2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳县高二上册第一次月考数学试题（含解析）

2023-2024学年陕西省宝鸡市千阳县高二上册第一次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2．已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是（

）A． B．C． D．3．正方形所在平面外一点平面.若，则平面与平面所成的角的度数为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．对任意实数a，直线y=ax-3a+2所经过的定点是（

）A． B． C． D．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为（

）A． B． C． D．6．如图，在平行六面体中，M是与的交点，若，，，且，则（

）A．1 B． C．0 D．7．已知直线过点，若与连接，的线段总有公共点，则l的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．8．如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知直线的方程为，则（

）A．直线在轴上的截距为2B．直线在轴上的截距为3C．直线的倾斜角为锐角D．过原点且与垂直的直线方程为10．长方体中，，，是线段上一动点，则到平面的距离不可能是（

）A．B．C．D．11．直线，的图像可能是（

）A． B．C． D．12．如图，在边长为的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论中正确的是（

）A．平面 B．C．平面 D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为.14．已知直线l过点，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，则直线l的方程为.15．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且平面ABCD，，点F为PC的中点，则二面角的正切值为16．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数．四、解答题：本题共6小题，70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为，在y轴上的截距是.18．如图，在正方体中，为的中点.(1)求证：平面.(2)求直线与平面.所成角的正弦值.19．已知三角形△的顶点为.(1)求边上的高所在直线的方程;(2)求经过的直线，使得A，B到直线的距离相等.20．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点.(1)求证.(2)已知点在平面内，且平面，试确定点的位置.21．如图，在平行四边形中，点A（3，0），点C（1，3）.（1）求AB所在直线的方程；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程.22．如图，在三棱锥中，，D是BC的中点，⊥平面，垂足O落在线段AD上，已知，，，.(1)求证.(2)若点M是线段AP上一点，且，求平面ABC与平面BCM的夹角余弦.1．A【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．故选：A．2．D【分析】根据两平面平行，则两平面的法向量也平行可得出结论.【详解】，所以，平面与平面的法向量平行，因为，且ABC选项中的向量均与不共线.故选：D.3．B【分析】由P为正方形外一点，平面，有CD⊥PD，PA⊥AB，AB∥CD又面PAB，面PCD且P面PAB面PCD即可确定二面角，进而求其大小【详解】由题意，有如下示意图

∵P为正方形外一点，平面∴PA⊥CD，又CD⊥AD∴CD⊥面PAD故，有CD⊥PD，又PA⊥AB，AB∥CD，面PAB，面PCD且P面PAB面PCD可知，面与面所成的二面角为在内，故选：B本题考查了二面角，两个面内有两直线平行，过两面交线上一点分别作两直线的垂线，即可得两面的夹角的平面角即二面角，进而确定角的大小4．B【分析】把直线化为点斜式，求出所经过的定点.【详解】整理为：，所以直线经过的定点为.故选：B5．B【分析】作出正四棱锥侧面与底面所成角的平面角，利用侧面积和底面积之间的关系即可求得平面角的余弦值，即得答案.【详解】如图，设正四棱锥为，连接AC，BD交于点O，连接PO，则底面，作于E，连接，底面，则,而平面，故平面，平面，故，故即为平面与底面所成角，也即正四棱锥的侧面与底面所成角；因为正四棱锥的侧面积是底面积的倍，故,即，即,在中，，则，即正四棱锥的侧面与底面所成角的大小为，故选：B6．A【分析】根据给定的几何体，结合空间向量运算用表示，再利用空间向量基本定义即可求解.【详解】在平行六面体中，M是与的交点，则，又，由空间向量基本定理，知，，，所以.故选：A7．C【分析】作出图形，求得直线与线段有交点时的临界斜率，从而得解.【详解】由题意得，，由直线l与线段AB总有公共点，可画出图形如图，根据图形可知或，即或，所以l的斜率的取值范围是.故选：C.8．B【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值.【详解】依题意，，，两两互相垂直，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

设，（，，且m，n不同时为0），则，，，所以，.设平面AEF的一个法向量为，则，令，得，则，显然为平面ABC的一个法向量.因为平面与平面所成角的大小为，所以，即，得，所以，所以当时，m取得最大值，最大值为.故选：B9．BCD【分析】根据直线方程，分别令即可判断AB，由直线斜率可判断C，求出原点且与垂直的直线方程即可判断D.【详解】在中，令，得，所以A不正确；令，得，所以B正确；因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.故选：BCD10．ABC【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量求点到平面的距离公式计算即可.【详解】解：根据题意，以点为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，设平面的法向量为，则，所以，令，则，所以，所以设点到平面的距离为，，因为，所以，所以所以点到平面的距离不可能是，，．故选：ABC11．C【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定，判断另外一条是否与之相符【详解】直线可化为，直线可化为.A中，由可知，，但此时与图像不符，错误；B中，由可知，，但此时与图像不符，错误；C中，由可知，，此时图像合理，正确；D中，由可知，，但此时与图像不符，错误.故选：C12．ABC【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法依次判断各个选项即可.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；对于A，，即，平面，A正确；对于BD，，，B正确，D错误；对于C，，，平面，C正确.故选：ABC.13．由已知可知直线的斜率为，再根据，斜率之积为，即可求出直线的斜率.【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为又，故，则，所以直线的斜率为故14．或【分析】设直线的方程为，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直线方程.【详解】设直线的方程为,因为点在直线上，所以①，因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为10，所以②，由①②可解得或，故直线的方程为或，即或.故或.本题考查截距式方程和直线与坐标轴形成的三角形面积问题，属于基础题.15．【分析】分析空间几何体的特征，建立合适的空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦值，再求正切值﹒【详解】如图所示，连接BD，，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz．设，则．所以，，，．结合图形可知，，且为平面BOF的法向量，由，，可求得平面BCF的一个法向量为．所以，，所以．故16．【分析】由题设可得，结合向量共线的坐标表示求参数即可.【详解】由题设，平面与平面的法向量共线，∴，则，即，解得.故答案为.17．(1)；(2).【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可.（2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可.【详解】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为.（2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率.所以该直线的斜截式方程为.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由可证明平面；（2）由向量法可求直线与平面.所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，平面.（2）以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，则，，，，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.设直线与平面所成的角为，.19．(1)(2)和【分析】（1）根据直线垂直确定CD的斜率，即可求得答案；（2）分类讨论经过的中点和与平行，分别求解，即得答案.【详解】（1）直线的斜率为，因为，所以，所以所在直线的方程为，即.（2）因为到直线的距离相等，所以有两种情况，①经过的中点，的中点的坐标为，由两点式得化简得，②与平行，由（1）得，所以的方程为，即综合①②得直线l的方程为和.20．(1)证明见解析(2)点为的中点【分析】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，再根据即可证明.（2）设，根据平面PCB得到，，即可得到答案.【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设，则，，，，，，所以，，所以，所以.（2）因为平面PAD，设，所以.由（1），知，.因为平面PCB，所以，，所以，，所以点G的坐标为，即点G为AD的中点.21．（1）y=3x-9；（2）x+3y-10=0.（1）由，利用点斜式即可求解.（2）根据直线垂直，斜率之间的位置关系可得，利用点斜式即可求解.【详解】（1）平行四边形，点A（3，0），点C（1，3），，所在直线的斜率为，所在直线方程，即.（2）在平行四边形中，，，，所在直线的斜率为，所在直线方程为，即x+3y-10=0.本题考查了直线平行、直线垂直斜率之间的关系、点斜式求直线方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）先由线面垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，得到，证明出结论；（2）求出两平面的法向量，求