江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第六章第二节　与圆有关的位置关系

[基础过关]1．⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是()A．无法确定 B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O内解析：∵OP＝3＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆内．答案：D2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是()A．5≥r≥3 B．3＜r＜5C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5解析：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点．答案：D3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：连接OA，如图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP.∴∠PAO＝90°.∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.∵∠AOP＝∠B＋∠OAB，∴∠B＝eq\f(1,2)∠AOP＝eq\f(1,2)×50°＝25°.答案：B4．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(四边形AEOF)的面积是()A．4B．6.25C．7.5D．9解析：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2＋CA2＝BC2.∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°.∵AB，AC与⊙O分别相切于点F，E，∴OF⊥AB，OE⊥AC.∴四边形OFAE为正方形．设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，∴BD＝BF＝5－r，CD＝CE＝12－r.∴5－r＋12－r＝13.∴r＝eq\f(5＋12－13,2)＝2.∴阴影部分(四边形AEOF)的面积是2×2＝4.答案：A5．如图，边长为2eq\r(3)的等边△ABC的内切圆的半径为()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)解析：设△ABC的内心为O，连接AO，CO，延长CO交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC.∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB.∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3).在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝eq\f(OH,AH)＝tan30°，∴OH＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1.即△ABC内切圆的半径为1.答案：A6．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝eq\r(3)OD，AB＝12，CD的长是()A．2eq\r(3)B．2C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)解析：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD.∴∠ADO＝90°.∵AD＝eq\r(3)OD，∴tanA＝eq\f(OD,AD)＝eq\f(\r(3),3).∴∠A＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC.∴∠C＝∠ADO＝90°.∴∠ABC＝60°，BC＝eq\f(1,2)AB＝6，AC＝eq\r(3)BC＝6eq\r(3).∴∠CBD＝30°.∴CD＝eq\f(\r(3),3)BC＝eq\f(\r(3),3)×6＝2eq\r(3).答案：A7．如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝()A．2B．3C．4D．5解析：由切线长定理得PB＝PA＝3.答案：B8．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是()解析：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．答案：C9．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为________．解析：直角三角形的斜边＝eq\r(52＋122)＝13，所以它的内切圆半径＝eq\f(5＋12－13,2)＝2.故答案为2.答案：210．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm，BC的长为________．解析：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，∴∠OBE＝∠OBF＝eq\f(1,2)∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝eq\f(1,2)∠GCF.∵AB∥CD，∴∠EBF＋∠GCF＝180°.∴∠OBF＋∠OCF＝90°.∴∠BOC＝90°.在Rt△BOC中，BO＝6cm，CO＝8cm，∴BC＝eq\r(BO2＋OC2)＝10cm.故答案为10cm.答案：10cm11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是________．解析：如图，过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6.∴OM＝eq\f(\r(3),2)OA＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3).∴PM＝OP＋OM＝6＋3eq\r(3).∴点P到AC距离的最大值是6＋3eq\r(3).故答案为6＋3eq\r(3).答案：6＋3eq\r(3)12．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧eq\o(BD,\s\up8(⌒))所对的圆心角∠BOD的大小为________度．解析：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝eq\f(5－2×180°,5)＝108°.∵AB，DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°.∴∠BOD＝(5－2)×180°－90°－108°－108°－90°＝144°.故答案为144.答案：14413．如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为________．解析：连接CD，如图．∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°＝∠CAB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BC,BD).∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24.∴BC＝eq\r(24)＝2eq\r(6).故答案为2eq\r(6).答案：2eq\r(6)14．(2021·吉州一模)已知点O是菱形ABCD对角线BD上的点，以点O为圆心，OB为半径的圆与CD相切于点C.(1)求证：AD与⊙O相切；(2)若圆O的半径为6，求菱形的边长．解：(1)证明：如图，连接OA，OC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADO＝∠CDO.∵OD＝OD，∴△ADO≌△CDO(SAS)．∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCD.∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.∴∠OAD＝90°，∴AD与⊙O相切；(2)∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠DOC＝∠OBC＋∠OCB，∴∠DOC＝2∠OBC.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∴∠CDB＝∠CBD.∴∠DOC＝2∠CDO.∵∠CDO＋∠DOC＝90°，∴∠CDO＝30°.∵OC＝6，∴CD＝6eq\r(3).∴菱形的边长为6eq\r(3).15．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P.且∠APC＝∠BCP.(1)求证：∠BAC＝2∠ACD；(2)过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E(如图2)，当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．解：(1)证明：如图1，作DF⊥BC于F，连接DB，∵AP是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，即∠P＋∠ACP＝90°.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠PCA＋∠DAC＝90°，∴∠P＝∠DAC＝∠DBC.∵∠APC＝∠BCP，∴∠DBC＝∠DCB.∴DB＝DC.∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分线．∴DF经过点O.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∵∠BDC＝2∠ODC，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；(2)如图2，同作DF⊥BC于F，∵DF经过点O，DF⊥BC，∴FC＝eq\f(1,2)BC＝3.在△DEC和△CFD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DCE＝∠FDC，,∠DEC＝∠CFD，,DC＝CD，))∴△DEC≌△CFD(AAS)．∴DE＝FC＝3.∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴DE2＝AE·EC.则EC＝eq\f(DE2,AE)＝eq\f(9,2).∴AC＝2＋eq\f(9,2)＝eq\f(13,2).∴⊙O的半径为eq\f(13,4).[能力提升]16．如图，抛物线y＝eq\f(1,4)x2－4与x轴交于A，B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ.则线段OQ的最大值是()A．3B.eq\f(\r(41),2)C.eq\f(7,2)D．4解析：连接BP，如图，当y＝0时，eq\f(1,4)x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4，则A(－4,0)，B(4,0)，∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线．∴OQ＝eq\f(1,2)BP.当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝eq\r(32＋42)＝5，∴BP′＝5＋2＝7.∴线段OQ的最大值是eq\f(7,2).答案：C17．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC.(1)尺规作图：作弦CD，使CD＝BC(点D不与B重合)，连接AD；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的图中，求四边形ABCD的周长．解：(1)如图，线段CD即为所求．(2)如图，连接BD，OC交于点E，设OE＝x.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－82)＝6.∵BC＝CD，∴eq\o(BC,\s\up8(⌒))＝eq\o(CD,\s\up8(⌒)).∴OC⊥BD于E.∴BE＝DE.∵BE2＝BC2－EC2＝OB2－OE2，∴62－(5－x)2＝52－x2，解得x＝eq\f(7,5).∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝eq\f(14,5).∴四边形ABCD的周长＝6＋6＋10＋eq\f(14,5)＝eq\f(124,5).18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为eq\o(BC,\s\up8(⌒))的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD.(1)求证：∠A＝∠DOB；(2)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．解：(1)证明：如图，连接OC，∵D为eq\o(BC,\s\up8(⌒))的中点，∴eq\o(CD,\s\up8(⌒))＝eq\o(BD,\s\up8(⌒)).∴∠DOB＝eq\f(1,2)∠BOC.∵∠A＝eq\f(1,2)∠BOC，∴∠A＝∠DOB；(2)DE与⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.∵DE⊥AE，∴OD⊥DE.∴DE与⊙O相切．19．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.(1)求证：△ACB是等腰直角三角形；(2)求证：OA2＝OE·DC；(3)求tan∠ACD的值．解：(1)证明：∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，∴∠ABM＝90°.∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠ABM＝45°.∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠CAB＝∠CBA＝45°.∴AC＝BC.∴△ACB是等腰直角三角形；(2)证明：如图1，连接OD，OC.图1∵DE＝EO，DO＝CO，∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD.∴∠EOD＝∠OCD.又∵∠EDO＝∠ODC，∴△EDO∽△ODC.∴eq\f(OD,DC)＝eq\f(DE,DO).∴OD2＝DE·DC.∴OA2＝DE·DC＝EO·DC.(3)如图2，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，图2∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO.∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO＋∠ODB＝3∠ODB，∴∠ODB＝15°＝∠OBD.∵∠BAF＝∠DBA＝15°，∴AF＝BF，∠AFD＝30°.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∴AF＝2AD，DF＝eq\r(3)AD.∴BD＝DF＋BF＝eq\r(3)AD＋2AD.∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(1