可

X2+2x(A:<0)

看作一个“姊妹点对已知函数/。)={2，则/(x)的“姊妹点对”有个.

尸。)

【答案】2

2

【解析】根据题意，作出函数>=%2+2%(%<0)的图象关于原点对称的图象，以及函数y=/(x»o)的，

如下图，

观察图象可得：它们的交点个数是2个：即/(x)的“姊妹点对''有2个.

点睛：根据题意：“姊妹点”，可知，欲求/(x)的“姊妹点”，只须作出函数ynf+ZMxvO)的图象关于

2

原点对称的图象，看它与函数y=»(xNO)交点个数即可.

12.(2021上海高三模拟)函数y=J—的图象与函数)'=2sin2心4)的图象所有交点的横坐标之和等

于.

【答案】8

【分析】在同一坐标系内画出两函数的图象，观察图象的特点，根据图象中心对称的特点可求得交点横坐

标的和.

【解析】在同一坐标系内画出两函数的图象，如下图所示，

由图象可得，两个函数图象都关于点（1,0）成中心对称，在［—2,4J上共8个公共点，且每两个对应交点横

坐标之和为2,故所有交点的横坐标之和为8.故选D.

【点睛】本题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题，解题的关键是画出图象、然后

根据图象的对称性得到交点的横坐标的和.

13.（2021上海浦东新区•华师大二附中高三月考）设/T（X）为/（x）=：—?cosx+.,xe［0,句的反

函数，则y=/（x）+/T（x）的最大值为.

【答案】』乃

4

【分析】由函数/（X）是［0,句上的递增函数，得到尸（力的单调性相同，得出旷=/（%）+尸（力的定义

JT

域为0,y,进而可得y=/（x）+尸（X）的最大值，即可求解.

【解析】由题意，函数/（无）=（一.cosx+t是［0,句上的单调递增函数，

且广（x）为/（无）=2-色cosx+工，xe［0,%］的反函数，

488

...函数/（X）与广（X）的单调性相同，

当X=7时，函数”X）取得最大值/⑺=（［cos万+:=',

ITTT

一当x=0时，f（0）——cosOH—=0,

88

Wn小£小/p>

当天=一时，f（一）=—X-----COS--1=—,

22428284

..・函数y=/（x）+广（x）的定义域为o，g,且当时，尸弓）=乃，

•••y=/（x）+/T（x）的最大值为/（9+厂'（9=7+%=多，故答案为：苧.

【点睛】本题主要考查了反函数的基本性质，函数的定义域与值域，着重考查分析问题和解答问题的能力.

14.（2021上海青浦区・高三二模）定义函数/（%）={%{%}}，其中{耳表示不小于x的最小整数，如{1.4}=2,

{-2.3)=-2,当xe(O,〃](〃wN")时，函数〃x)的值域为A“，记集合A“中元素的个数为4,则%=

[答案]———-

2

【分析】根据{X}的定义，依次求出数列{为}的前5项，再归纳出％=a,i+〃，利用累加法求出凡即可

【解析】由题意得，当〃=1时，由于xe(O,l],，{x}=l,.•.{X{X}}=1,则4={1}，4=1，

当〃=2时，由于xe(l,2],{尤}=2,；.{x{x}}e(2,4],则4={1,3,4},g=3,

当〃=3时，由于xw(2,3],；.{尤}=3,二{x{x}}e(6,9],则4={1,3,47,8,9},%=6,

当〃=4时，由于尤e(3,4],{x}=4,二{x{x}}G(12,16],则4={1,3,4,7,8,9,13,14,15,16},%=10.

以此类推，得a“=a,i+〃，利用累加法得，/=四罗，故答案为：如詈.

【点睛】此题考查了新定义，递推关系，累加求和的方法，考查推理能力与计算能力，属于较难题.

15.(2019•上海杨浦区•高三二模)定义域为集合口,2,3,…,12}上的函数/(X)满足：①/⑴=1；②

|/(x+l)-/(x)|=l(x=l,2,…,11)；③/⑴、/⑹、/(12)成等比数列；这样的不同函数/(X)的个数

为________

【答案】155

【分析】分析出f(x)的所有可能的取值，得到使/(x)中/(l)、/(6)、f(12)成等比数列时对应的项，

再运用计数原理求出这样的不同函数/(%)的个数即可.

【解析】经分析，/(X)的取值的最大值为x,最小值为2-左并且成以2为公差的等差数列，故，(6)的

取值为6,4,2,0,-2,-4.

/(12)的取值为12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,

二能使f(x)中的f(1)、/(6),/(12)成等比数列时，/(I)、/(6)、/(12)的取值只有两种情况：

Of(1)=Kf(6)=2、f(12)=4；(2y(1)=l、/(6)=-2、/(I2)=4.

\f(JC+1)-f(x)|=1(x=1,2,11),/(x+1)=f(x)+1,或者f(x+1)=f(x)-1,即得到后项

时，把前项加1或者把前项减1.

(1)当/(I)=1、/(6)=2、/(12)=4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从/(I)

变化到f(6),第二步:从/(6)变化的/(12).

从"1)变化到八6)时有5次变化，函数值从1变化到2,故应从5次中选择3步加I,剩余的两次减1.对

应的方法数为《=10种.

从/(6)变化到/(12)时有6次变化，函数值从2变化到4,故应从6次变化中选择4次增加1,剩余两

次减少1,对应的方法数为C；=15种.

根据分步乘法原理，共有10x15=150种方法.

(2)当f(l)=1、f⑹=-2,/(12)=4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从/

(1)变化到/(6),第二步：从/(6)变化的/(12).

从/(1)变化到/(6)时有5次变化，函数值从1变化到-2,故应从5次中选择1步加1,剩余的4次减

1.对应的方法数为C；=5种.

从/(6)变化到/(12)时有6次变化，函数值从-2变化到4,故应从6次变化中选择6次增加1,对应的

方法数为C：=l种.根据分步乘法原理，共有5x1=5种方法.

综上，满足条件的/(x)共有：150+5=155种.故填：155.

【点睛】解决本题的难点在于发现f(x)的取值规律，并找到使/(I)、/(6)、f(12)成等比数列所对应

的三项.然后用计数原理计算种类.本题属于难题.

a

16.(2021上海松江区•高三模拟)已知函数/(x)=Jx(aeR且“为常数)和g(x)=A

|log2(-x)|x<0

(EeR且%为常数)，有以下命题：①当k<0时，函数E(x)=/(x)—g(x)没有零点；②当x<0时，若

/11)=/。)+6/*)+。恰有3个不同的零点为,X2，七，则玉•々・马=一1；③对任意的%>0,总存在

实数a，使得"x)=/(x)-g(x)有4个不同的零点内〈工2<工3</，且数11,1%|,|x4I」/I成等比数列.其

中的真命题是(写出所有真命题的序号)

【答案】②

【分析】①根据题意，将函数的零点个数问题，转换为对应函数的交点个数问题，分别判断尤<0,x>0两

种情况下，函数零点的个数情况，即可判断出结果；

②根据题意，先令，=/(无)，画出函数y=|log2(-x)|的，结合函数零点个数以及函数，判断方程

产+4+c=0根的分布情况，以及方程f=/(x)根的个数情况，即可判断出结果；

③根据题意，只需判断出x>0时，函数零点个数不一定是2个，即可得出结果.

XH--X>0

【解析】①；/(x)TX,g(x)=A,由F(x)=/(x)-g(x)=C^,函数F(x)的零点,

|log2(-x)|x<0

即是函数f(x)与直线g(x)=k交点的横坐标，

当x<0时，/(x)=gg2(-x)|20恒成立，；k<0，...%<()时，函数尸(的=/(》)一(幻=0显然没有

零点;

当x>0时，由8(幻=%得%+@=%,即X?一奴+。=0，即V一日=一々，

x

•••k<0,二/一区>0恒成立，若一。>0时，函数/(%)=/(幻一8。)=0可能有零点；若一。<0,函

数F(x)=f\x)-g(x)=0没有零点；故①错；

②当尤<0时，:•〃&)=r(》)+6/*)+。恰有3个不同零点，令f=/(x),则关于7的方程

/+初+c=0有两个不同的实数解，记作片冉，不妨令：<：；

做出函数y=|log2(f)|的如下:

由可得:当，=0时，y=|log2(-x)|与y=f有I个交点;

当，>0时，y=|log2(-x)|与'=£有2个交点；

•.•函数加x)=f\x)+b-f(x)+c恰有3个不同零点,

则『(x)=6有1个根,记作尤|；/。)=»2有2个根，记作“2，%(不妨令工2>%3)；

二只需4=0,12>°，因此|10g2(F)|=0，|10g2(F)|=|10g2(T3)|=，2，

2

/.X,=1；-X2=2'-,-X3=2~',因此X,-x2-x3=-l；故②正确；

③由尸(x)=/(%)—g(x)=o,得〃x)=g(x)；

，函数y=/(x)与g(x)=上交点个数，即为函数尸(x)=/(x)—g(x)的零点个数；

由②中可知:当攵>0时，y=/(x)与g(x)=A在(-oo,0)上有2个交点，即函数司(力=/(£)一g(x)在

(YO,0)上有2个零点；

当尤>0时，若.40,则函数/(x)=x+@在(0,")上单调递增，因此函数y=/(x)与8(力=%在

(0,+。)上最多只有1个交点，即函数/(力="》)一8(可在(0,+8)上最多只有1个零点；不满足存在实

数。，使得尸(x)=/(x)-g(x)有4个不同的零点:

若a>0,由基本不等式可得：f(x)=x+->2^,即x>0时，

X

若0〈人26，则函数y=/(力与g(X)=人在(0,+8)上最多只有1个交点，也不满足对任意的后>0，

总存在实数“，使得/卜)=〃力-8(无)有4个不同的零点.故③错.故答案为：②.

【点睛】本题主要考查判断命题的真假，考查分段函数的应用，考查函数零点的应用，灵活运用数形结合

的思想，即可求解，属于常考题型.

17.(2021上海市建平中学高三期中)设函数/(x)为定义在集合。上的偶函数，对任意xe。都有

〃/(x))=x，若方程〃x)+x=。有解/，则与=.

【答案】0

【分析】由题意可得关于不和丁(玉))的方程组，求解方程组可得X。的值.

【解析】若方程〃x)+x=0有解%，则/伍)+/=0,即/(莅)=一与①，

则=/(To),：对任意xe。都有/(7(x))=x,

，/(/(七))=~),.•./(—&)=毛，•.•函数/(x)为定义在集合O上的偶函数，，/(%)=毛②，

联立①②联立可得与=0，故答案为：0。

【点睛】关键点点睛：由/(x)+x=0有解与可得/(拓)=一叫)，,/(/(/))=/(一%)，对任意

都有/(〃x))=x,可得/(/(%))=玉)，因此/(一%)=/，山偶函数知/(%)=/，，一/=/，从而

求得与的值.

.、|2'_|-2I-X,x<l

18.(2021上海市建平中学高三期中)已知函数/(x)=(7,,,则关于x的不等式

[|x-2|-l,x>\

/(x-l)+/(x)WO的解集为.

【答案】卜8,(

【分析】对自变量分情况讨论，即xWl,l<x<2,2<x<3,x>3,然后对各种情况分别解不等式，

最后取并集。

【解析】当xKl时，x-l<0,T-'<1.2'-v>l..,./(x)=2v-|-2'-x<0,

由22-22，/(x—1)=2"2—22-、<0,此时不等式/(X)+/(X-1)K0恒成立；

当1<xW2时，/(x)=|x-211=2-x-1=1-x<0,

0<x-l<l,则/(X_1)=2'-2_22-)由2，-24I，22Tz1，则/(x_l)W0,

此时不等式+/(%-1)<0恒成立：

当2<x<3时，/(x)+/(x-l)=|x-2|-l+|x-3|-l=x-2-l+3-x-l=-l<0,符合题意；

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当xN3时，/(%)+/(%—1)=x—2—1+%—3—l=2x—7<0,解得了工耳，.•・3<了<万.

综上可得，不等式〃x)+/(x—1)<0的解集为(一8,(.故答案为：