大学数学函数的极限

类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。对于数列极限故很自然地函数的极限又如：当，记作2021/5/91

或定义1

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ,使得当x

满足不等式0<|x－x0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式，|f(x)－A|<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作

语言表述当时有则自变量趋于有限值时函数的极限2021/5/921）表示时有无极限与

有无定义没有关系.2）任意给定后，才能找到，依赖于，且越小，越小.3）不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.注2021/5/93xOy函数极限的几何解释如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ,x0+δ),当x在邻域(x0-δ,x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。2021/5/94证函数在点x=1处没有定义.例1证明要使只要取当时,就有2021/5/95例2证明(C为常数)证要使成立,例3证明证取当时,成立,可任取一当时要使2021/5/96

左极限

left-handlimit

右极限

right-handlimitx

仅从x0

的左侧趋于x0

，记作或x

仅从x0

的右侧趋于x0

，记作或左极限与右极限2021/5/97考虑符号函数现在考虑x

从左右两个方向趋于0时f(x)的极限右极限左极限yxo1-1从右边趋于0从左边趋于0

左右极限不相等证明函数极限不存在的方法是:(1)证明左极限与右极限至少有一个不存在(2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等2021/5/98例题yxo2021/5/99

自变量趋于无穷大时函数的极限设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)－A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限即2021/5/910

的方式有两种可能：（且无限增大）（且无限增大）注

且若或不存在,则不存在.若,则不存在.几何意义yxO-XX如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A-ε和y=A+ε,则总存在一个正数X，使得当x<－X或x>X时，函数y=f(x)的图形位于这两条直线之间.2021/5/911yxoy=arctanx观察y=arctanx的图像从图像容易看出结果xyoy=1/x所以2021/5/912yxoyxo

考虑函数f(x)=ax,分a>1,,0<a<1两种情形下，分别求x→+∞,x→－∞，x→∞时f(x)的极限。所以，都不存在。2021/5/9132021/5/914函数极限的性质唯一性函数f(x)当x→x0时极限存在，则极限必唯一.局部有界性如果存在，则函数在点的某个去心邻域内有界。局部保号性设（1）若（或），则，使得有（或）（2）若存在点的去心邻域，使得，有（或），则推论:

如果，且当时，则，即

2021/5/915

如果函数f(x)在某个极限过程中的极限为零，那么就称f(x)是此极限过程的无穷小（量）无穷小举例

无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固定数。但0可以作为无穷小的唯一一个常数.都是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与无穷小不能说函数

f(x)是无穷小,应该说在什么情况下的无穷小.即无穷小与自变量的变化过程有关.如时是无穷小，但时，则不是无穷小。2021/5/916无穷小的性质定理1

极限与无穷小的关系即其中两个无穷小的和或差，仍是无穷小。有限个无穷小的代数和仍是无穷小。有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。常数与无穷小的乘积是无穷小。例如，因为所以同理2021/5/917

如果函数f(x)在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值可以无限增大，那么就称f(x)是此极限过程的无穷大（量）。

只有一种趋势包括两种趋势

如无穷大2021/5/918观察函数y=1/x的图像

再考察函数y=lnx

注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx2021/5/919无穷小和无穷大的关系

在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且无穷小和无穷大的运算法则

以下A表示有极限的函数，K表示有界函数，C代表常数结果不定，称为未定式2021/5/920极限的四则运算法则注：

设有数列和.如果则1)2)3)当且时,

2021/5/921例２求解这里分母的极限不为零,故小结:例１求解2021/5/922例３求解例４求解2021/5/923例５求解例６求解例７求解2021/5/9242021/5/925

因式分解消除零因子有理化消除零因子2021/5/926消除零因子例９求解2021/5/927思考由题设知，分子必须是x的零次多项式解答2021/5/928由x→0

得3x→0

即u→0重要极限Ⅰ的应用举例重要极限Ⅰ2021/5/929(6)

2021/5/930例重要极限Ⅱ的应用举例公式特点：2021/5/9312021/5/932定义无穷小的比较20